[논문]PISA 2012 공개 문항을 활용한 예비수학교사의 수학내용지식 분석 사례연구

임해미; 이민희

doi:10.7468/mathedu.2015.54.3.207

[국내논문] PISA 2012 공개 문항을 활용한 예비수학교사의 수학내용지식 분석 사례연구
Analysis of Mathematics Preservice Teachers' Mathematical Content Knowledge based on PISA 2012 Items 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series A. The Mathematical Education, v.54 no.3, 2015년, pp.207 - 222

임해미 (한국교육과정평가원) , 이민희 (충남대학교)

Abstract ▼ AI-Helper

Mathematics preservice teachers' Mathematical Content Knowledge ("MCK") includes not only knowledge for mathematics, but also academic knowledge for school mathematics and mathematical process knowledge. We can consider the items in PISA 2012 as suitable tools to assess process knowledge as well as mathematical content knowledge because these items are developed by competent international educational experts. Therefore, the responses to items with the low percentage of correct answers in conjunction with the mathematical contents were analyzed with focus on FMC. The results showed the reasoning competency in responses using the conditions of the problem and of understanding the conditions after reading the complex problems within the context (i.e. the reasoning and argumentation competency, and communication competency) requires improvements. Furthermore the results indicated the errors due to a lack of ability of devising strategies for problem solving. Based on the foregoing results, the implications towards the directions of the education for the preservice mathematics teachers have been derived.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

다섯째, 예비수학교사의 응답결과 중 정답률이 낮게 나타난 문항의 답안을 수학내용지식 중 과정 지식 즉, PISA에서 제시한 수학적 과정과 FMC를 중심으로 분석 하여 향후 수학교사 교육에의 시사점을 도출하고자 하였다.
21세기를 살아갈 학생들은 수학에 대한 내용 지식과 더불어 수학 역량을 포함한 수학 과정 지식을 고르게 갖추어야 하며, 이를 위해서는 수학교사의 MCK가 선행되어야 한다. 따라서 본 연구에서는 수학적 내용 지식과 과정 지식을 평가하는 PISA 문항을 사용하여 예비수학교사의 MCK 특징을 분석하는 사례 연구를 수행하였다. 연구는 2014년 8월에 충청남도 소재 대학의 교육대학원에 재학 중인 예비수학교사 27명을 대상으로 하였다.
MCK에는 수학교사가 알아야할 학교수학의 내용지식과 과정지식, 학교수학과 연결된 학문적 수학 지식이 포함되며, 이때 과정지식은 NCTM(2000)에서 제시한 문제해결, 추론과 증명, 표현과 의사소통, 연결성 등의 범주를 포함한다(조완영, 2011). 본 연구에서는 예비수학교사의 MPCK에 영향을 주며, 예비수학교사가 학생을 가르칠 때 근본이 되는 지식 및 역량이라 볼 수 있는 예비수학교사의 수학내용지식 즉, MCK에 중점을 두어 살펴보고자 한다.
수학교사의 수학내용지식은 학생의 학업 성취에 직접 적인 영향을 줄 수 있기 때문에, 이 절에서는 정답률이 낮은 문항에 대해 [표 3]의 분석틀을 사용하여 오답의 원인을 분석하고 수학교사 교육에의 시사점을 도출하고자 한다.
셋째, 예비수학교사의 응답은 PISA 2012 공개문항집 (송미영 외, 2013b)에 제시된 채점 기준에 따라 채점하고, 문항을 해결하는 과정에서 나타난 수학내용지식을[표 3]의 PISA 수학 평가틀의 수학적 내용, 수학적 과정, FMC를 토대로 분석하였다. 이때, 연구자들은 예비수학교사가 나타낸 오답의 원인에 대해 분석틀을 토대로 각자 분석한 후, 결과를 종합하여 이견이 있는 부분에 대해서는 평가틀의 문구와 대조하여 재논의하는 과정을 통해 신뢰도를 확보하고자 하였다.
21세기를 살아갈 학생들은 수학에 대한 내용 지식과 더불어 21세기에 요구되는 수학 핵심역량을 고르게 갖출 필요가 있는데, 이러한 역량을 형성하고 개발하기 위해서는 수학교사의 MCK가 선행되어야 한다. 이러한 필요성에서 비롯되어 최근 수학교사의 MCK를 분석하는 연구가 많이 수행되고 있는데, 본 연구에서는 수학교사의 MCK를 분석하기 위해 국제학업성취도평가 PISA 수학 문항을 사용하고자 한다.
이에 본 연구에서는 PISA 2012 수학 공개문항을 사용하여 예비수학교사의 MCK를 분석하는 사례연구를 수행하고, 그 결과를 토대로 향후 수학교사 교육에 대한 시사점을 찾고자 한다. PISA 문항은 만 15세 학생들을 대상으로 학교에서 배운 지식을 일상생활에 적용할 수 있는지를 묻는 만큼, MCK 중 순수 수학에 대한 지식을 제외한 학교 수학과 관련된 내용 지식과 과정 지식만을 분석할 것이며, 특히 과정 지식에 초점을 두어 살펴보고자 한다.
이에 본 연구에서는 내용과 과정에 대한 평가틀을 갖는 PISA 2012 공개 문항을 사용하여 예비수학교사의 수학내용지식을 분석하는 사례연구를 수행하였다. 특히 정답률이 낮은 문항에 대해서는 기본수학능력(FMC)을 중심으로 면밀히 살펴보았다.

제안 방법

PISA 2012 공개문항에 대한 예비수학교사의 전반적인 응답 현황을 파악하고, 해당 문항에 대한 우리나라 학생들의 문항별 정답률과 비교함으로써 수학내용지식에 대하여 파악하였다. 또한 수학교사의 정답률이 상대적으로 낮은 문항은 FMC를 초점으로 PISA에서 제시하는 수학적 과정과 통합하여 분석하였다.
넷째, 응답한 예비수학교사의 문항별 정답률과 해당 문항에 대한 우리나라 학생들의 PISA 2012 정답률(송미영 외, 2013a)을 비교하여 예비수학교사의 수학내용지식과 학생들의 성취와의 연관성을 탐색하였다.
둘째, PISA 지필검사도구와 동일한 형태로 평가도구를 편집, 제작한 뒤, 30분 동안 평가를 실시하였다. 평가 시간은 PISA 평가의 문항군 당 평가 시간이 30분임을 감안한 것이다.
PISA 2012 공개문항에 대한 예비수학교사의 전반적인 응답 현황을 파악하고, 해당 문항에 대한 우리나라 학생들의 문항별 정답률과 비교함으로써 수학내용지식에 대하여 파악하였다. 또한 수학교사의 정답률이 상대적으로 낮은 문항은 FMC를 초점으로 PISA에서 제시하는 수학적 과정과 통합하여 분석하였다.
셋째, 예비수학교사의 응답은 PISA 2012 공개문항집 (송미영 외, 2013b)에 제시된 채점 기준에 따라 채점하고, 문항을 해결하는 과정에서 나타난 수학내용지식을[표 3]의 PISA 수학 평가틀의 수학적 내용, 수학적 과정, FMC를 토대로 분석하였다. 이때, 연구자들은 예비수학교사가 나타낸 오답의 원인에 대해 분석틀을 토대로 각자 분석한 후, 결과를 종합하여 이견이 있는 부분에 대해서는 평가틀의 문구와 대조하여 재논의하는 과정을 통해 신뢰도를 확보하고자 하였다.
연구문제 : PISA 수학 공개문항에 대한 응답 분석 결과 나타난 예비수학교사의 수학내용지식 중 학교수학과 관련된 내용 지식과 과정 지식은 어떤 특징을 갖는가? 예비수학교사의 수학내용지식 중 학교수학과 관련된 내용 지식은 PISA 2012 평가틀의 수학적 내용, 과정 지식은 PISA 2012 평가틀의 수학적 과정 및 기본수학역량 (FMC)을 중심으로 분석하였다.
이때, 각 문항에 대한 평가틀의 하위요소는 국제본부에서 제공하지만 FMC에 대한 정보는 별도로 제시하지 않기 때문에, 본 연구의 연구자들이 PISA 평가틀의 정의를 토대로 각자 문항에 해당하는 FMC를 분석하고, 공통되지 않는 부분은 재논의를 통해 문항과 가장 관련된 FMC가 무엇인지 결정하였다. 각 문항별 FMC는 [표 2]에 의사소통(C), 수학화(M), 표현(R), 추론과 논증 (RA), 문제해결을 위한 전략 고안(PS), 상징적・형식적・기법적인 언어와 조작의 사용(US)의 약어를 사용하여 나타냈다.
본 연구의 연구 절차는 다음과 같다. 첫째, 평가도구로 사용할 PISA 2012의 PM6A 문항군에 속한 13개 문항에 대해 PISA 평가틀을 중심으로 문항 정보를 찾고, FMC의 정의를 토대로 각 문항에 해당하는 FMC를 분석하였다.
이에 본 연구에서는 내용과 과정에 대한 평가틀을 갖는 PISA 2012 공개 문항을 사용하여 예비수학교사의 수학내용지식을 분석하는 사례연구를 수행하였다. 특히 정답률이 낮은 문항에 대해서는 기본수학능력(FMC)을 중심으로 면밀히 살펴보았다. 본 연구는 사례 연구이기 때문에 그 결과를 일반화하기에는 무리가 있으나, 경향성은 파악할 수 있었다.

대상 데이터

따라서 본 연구에서는 수학적 내용 지식과 과정 지식을 평가하는 PISA 문항을 사용하여 예비수학교사의 MCK 특징을 분석하는 사례 연구를 수행하였다. 연구는 2014년 8월에 충청남도 소재 대학의 교육대학원에 재학 중인 예비수학교사 27명을 대상으로 하였다. 처음 PISA 공개문항 평가에는 현직교사 2명을 포함한 29명이 참여했지만, 예비수학교사의 MCK를 분석하고자 현직교사들은 연구대상에서 제외하였다.

성능/효과

그 다음으로는 문제를 이해하고 문제의 조건과 구하고자 하는 목적에 따라 해결 전략을 세우고 실행하며, 과정에 대한 비판적이고 반성적인 사고를 할 수있는 역량 즉 문제해결을 위한 전략 고안 역량 부족으로 인한 오답 비율이 높았으며, 적합한 수학적 모델을 사용 하여 수학화하거나 무리수 π 등 상징적・형식적・기법적인 표현의 사용에 대한 역량과 관련한 오답도 일부 나타났다.
한편, 정답률이 낮은 세 문항은 모두 ‘과학적’ 맥락의 문제 상황에서 ‘형식화’하는 역량을 평가하는 문항이었다. 기본수학능력을 중심으로 오답 유형을 분석한 결과, 문제에서 주어진 조건을 사용하여 구하고자 하는 수학적 대상을 바르게 추론하고, 맥락 내에서 제시문의 길이가 길고 복잡한 문제를 읽고 조건을 명확히 이해하는 것, 즉 추론과 논증, 의사소통 역량이 가장 미흡한 것으로 나타났다. 그 다음으로는 문제를 이해하고 문제의 조건과 구하고자 하는 목적에 따라 해결 전략을 세우고 실행하며, 과정에 대한 비판적이고 반성적인 사고를 할 수있는 역량 즉 문제해결을 위한 전략 고안 역량 부족으로 인한 오답 비율이 높았으며, 적합한 수학적 모델을 사용 하여 수학화하거나 무리수 π 등 상징적・형식적・기법적인 표현의 사용에 대한 역량과 관련한 오답도 일부 나타났다.
이를 위해 수학이 타전공과 연계되는 상황을 다양하게 접하고 이를 수학교육에 접목할 수 있는 전공 간 융합 강좌를 개설하여 타전공 학생과 문제해결 전략을 논의하고 발전시켜나갈 필요가 있다. 둘째, 교사들이 21세기 역량 및 교육과정에서 추구하는 역량이 무엇인지 명확하게 인지하며 수업 및 평가에 반영할 수있도록 수학교사 교육에서 역량 교육을 강조해야 한다. 그 방안의 한 예로, 본 연구에서와 같이 다양한 맥락에 기반하여 수학적 지식과 수학적 과정이 모두 평가될 수있는 다양한 문제를 해결해봄으로써 수학화, 추론, 문제해결력, 의사소통 능력을 이해하고 신장할 수 있도록 해야 한다.
또한, 문제를 정확하게 이해하지 못했거나 문제해결 전략에 대한 실행이 미흡해서 나타난 오답이 전체 오답 중 63.6%로 높은 비율을 나타냈다. 이와 관련한 예비수학교사들의 응답의 예는 [그림 6]과 같다.
본 연구에 참여한 예비수학교사들은 다양한 실생활 맥락에서 제시하는 자료를 읽고 표현하거나 그 자료를 활용한 간단한 연산, 이미 알고 있는 수학적 개념을 적용하는 지식을 충분히 갖고 있는 것으로 나타났다. 한편, 예비수학교사의 정답률은 우리나라 학생들의 PISA 2012정답률과 유사한 패턴을 보였는데, 이는 DarlingHammond(2000)의 교사의 질과 학생의 성취 사이의 정적 상관이 있다는 연구결과와 일맥상통하는 것으로 교사 들의 수학내용지식은 학생의 학습에 영향을 미칠 가능성을 내포한 것이라 할 수 있다.
3%에 해당하는 예비수학교사들은 1년에 필요한 연료와 비용에 대한 명확한 구분을 하지 않고 문제를 해결하려고 하였다. 즉 돛을 달아서 연료가 20% 줄어들었을 때 소요되는 비용을 돛을 달지 않았을 때와 비교해야 되는데, 비교 대상에 대한 추론을 명확하게 하지 않아서 잘못된 해결 과정을 보인 것으로 나타났다. 문제에 주어진 조건을 파악하여 문제에서 구하고자 하는 바를 추론하는 능력은 문제해결과 관련하여 학생들에게 필수적인 역량이며, 이에 앞서 수학교사가 갖추어야할 역량일 것이다.

후속연구

둘째, 교사들이 21세기 역량 및 교육과정에서 추구하는 역량이 무엇인지 명확하게 인지하며 수업 및 평가에 반영할 수있도록 수학교사 교육에서 역량 교육을 강조해야 한다. 그 방안의 한 예로, 본 연구에서와 같이 다양한 맥락에 기반하여 수학적 지식과 수학적 과정이 모두 평가될 수있는 다양한 문제를 해결해봄으로써 수학화, 추론, 문제해결력, 의사소통 능력을 이해하고 신장할 수 있도록 해야 한다. 셋째, 제시문이 길고 조건이 복잡한 문항에 대한 수학교사의 문제해결력을 신장시키기 위해 PISA형 문항을 다양하게 접하고 개발하는 기회를 제공해야 한다.
그 방안의 한 예로, 본 연구에서와 같이 다양한 맥락에 기반하여 수학적 지식과 수학적 과정이 모두 평가될 수있는 다양한 문제를 해결해봄으로써 수학화, 추론, 문제해결력, 의사소통 능력을 이해하고 신장할 수 있도록 해야 한다. 셋째, 제시문이 길고 조건이 복잡한 문항에 대한 수학교사의 문제해결력을 신장시키기 위해 PISA형 문항을 다양하게 접하고 개발하는 기회를 제공해야 한다. 교수 학습과 일관성 있는 문항을 개발하고 적용하는 경험은 실제 학교현장에 적용할 수 있는 실천적 지식 형성의 기회를 제공하여 수학내용지식과 교수학적 지식이 복합적으로 형성되는데 긍정적 요인이 될 것으로 보인다.
따라서 21세기에 요구되는 역량을 갖춘 수학교사를 양성하고 전문성을 높이기 위해 수학교사 교육에서는 다음을 고려할 필요가 있을 것이다. 첫째, 예비수학교사교육에서 과학적 맥락을 비롯한 다양한 맥락에서의 문제 상황을 수학적 문제로 형식화하는 교사의 역량을 높이기 위한 방안이 고려되어야 한다. 실제 현상을 수학적 도구로 표현하며, 현상에 내재된 수학적 개념을 파악하여 문제 상황에 적용하는 과정은 수학적 모델링 자체로서도 의미가 있으며, 이때 수학적 진보가 일어나면 형식적 수학화 단계에 이를 수 있다는 점에서 강조될 필요가 있다 (이혜숙 외, 2010).

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	PISA 수학 문항은 무엇을 토대로 개발된 것인가?	PISA 수학 문항은 국제 전문가 그룹 및 참여국의 전문가에 의해 개발된 양질의 문항으로, 다양한 맥락, 수학적 내용, 수학적 과정을 고르게 반영한 평가틀을 토대로 개발되었다. 또한 평가틀의 수학적 과정의 토대에는 일곱 가지 수학 기본 역량에 대한 연구가 포함되어 있기 때문에 PISA 수학 문항은 수학적 내용 지식뿐만 아니라 과정 지식을 평가하는데 적합하다.
	수학 지식에서 일반 내용 지식은 무엇인가?	(2008)은 MKT를 크게 SMK와 PCK로 구분하고, SMK를 다시 일반 내용 지식 (Common Content Knowledge)과 전문 내용 지식 (Specialized Content Knowledge), 수학적으로 조망하는 지식(Knowledge at the mathematical horizontal)의 세가지로 구분하였다. 이때, 일반 내용 지식은 교사뿐만 아니라 일반 성인들도 가지고 있는 수학적 지식으로 학교 수학의 내용과 직접 관련된다. 전문 내용 지식은 일반 성인이 아닌 교사만 가지고 있는 또는 가져야하는 지식으로, 교사의 전문성과 관련된다.
	교사가 전문성을 가지고 수업을 한다는 것은 무엇을 의미하는가?	교사의 지식은 교사의 전문성과 직결된다. 교사가 전문성을 가지고 수업을 한다는 것은 수업을 통해 단순히 내용 지식만 전달하는 것이 아니라, 학생들이 이해하기 쉽게 자신이 가지고 있는 내용 지식을 변형하고 조직하며, 어떤 교수 학습 방법이 효과적인지를 판단하여 실행 하는 것을 의미한다(박경미, 2009). 즉, 교사의 전문성은 내용 지식과 더불어 그 내용과 관련된 교수학적 지식을 지니고 있을 때 발휘될 수 있다.

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원문보기 상세보기
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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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