[논문]초등학교 수학에서 취급하는 식의 정의와 분류에 관한 연구

고준석; 김지원; 박교식

초등학교 수학에서 취급하는 식의 정의와 분류에 관한 연구
A Study on Definition and Classification of Expressions Dealt with in Elementary Mathematics 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.16 no.2, 2014년, pp.303 - 315

고준석 (경인교육대학교 대학원) , 김지원 (이화여자대학교 대학원) , 박교식 (경인교육대학교)

초록
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우리나라 초등학교 수학에서 다양한 식을 취급하고 있음에도 불구하고, 식 지도 내용의 체계화는 아직 미흡하다. 이것은 기본적으로 초등학교 수학에서 취급하는 식의 정체를 명확하게 드러내지 못하고 있기 때문이다. 본 논문에서는 이 상황을 개선하기 위한 기초 작업으로, 식에 ${\square}$, ${\triangle}$ 등과 단어 또는 연어(連語)와 같은 과도기적 기호를 사용하는 초등학교 수학을 고려하는 입장에서, 먼저 식을 구성하는 요소로서의 기호를 분류하고, 그것에 바탕을 두어 식을 정의하고 분류하였다. 이러한 정의와 분류를 통해 초등학교 수학에서의 식 지도 내용의 체계화를 도모하는데 도움을 줄 수 있는 다음 네 가지 판단이 가능하다는 것을 결론으로 제시할 수 있다. 첫째, 식의 정체를 명확히 함으로써, 어떠한 표현이 식인지 아닌지 판별할 수 있다. 둘째, 식의 양태를 파악할 수 있다. 셋째, 식 지도 내용을 체계적으로 파악할 수 있다. 넷째, 식 지도 내용 사이의 위계를 파악할 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

Even though the variety of expressions are dealt with in Korean elementary mathematics, the systematization of the subject matter of expressions is still insufficient. This is basically due to the failure of revealing clearly the identity of expressions dealt with in elementary mathematics. In this paper, as a groundwork to improve this situation, after the classification of signs as elements constituting expressions, in a position to consider elementary mathematics using transitional signs such as ${\square}$, ${\triangle}$, etc and words or phrases in expressions, expressions were defined and classified based on that classification of signs. It can be presented as the conclusion that the following four judgements which helps to promote the systematization of the subject matter of expressions are possible through this definition and classifications. First, by clarifying the identity of the expressions, any mathematical clauses or sentences can be determined whether those are expressions or not. Second, Forms of expressions can be identified. Third, the subject matter of expressions can be identified systematically. Fourth, the hierarchy of the subject matter of expressions can be identified.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서 시도한 기호의 분류, 식의 정의, 식의 분류를 통해, 초등학교 수학에서 취급하는 다양한 식과 관련하여. 초등학교 수학에서의 식 지도 내용의 체계화를 도모하는데 도움이 될 수 있는 다음의 네 가지 판단이 가능하다는 것을 결론으로 제시할 수 있다.
본 논문에서는 이 상황을 개선하기 위한 기초 작업으로 초등학교 수학에서 취급하는 다양한 식을 망라할 수 있도록 선행 연구를 분석·검토하였다.
이것은 기본적으로 초등학교 수학에서 취급하는 식의 정체가 명확하게 드러나 있지 않기 때문이다. 본 논문에서는 이러한 상황을 개선하기 위한 기초 연구의 일환으로, 식에 □, △ 등과 단어 또는 연어(連語)를 사용하는 초등학교 수학을 고려하는 입장에서, 식의 정의에 관해 그리고 식의 분류에 관해 논의한다. 우리나라 초등학교 교과서(이하, 초등학교 교과서)에서는 ‘식’이라는 표현을 단독으로 사용하기도 하지만, 특정한 형태나 기능에 따라 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식, 계산식, 비례식, 검산식, 등식, 방정식, 관계식과 같이 ‘~식’의 형태로 사용하고 있기도 하다.
부등호 >, <와 기호 :, 과도기적 기호, 괄호를 사용하는 식의 구성 규칙을 일관되게 형식화하는 데는 어려움이 있기는 하지만, 여기서는 그가 제안한 두 가지 규칙을 바탕으로, 먼저 명수가 포함되지 않는 식에 한정하여 이들을 사용한 식의 구성 규칙에 관해서 제한적으로 논의하기로 한다.
이러한 상황에서, 본 논문에서는 식의 정체를 명확히 드러내기 위해, 문헌 연구 방법을 통해 식의 정의와 분류에 관한 선행 연구의 결과를, 그것이 초등학교 수학에서 취급하는 다양한 식을 망라하고 있는가, 식을 정의하고 분류할 때 선행 연구에서 찾을 수 있는 공통 기준은 무엇인가라는 측면에서 분석·검토한다.

가설 설정

② A, B가 식이면 A+B, A-B, A×B, A÷B, A=B는 모두 식이다.
예를 들어, 7+7+7=3×7=21, 2<□<7 등과 같이 등호와 부등호가 각각 두 개 이상 사용되는 복관계식은 언제 어떤 정도로 취급하고 있는지를 파악할 수 있다. 넷째, 식 지도 내용 사이의 위계를 파악할 수 있다. 예를 들어, 괄호가 있는 식, □가 있는 식, 단어가 있는 식 중에서 어느것을 먼저 취급하는지를 파악할 수 있다.

제안 방법

그리고 초등학교 수학을 고려하는 입장에서, 그 결과를 수정·보완하여, 특히 초등학교 수학에서 취급하는 다양한 식을 망라하도록, 기호를 분류하고, 식을 정의하고 식을 분류하였다.
다음으로 “정해진 기호를 정해진 규칙에 따라서 늘어놓은 유한한 계열((平林一榮, 1987, p.379)”을 식의 정의로 받아들이되, 명수를 포함하지 않은 식에서의 부등호, 기호 :, 그리고 괄호를 사용한 식의 구성 규칙과 명수를 포함한 식의 구성 규칙을 제한적으로 제시하였다.
다음으로는 이러한 기호로 구성되는 식을 정의하기 위해 선행 연구에서 제시하고 있는 세가지 정의 방법을 검토한다. 고동욱과 송낙호(1989)가 제시하고 있는 정의는 식의 판별에 실질적인 도움을 주지 못한다는 점에서, 日本數學敎育學會(2011, 2013) 및 강완, 나귀수, 백석윤, 이경화(2013)가 제시하고 있는 정의는 기호에 대해 명확하게 언급하고 있지 않고 또한 식을 구성하는 규칙에 관해 말해주고 있지 않다는 점에서 식의 정의로 미흡하다.
또, 선행 연구에서 언급하지 않은 두 가지 기호 즉, 비를 나타낼 때 사용하는 기호 :와 나머지가 있는 자연수 나눗셈에서 몫과 나머지를 한꺼번에 나타내기 위해 사용하는 기호 …에 관해서도 논의한다.
변수 기호는 변수로만 사용되는 것이 아니라 미지수, 부정원 등으로 사용되는 문자를 의미한다. 또, 술어 기호를 세분해서 연산을 나타내는 연산 기호, 함수를 나타내는 함수 기호, 관계를 나타내는 관계 기호로 분류하였다. 김수환 외(2011)도 이러한 분류를 따르고 있지만, 그들은 ‘정수(定數) 기호’ 대신 ‘상수(常數) 기호’라 하고 있다.
마지막으로 식을 계산식, 관계식으로 비배타적으로 분류하고, 계산식을 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식, 혼합셈식으로, 관계식을 등식과 부등식으로 분류하였다. 또한, 계산식을 단계산식과 복계산식, 관계식을 단관계식과 복관계식으로 분류하고, 변수의 유무에 따라 열린 식과 닫힌식으로 분류하였다. 이 이외에 식에 포함된 특정 요소의 유무에 따라 문자식, □가 있는 식, 단어가 있는 식, 괄호가 있는 식, 명수가 있는 식, 숫자식으로 분류하였다.
마지막으로 Столя(1976), 平林一榮과 石田忠男(1992), 片桐重男(1995a, 2012)을 바탕으로 관계 기호의 유무와 변수의 유무에 따라 식을 분류한다. 그러나 이러한 분류만으로는 초등학교 수학에서 취급하는 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식을 포괄할 수 없다는 점에서, 식을 계산 기호의 유무에 따라 분류하는 것에 관해 논의한다.
379)”을 식의 정의로 받아들이되, 명수를 포함하지 않은 식에서의 부등호, 기호 :, 그리고 괄호를 사용한 식의 구성 규칙과 명수를 포함한 식의 구성 규칙을 제한적으로 제시하였다. 마지막으로 식을 계산식, 관계식으로 비배타적으로 분류하고, 계산식을 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식, 혼합셈식으로, 관계식을 등식과 부등식으로 분류하였다. 또한, 계산식을 단계산식과 복계산식, 관계식을 단관계식과 복관계식으로 분류하고, 변수의 유무에 따라 열린 식과 닫힌식으로 분류하였다.
먼저 기호에 과도기적 기호를 포함시키고, 기호를 대상 기호, 계산 기호, 관계 기호, 보조 기호로 분류하고, 대상 기호를 다시 상수, 변수, 단위로 분류하였다. 다음으로 “정해진 기호를 정해진 규칙에 따라서 늘어놓은 유한한 계열((平林一榮, 1987, p.
한편, Столя(1976)와 平林一榮(1987), 平林一榮과 石田忠男(1992)은 위와 같은 식과 기호에 관해 어떤 언급을 하고 있지 않다. 본 논문에서는 초등학교 수학을 고려하는 입장에서 片桐重男(1995a, 2012)의 관점을 받아들여, 위와 같은 식에서 사용하는 □, △ 등과 단어(원주율), (원주), (지름), (한 자리 수)와 같은 단어 또는 연어도 기호로 간주하기로 한다. 이들이 표준적인 기호는 아니지만, 문자를 사용하기 전의 과도기적 표현으로서 식을 구성할 수 있다는 점에서 일종의 기호라고 할 수 있기 때문이다.
지금까지의 논의를 바탕으로 Столя(1976), 平林一榮과 石田忠男(1992), 片桐重男(1995a, 2012)이 식을 관계 기호와 변수의 유무로 각각 분류하고 있다는 점에서, 이들의 식 분류를 근간으로 하여 식을 [그림 IV-1]과 같이 분류한다. 이때 본 논문에서는 초등학교 수학에서 계산 기호가 있는 식을 많이 취급하고, 또 계산 기호의 유무에 따라서도 식을 두 가지로 분류할 수 있다는 점에서, 식을 계산 기호와 관계 기호의 유무에 따라 두 차원에서 분류한다. 계산 기호가 있는 식을 계산식, 관계 기호가 있는 식을 관계식이라고 할 때, 이러한 분류는 배타적이 아니어서, 계산식이면서 동시에 관계식일 수 있다.

대상 데이터

平林一榮과 石田忠男(1992)은 기호를 대상 기호, 술어 기호, 논리 기호, 보조 기호로 구분하고 있다. 대상 기호는 수나 문자 등을, 술어 기호는 연산, 관계 등을, 논리 기호는 명제 등을 나타내는 기호이다. 또, 보조 기호는 괄호 등을 의미한다.
그리고 그것을 수정·보완하여, 초등학교 수학을 고려하는 입장에서 식 지도 내용의 체계화를 도모할 수 있도록 식을 정의하고 분류한다. 이를 위해 2007 및 2009 개정 교육과정과 각 교육과정에 따른 교과서와 식의 정의와 분류에 관한 선행 연구를 주요 분석 대상으로 삼는다.

성능/효과

넷째, A와 B가 비가 아닌 식이면 A+B, A-B, A×B, A÷B, A=B는 식이다.
A와 B가 기호 :의 개수가 같은 비이면 A=B는 식이다. 다섯째, 소괄호는 2개 이상의 상수 또는 변수를 계산 기호만으로 묶어야 하며, 중괄호는 소괄호로 묶은 것 이외에 적어도 1개의 상수 또는 변수를 계산 기호만으로 묶어야 한다.
둘째, 등식도 아니고 비도 아닌 식 A와 B에 대해, AB는 식이다.
예를 들어 a>b>c 또는 a<b<c까지만 취급한다. 셋째, A와 B가 등식도 아니고 부등식도 아닌 식이면 A:B는 식이다. 이때 2009 개정 교육과정을 고려하여 기호 :가 1개 있는 것으로 한정한다.
예를 들어 어떠한 계산식과 어떠한 관계식을 취급하고 있는지를 파악할 수 있다. 셋째, 특정한 식을 언제 어떻게 취급하는지 등과 같은 식 지도 내용을 체계적으로 파악할 수 있다. 예를 들어, 7+7+7=3×7=21, 2<□<7 등과 같이 등호와 부등호가 각각 두 개 이상 사용되는 복관계식은 언제 어떤 정도로 취급하고 있는지를 파악할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	‘수식’이라는 표현을 사용하지 않기로 한 이유는?	‘수식’이라는 표현은 배종수(1999), 최창우(2006)도 사용하고 있는 것이지만, 그것은 ‘수로 이루어진 식’이 아니라, 통칭하는 ‘식’을 의미한다. 이런 점에서 혼동을 피하기 위하여 이후로는 ‘수식’이라는 표현을 사용하지 않기로 한다. 平林一榮과 石田忠男(1992)의 구분에 따르면, 초등학교 수학에서 도형을 나타내는 일체의 그림도 기호이다.
	대상 기호란?	平林一榮과 石田忠男(1992)은 기호를 대상 기호, 술어 기호, 논리 기호, 보조 기호로 구분하고 있다. 대상 기호는 수나 문자 등을, 술어 기호는 연산, 관계 등을, 논리 기호는 명제 등을 나타내는 기호이다. 또, 보조 기호는 괄호 등을 의미한다.
	우리나라 초등학교 수학에서 식 지도 내용은 아직 체계화되어 있지 않은데 그 이유는?	우리나라 초등학교 수학(이하, 초등학교 수학)에서 다양한 식을 취급하고 있음에도 불구하고, 식 지도 내용은 아직 체계화되어 있지 않다. 이것은 기본적으로 초등학교 수학에서 취급하는 식의 정체가 명확하게 드러나 있지 않기 때문이다. 본 논문에서는 이러한 상황을 개선하기 위한 기초 연구의 일환으로, 식에 □, △ 등과 단어 또는 연어(連語)를 사용하는 초등학교 수학을 고려하는 입장에서, 식의 정의에 관해 그리고 식의 분류에 관해 논의한다.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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