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문제 정의
- 본 연구에서 수학적 과정과 수학적 실천을 비교한 결과는 [그림 III-1]과 <표 III-1>로, 그 결과에 따라 양쪽에 모두 포함된 수학적 실천 요소, 수학적 실천에만 있는 요소, 수학적 과정에만 있는 요소의 3가지 경우에 따라 4학년 수학 교과서를 분석한 결과는 <표 IV-1> ~ <표 IV-6>으로 정리된다. 각각의 결과에 대한 논의를 통해 현재 연구가 진행되고 있는 교육과정 개정시 수학적 과정의 보완 및 그에 따라 개발될 수학 교과서 집필에 시사점을 제안하고자 한다.
- 따라서 분석틀의 적용이 불가능하여 문제 만들기 관련 활동이 제시된 교과서 코드와 구체적인 구현 내용을 과 같이 별도로 제시하였다.
- 셋째, 수학적 실천에만 포함되어 있음에도 불구하고 우리나라 초등 수학 교과서에서 두루 구현되고 있는 요소에 관한 논의이다. <표 IV-3>과 <표 IV-4>의 MP5-1, MP5-3가 이에 해당한다.
- 이에 따라 수학적 문제해결, 수학적 추론, 수학적 의사소통 외에 보강되어야 할 수학적 과정 요소를 파악하고, 그 구현 방안을 마련하기 위한 기초 연구로서 본 연구는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
제안 방법
- III장에서 이루어진 수학적 과정과 수학적 실천간의 1차 분석과 수학적 과정과 수학적 실천의 세부 요소간의 2차 분석 결과에 기초하여 양쪽에 모두 포함된 요소, 수학적 실천에만 있는 요소, 수학적 과정에만 있는 요소의 3가지 경우를 구분하였다. 앞의 두 경우에 대해 <표 II-3> 을 분석틀로 하여 수학적 실천 요소가 초등 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지를 분석하였다.
- 그러나 이는 수학적 과정과 수학적 실천의 요소들의 구체적인 의미가 명시되지 못하여 요소 간의 관련성이 다양하게 해석될 수 있다는 한계를 지니기 때문에 각각의 요소를 세분화하여 2차 분석을 실시하였다. 이때 수학적 과정의 세부 요소에 해당하는 분석 대상은 장혜원 외(2014)에서 수학적 과정 분석틀로 사용한 <표 II-1>이다.
- 따라서 분석틀 에서 이에 해당하는 수학적 실천 관련 발문만을 추출하여 교과서 활동을 분석하였다.
- 먼저 수학적 과정의 수학적 문제해결, 수학적 추론, 수학적 의사소통 3가지 요소와 수학적 실천의 8가지 요소( 참조) 자체를 비교 대상으로 하고, 양쪽에서 명시적으로 확인 가능한 공통 요소와 한쪽에만 제시되는 요소를 추출한 1차 분석이다.
- 앞의 두 경우에 대해 을 분석틀로 하여 수학적 실천 요소가 초등 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지를 분석하였다.
- 에 따르면 수학적 실천에만 포함된 요소는 MP5이므로 으로부터 이에 해당하는 발문에 기초하여 4학년 1, 2학기 교과서 활동을 분석하였다.
- I장에서 기술한 바와 같이 2009 개정 교육과정에서 강조하고 있는 수학적 과정과 CCSSM의 수학적 실천은 동일한 교육 목표 하에서 마련된 동일한 위상의 것이라 할 수 있다. 연구 문제 1을 위해 1차적으로 수학적 과정의 3가지 요소와 수학적 실천의 8가지 요소 자체를 분석하여 양 과정 요소에서 명시적으로 확인 가능한 공통 요소와 한쪽에만 제시되고 있는 요소를 추출할 것이다. 그러나 1차 분석은 각각의 요소가 내포하고 있는 세부 요소와 그 의미를 명확하게 드러내지 않고 있어서 연구자에 따라 관련성을 다각적으로 해석할 수 있다는 한계가 있다.
- 연구 문제 1을 위해서 수학적 과정의 3가지 요소와 수학적 실천의 8가지 요소를 분석 대상으로 설정하고 이를 두 개의 차원에서 비교하였다. 먼저 수학적 과정의 수학적 문제해결, 수학적 추론, 수학적 의사소통 3가지 요소와 수학적 실천의 8가지 요소(<그림 III-1> 참조) 자체를 비교 대상으로 하고, 양쪽에서 명시적으로 확인 가능한 공통 요소와 한쪽에만 제시되는 요소를 추출한 1차 분석이다.
- 이를 위해 2009 개정 교육과정의 수학적 과정과 CCSSM의 수학적 실천을 비교함으로써 수학에서 추가적으로 다루어야할 수학적 과정 요소를 탐색하고, 현행 초등 수학 교과서에서 어떠한 수학적 실천 요소를 명시적으로 구현하고 있는지와 그 구현 방법을 파악하기 위해 관련 발문을 분석틀로 하여 교과서 활동을 분석하였다.
- 이를 위해 Jennifer & Padmanabhan(2014)이 제시한 수학적 실천을 촉진하는 발문 유형을 코드화하여 과 같이 분석틀로 재구성하고, 초등 수학 교과서에 제시된 발문 및 권고가 분석틀의 어느 발문에 해당하는지를 교과서 코드를 이용하여 나타낼 것이다.
- 앞의 두 경우에 대해 <표 II-3> 을 분석틀로 하여 수학적 실천 요소가 초등 수학 교과서에 어떻게 구현되어 있는지를 분석하였다. 한편, 수학적 과정에만 제시된 문제 만들기(P3)는 수학적 실천에는 제시되지 않아서 분석틀의 적용이 불가능하므로 관련 활동이 제시된 교과서 코드와 구체적인 구현 내용을 별도로 제시하였다.
대상 데이터
- 한편 연구 문제 2를 위해서는 2009 개정 교육 과정에 따른 4학년 1학기와 2학기 수학 교과서3) (교육부, 2015, 2014)를 분석 대상으로 하였다. 이 때, 학년급으로서 4학년의 선정은 수학적 과정의 특성 및 학생들의 발달 단계상 저학년보다는 고학년에서의 구현이 더 활발할 것으로 기대되는 한편, 현재의 연구 시점에서 2009 개정 교육과정에 따른 초등 수학 교과서가 1~4학년까지 적용되고 있다는 사실에 기인한다.
성능/효과
- 4학년 1학기(교육부, 2015)와 2학기(교육부, 2014) 교과서를 기준으로 각 활동의 발문이 MP1, MP2, MP3, MP4, MP6, MP7, MP8의 7가지 수학적 실천 중 어떤 요소와 관련되는지 분석한 결과, 10개를 제외한 수학적 실천 발문들이 초등 수학 교과서에서 잘 구현되어 있는 것으로 드러났다. 이는 7가지 수학적 실천 요소가 수학적 과정과 관련이 있기 때문에 수학 교과서가 교육과정의 의도를 적절히 반영하여 집필되었다면 당연한 결과이다.
- III장의 분석 결과, 수학적 과정과 수학적 실천에서 모두 포함된 수학적 실천 요소는 MP1, MP2, MP3, MP4, MP6, MP7, MP8의 7가지이다. 따라서 분석틀 <표 II-3>에서 이에 해당하는 수학적 실천 관련 발문만을 추출하여 교과서 활동을 분석하였다.
- 결과적으로 1차 분석 결과에서는 MP4, MP5, MP6의 3가지가 수학적 과정과 연관성이 모호한 것으로 나타났으나, 2차 분석인 세부 요소별 분석 결과에서는 차이가 있었다. MP4는 수학적 문제해결과 수학적 의사소통 요소에서도 제시되는 것으로 나타났으며 MP6는 수학적 의사소통 요소와 관련이 있었다.
- MP5-2는 4학년 수학 교과서에서 전혀 구현되지 않은 수학적 실천 관련 발문이다. 결과적으로, 수학적 과정에 없는 수학적 실천 발문이면서 교과서에서도 구현되지 않은 발문은 MP5-2이며 이는 우리나라 수학과 교육과정 및 교과서에서 등한시되는 것으로 볼 수 있다.
- 둘째, 수학적 과정과 수학적 실천의 세부 요소 비교 결과, 양자 모두에 제시되어 있는 MP1, MP2, MP3, MP4, MP6, MP7, MP8의 7가지 요소는 우리나라와 미국의 수학교육에서 공통적으로 중시하는 과정 요소라 할 수 있으므로 지속적으로 강조할 만한 성질의 것이다. 그러나 1학년 수학 교과서에서 적절히 구현된 MP8-5를 제외하고 <표 IV-1>에 나타난 MP1-5, MP2-4, MP6-2의 3개 요소는 교육과정과 교과서의 연계성이 부족한 것을 보여주는 사례이다.
- 첫째, 수학적 과정과 수학적 실천의 1차 분석에서는 MP4, MP5, MP6의 3가지가 관련이 모호한 요소로 드러났으나 그 구체적인 내용을 고려하지 않은 상태에서는 다양한 해석이 가능하다는 한계가 있었다. 따라서 각 세부 요소를 대상으로 한 2차 분석을 실시한 결과, 수학적 과정과 수학적 실천의 어느 한쪽에만 제시된 세부 요소가 드러남으로써 포함된 요소에 있어서 서로 차이가 있음을 명확히 알 수 있었다. 수학적 과정에서는 MP5의 문제 해결에 도구 사용하기와 도구의 장단점을 인식하여 적절한 사용 시기 결정하기를, 수학적 실천에서는 문제 만들기를 찾아볼 수 없다.
- 마지막으로 MP7과 MP8이 수학적 과정과 밀접한 관련이 있고 수학 교과서에도 폭넓게 구현되었다는 분석 결과에 따라, 우리나라 수학과 교육 과정의 ‘규칙성’ 영역에 대한 논의를 덧붙인다.
- 먼저, 수학적 과정은 3개 요소로 이루어져 있는 반면, 수학적 실천은 8개의 요소로 구성되어 있다는 점은 수학적 과정에 비해 수학적 실천이 더욱 광범위하고 세분화된 과정 규준을 다루고 있음을 보여준다고 할 수 있다. 수학적 과정의 3개 요소와 수학적 실천의 8개 요소 자체의 관련성은 [그림 III-1]과 같다.
- 여섯째, 2009 개정 수학과 교육과정의 수학적 과정의 세부 요소 중 특정 요소가 초등 수학 교과서에서 편중되어 구현되고 있음이 나타났다. 단원별로 다루는 수학 주제가 다르기 때문에 특히 더 강조되는 과정 요소가 있을 수 있으나, MP1과 관련된 발문들은 일부 단원의 문제해결 차시에서 Polya의 문제해결 단계에 따른 활동으로 폭넓게 강조되고 있는데 반해, 수학적 의사소통과 관련 있는 MP6의 발문이 4학년 전반에서 6개의 활동으로만 제시되고 있음은 그 격차를 확연히 보여주는 사례이다.
후속연구
- 또한 Devlin(1996)은 수학을 패턴의 과학이라고 하였고 NCTM(2000)에서도 패턴을 인식하고 패턴을 만드는 활동은 학년이 높아질수록 점차 중요하게 다루어진다. 따라서 MP7과 MP8 중 우리나라의 규칙성과 동일한 의도를 지닌 행동 특성을 추출하여 충분히 검토하고 내용 영역으로서의 규칙성과 더불어 수학적 과정으로서의 규칙성을 더욱 명료화하여 강화할 것을 제안한다.
- 즉, 교과서에 제시된 발문이나 권고가 본 연구에서 분석하고자 하는 수학적 실천의 구현에 중요한 역할을 함을 의미한다. 따라서 수학적 실천을 촉진하는 발문에 따라 초등 수학 교과서 활동의 발문과 권고를 분석하는 것은 어떠한 수학적 실천 요소가 실제 수업에서 어떻게 구현되고 있는지를 파악하게 해 줄 것으로 기대된다.
- 따라서 이를 보완하여 분석의 타당성을 확보하고 더욱 밀도 있는 세부 요소간의 관계를 비교하기 위해 수학적 과정과 수학적 실천을 각각 세분화한 과 간의 관계를 2차 분석할 것이다.
- 우리나라 수학교육의 수학적 과정에 대한 NCTM(2000)의 과정 규준의 영향과 수학적 실천의 근원으로서 과정 규준을 고려할 때 우리나라의 수학적 과정과 CCSSM의 수학적 실천의 관련성을 살펴보는 것은 다양한 시사점을 제공할 것으로 기대된다.
- 이 분석 결과는 2009 개정 교육과정에서 강조하고 있는 수학적 과정이 초등 수학 교과서에 충실히 구현되어 있는지, 수학적 과정 요소에는 명시되어 있지 않은 CCSSM의 수학적 실천 요소가 초등 수학 교과서에 구현되어 있는지 여부와 그 구현 방법을 드러내 줄 수 있을 것이다
- 따라서 수학 교과서 개발시 집필진은 수학과 교육과정의 의도를 충분히 파악하여 연계가 미흡한 MP1-5, MP2-4, MP6-2 관련 활동을 교과서에 구현해야 하며, 더 나아가 교육과정 개정시 현존 수학적 과정을 더욱 세분화하여 구체적이고 명시적으로 제시해야 할 필요가 있다. 이는 교과서 집필진뿐만 아니라 현장에서 수학을 지도하는 교사들에게도 수학적 과정의 의도를 정확히 전달해줄 수 있는 효과적인 방안이 될 것으로 기대된다.
- 이상의 분석 결과 및 그에 대한 논의는 수학적 실천과의 구체적인 비교를 통하여 수학적 과정을 세분화하고 그 내용을 보완하여 확대・발전시키기 위한 시사점을 제공하며, 동시에 수학 교육 전문가들과 현장 교사들이 수학적 과정의 중요성과 내용을 더욱 명시적으로 인식하게 함으로써 핵심역량을 위한 수학적 과정의 체계화에 기여할 수 있을 것으로 기대된다.
- 이 요소는 우리나라 수학과 교육과 정과 초등 수학 교과서에서 부족하고 등한시되는 것으로 보이며, 결과적으로 우리나라 학교수학에서는 문제해결에서 다양한 조작과 표현 활동을 강조하고 있으나 각 방법 중 어느 것이 더 정확하고 효과적인지에 대한 평가는 크게 고려하지 않음을 함의한다. 이처럼 MP5-2가 수학과 교육과정과 교과서 양쪽에 모두 제시되지 않으므로 수학적 과정의 보강에 관한 논의시 그 추가 가능성의 검토를 제안한다.
- 첫째, 수학적 과정과 수학적 실천의 1차 분석에서는 MP4, MP5, MP6의 3가지가 관련이 모호한 요소로 드러났으나 그 구체적인 내용을 고려하지 않은 상태에서는 다양한 해석이 가능하다는 한계가 있었다. 따라서 각 세부 요소를 대상으로 한 2차 분석을 실시한 결과, 수학적 과정과 수학적 실천의 어느 한쪽에만 제시된 세부 요소가 드러남으로써 포함된 요소에 있어서 서로 차이가 있음을 명확히 알 수 있었다.
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