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문제 정의
- Chevallard는 교육을 통하여 다루어지는 지식을 "학문적 지식", "가르칠 지식", "가르친 지식" 또는 "학습된(가르쳐진) 지식"으로 구분하고 이들이 어떻게 관련되는가를 확인하고자 하였다.
- 본 연구에서는 기초 학력이 많이 부족한 특성화고교 학생들을 대상으로 수학적 지식의 본질을 왜곡시키지 않으면서 학생들의 수준에 맞게 적절한 교수학적 변환을 통하여 학생들이 자기주도적으로 흥미롭게 수학학습을 할 수 있도록 하는데 중점을 두었다.
- 그러나 현재는 이러한 특성화고교 학생들을 위한 교과서가 따로 마련되어 있지 않으며, 학교마다 특성이 다르므로 학교별로 적합한 교과서를 제작하기는 더 더욱 쉽지 않다. 이러한 상황에서 본 연구에서는 보다 효과적인 수학교육이 이루어지기 위해 교수・학습 상황론에 기반한 교수학적 변환론을 참조하여 교사가 가르치고자 하는 지식이 학생들이 학습한 지식과 일치될 수 있도록 해당 지식의 본질이 파손되지 않는 범위 내에서 최대한 학생들의 수준에 맞춘 표현으로 바꾸어 학습지와 보조 자료를 제작하여 수업을 진행하였다. 또, 수학 교수・학습 상황이론을 바탕으로 학생들에게 가급적 현실적 소재를 활용하거나 실생활 적용이 가능한 문제를 다루어 볼 수 있게 하였으며, 이 때 교사의 일방적인 설명 방식은 지양하고 비교 수학적 상황으로의 이행이 잘 이루어질 수 있도록 수업을 구성하였다.
제안 방법
- (1 ≤ a < 10, n은정수)의 꼴로 나타내보게 한 후 양변에 상용로그를 취하고 이를 logx = loga+ n 의 꼴로 표현해보게 하며 지표와 가수의 용어를 설명하였다. 1차시 로그의 뜻 도입에서 학생들이 새로운 개념을 익히고 관련 문제를 풀고 실생활문제까지 해결하기에는 시간이 부족했으므로 이번 차시에서는 지표와 가수의 뜻을 이해하고 그 성질을 적용하여 예제, 문제 등을 해결하는 정도로만 하고 상용로그를 활용한 실생활 문제에 대해서는 다음 차시 학습지에서 다룰 수 있도록 구성하였다. 5차시와 6차시까지의 형성평가는 비교적 정답률이 높았고 학생들이 쉽게 이해하면서 수업참여도가 높아졌다.
- 2차시 형성평가 결과 대부분의 학생들이 아직 로그의 뜻과 성질에 대한 학습이 부족하여 오답이 많았으므로 기본적인 내용에 대한 반복학습을 통해 로그의 뜻과 성질을 활용할 수 있는 연습을 하도록 하였다.
- 실제로 학생들이 이해하기 쉽다고 느끼는 수업에서는 참여도가 훨씬 높아지는 모습을 지속적으로 관찰할 수 있었다. 6차시까지의 수업을 실시한 후 형성평가의 아래 부분을 이용하여 학생들의 소감문 및 수업참여도에 대한 자평을 조사하였다.
- [표 3]과 같이 로그의 도입 부분에서 나왔던 존 네이피어의 일화에 이어 상용로그에서는 수학자 존 네이피어와 헨리 브리그스의 만남과 상용로그의 등장에 대한 이야기를 바탕으로 상용로그를 도입했다. 다음으로 밑이 10인 경우와 밑이 5인 경우 어느 경우가 더 계산이 편리한지, 그 이유는 무엇인지에 대하여 토론하고, 로그의 성질을 활용하여 밑이 10인 로그(상용로그)의 계산을 협동학습을 통하여 토론과 발표를 할 수 있도록 구성하여 수학적 의사소통능력의 향상 및 인성교육도 함께 이루어질 수 있도록 하였다.
- 또한, 매시간 형성평가를 통해 학습목표 도달 정도를 면밀하게 확인하며, 학생들이 교사의 설명에 의존하고 있는 상황에서 벗어나 비교수학적 상황에로의 이행이 가급적 빨리 이루어질 수 있도록 구성하였다. 그리고 이러한 수업활동이 이루어진 후 수업에 대한 참여도와 소감에 관한 설문조사를 실시하고 그 결과를 분석하였다.
- 또한 상용로그의 도입 시에 로그의 도입에서 사용되었던 일화를 다시 활용하여 도입한 후, 전 시간에 학습했던 로그의 성질을 활용하여 밑이 10인 로그(상용로그)의 계산을 협동학습을 통해 반복 연습을 할 수 있도록 구성하여 수학적 의사소통능력도 향상될 수 있도록 하였다. 그리고 이후 차시에서는 지표와 가수에 관한 학습을 통해 상용로그의 유용성에 대해 느낄 수 있도록 고안하였다. 학습지 도입 5차시 후에는 형성평가 아래에 학생들의 소감과 자신의 수업 참여도에 대한 평가를 해보도록 하였다.
- 수학Ⅰ의 로그와 상용로그 단원에서 학생들의 흥미를 높이기 위해 수학사를 활용한 수학자의 일화 소개를 통해 도입하였고, 수업에 사용되는 교재 내용의 본질이 파손되지 않는 범위 내에서 상호작용을 통해 그들이 이해할 수 있게 재구성하였다. 그리고 학습자료 개발 시 본시 학습의 내용 이해를 위한 개념과 예를 제시할 때에도 교과서에 제시되어 있는 표현을 학생들이 쉽게 이해할 수 있는 표현으로 바꾸어 사용하는 전략을 사용하였고 가급적이면 실생활 관련 문제나 소재를 도입하였다. 또한, 매시간 형성평가를 통해 학습목표 도달 정도를 면밀하게 확인하며, 학생들이 교사의 설명에 의존하고 있는 상황에서 벗어나 비교수학적 상황에로의 이행이 가급적 빨리 이루어질 수 있도록 구성하였다.
- [표 3]과 같이 로그의 도입 부분에서 나왔던 존 네이피어의 일화에 이어 상용로그에서는 수학자 존 네이피어와 헨리 브리그스의 만남과 상용로그의 등장에 대한 이야기를 바탕으로 상용로그를 도입했다. 다음으로 밑이 10인 경우와 밑이 5인 경우 어느 경우가 더 계산이 편리한지, 그 이유는 무엇인지에 대하여 토론하고, 로그의 성질을 활용하여 밑이 10인 로그(상용로그)의 계산을 협동학습을 통하여 토론과 발표를 할 수 있도록 구성하여 수학적 의사소통능력의 향상 및 인성교육도 함께 이루어질 수 있도록 하였다.
- 연구자가 지도하고 있는 3학년 학생들은 2학년 1학기부터 2학기 중간고사 이전까지 연구자가 직접 제작한 학습지로 학습을 했고, 2학년 2학기 중간고사 이후부터 현재 3학년 1학기 중간고사 이전까지 K 출판사 교과서로 학습을 해왔으며 지수와 로그 단원에서 지수 단원 역시 교과서로 수업이 이루어졌으나 학생들을 대상으로 한 사전 설문조사에서 학습지로 수업을 진행할 때 이해하기가 더 수월했고 집중이 잘 되었다는 의견이 많았다. 따라서 로그의 도입부터는 학습지를 제작해서 수업을 진행하였다. 구체적인 교수·학습 과정과 분석결과는 다음과 같다.
- 주 2회 수업이 이루어지므로 가끔 취업 특강 등 학교의 특별 프로그램이 있을 경우 다음 학습이 이루어지기까지 1주일이 걸리는 경우도 있으며, 많은 학생들이 따로 복습하는 시간을 갖지 않으므로 수업 중에 상당한 반복학습이 이루어지도록 해야 한다고 판단하였다. 따라서 로그의 정의와 성질에 대한 단순 반복을 할 수 있는 학습지도 제작하였다.
- 이러한 상황에서 본 연구에서는 보다 효과적인 수학교육이 이루어지기 위해 교수・학습 상황론에 기반한 교수학적 변환론을 참조하여 교사가 가르치고자 하는 지식이 학생들이 학습한 지식과 일치될 수 있도록 해당 지식의 본질이 파손되지 않는 범위 내에서 최대한 학생들의 수준에 맞춘 표현으로 바꾸어 학습지와 보조 자료를 제작하여 수업을 진행하였다. 또, 수학 교수・학습 상황이론을 바탕으로 학생들에게 가급적 현실적 소재를 활용하거나 실생활 적용이 가능한 문제를 다루어 볼 수 있게 하였으며, 이 때 교사의 일방적인 설명 방식은 지양하고 비교 수학적 상황으로의 이행이 잘 이루어질 수 있도록 수업을 구성하였다. 그 결과 학생들의 수업에 대한 흥미도와 수업참여도가 현저히 상승되었고, 형성평가에서의 정답률 또한 향상되는 것을 알 수 있었다.
- 이후 차시에서 로그의 성질에 대한 이해를 바탕으로 학생들의 수준에 맞추어 간단한 예제를 풀게 하고 문제의 수준을 단계적으로 높여 진행하였으며, 로그의 밑변환공식 역시 간단한 예제를 통해 공식을 이해하고 적용할 수있게 하였다. 또한 상용로그의 도입 시에 로그의 도입에서 사용되었던 일화를 다시 활용하여 도입한 후, 전 시간에 학습했던 로그의 성질을 활용하여 밑이 10인 로그(상용로그)의 계산을 협동학습을 통해 반복 연습을 할 수 있도록 구성하여 수학적 의사소통능력도 향상될 수 있도록 하였다. 그리고 이후 차시에서는 지표와 가수에 관한 학습을 통해 상용로그의 유용성에 대해 느낄 수 있도록 고안하였다.
- 그리고 학습자료 개발 시 본시 학습의 내용 이해를 위한 개념과 예를 제시할 때에도 교과서에 제시되어 있는 표현을 학생들이 쉽게 이해할 수 있는 표현으로 바꾸어 사용하는 전략을 사용하였고 가급적이면 실생활 관련 문제나 소재를 도입하였다. 또한, 매시간 형성평가를 통해 학습목표 도달 정도를 면밀하게 확인하며, 학생들이 교사의 설명에 의존하고 있는 상황에서 벗어나 비교수학적 상황에로의 이행이 가급적 빨리 이루어질 수 있도록 구성하였다. 그리고 이러한 수업활동이 이루어진 후 수업에 대한 참여도와 소감에 관한 설문조사를 실시하고 그 결과를 분석하였다.
- 로그단원의 도입 시에 수학자의 일화를 소개하는 동영상 자료를 시청하며 시작함으로써 학생들의 흥미를 끌고 동기유발을 하여 로그의 개념에 대한 간단한 예제와 실생활 문제를 스스로 풀고 협동학습을 진행하게 하였고 그 날의 수업을 확인하는 차원에서 형성평가를 실시하여 스스로 틀린 문제에 대해 분석하는 시간을 갖도록 했다. 이후 차시에서 로그의 성질에 대한 이해를 바탕으로 학생들의 수준에 맞추어 간단한 예제를 풀게 하고 문제의 수준을 단계적으로 높여 진행하였으며, 로그의 밑변환공식 역시 간단한 예제를 통해 공식을 이해하고 적용할 수있게 하였다.
- 본 연구에서는 먼저 수학에 대한 학생들의 자신감, 흥미 등에 대한 사전 설문 조사 및 분석을 실시한 후 수학 교수・학습 이론 가운데 수학교육에서의 수학사의 활용과 교수학적 변환론, 수학 교수・학습 상황론을 참조하여 제작된 학습지를 사용하여 로그 단원을 학습하고 그 효과에 대해 분석하였다.
- 본 연구에서의 단원은 고등학교 2학년에서 학습하는 수학Ⅰ(2007개정 기준)(교육과학기술부, 2008)의 로그 단원 도입과 로그의 성질 및 상용로그 도입 부분이나, 본교의 3학년 학생들은 3년간 고등학교 수학, 수학Ⅰ 두 권의 교재로 학습하게 되어 있어 3학년에서 이 단원을 학습하고 있다. 본교에는 3명의 수학교사가 각각 한 학년씩 전담하고 있으며 연구자의 경우 3학년 전반인 1반에서 8반까지의 학생들을 2014년부터 지금까지 지도하고 있어 이 학생들을 대상으로 교수실험을 실시하였다. 이 학생들은 2학년 때 1년간 교과서와 학습지를 병행하여 학습 하였고 2015년 3월부터 4월 중순경까지 수학Ⅰ 교과서로 학습하였으며, 중간고사 이후 학생들을 대상으로 수학에 대한 흥미와 관심 등에 대한 설문조사를 실시하였고, 교과서 내용이 분량이 많고 이해하기 어렵다는 학생들의 의견을 수렴하여 중간고사 이후부터 학생들의 수준에 맞는 학습지를 따로 제작하고 동기유발을 위한 보조 자료도 준비하여 수업을 진행하였다.
- 수학Ⅰ의 로그와 상용로그 단원에서 학생들의 흥미를 높이기 위해 수학사를 활용한 수학자의 일화 소개를 통해 도입하였고, 수업에 사용되는 교재 내용의 본질이 파손되지 않는 범위 내에서 상호작용을 통해 그들이 이해할 수 있게 재구성하였다. 그리고 학습자료 개발 시 본시 학습의 내용 이해를 위한 개념과 예를 제시할 때에도 교과서에 제시되어 있는 표현을 학생들이 쉽게 이해할 수 있는 표현으로 바꾸어 사용하는 전략을 사용하였고 가급적이면 실생활 관련 문제나 소재를 도입하였다.
- 본교에는 3명의 수학교사가 각각 한 학년씩 전담하고 있으며 연구자의 경우 3학년 전반인 1반에서 8반까지의 학생들을 2014년부터 지금까지 지도하고 있어 이 학생들을 대상으로 교수실험을 실시하였다. 이 학생들은 2학년 때 1년간 교과서와 학습지를 병행하여 학습 하였고 2015년 3월부터 4월 중순경까지 수학Ⅰ 교과서로 학습하였으며, 중간고사 이후 학생들을 대상으로 수학에 대한 흥미와 관심 등에 대한 설문조사를 실시하였고, 교과서 내용이 분량이 많고 이해하기 어렵다는 학생들의 의견을 수렴하여 중간고사 이후부터 학생들의 수준에 맞는 학습지를 따로 제작하고 동기유발을 위한 보조 자료도 준비하여 수업을 진행하였다.
- 본 연구에서 이용한 자료는 학생들의 사전 설문조사지, 수업 시간에 활용한 학습지 그리고 학생들의 형성평가 결과와 수업 소감문이다. 이러한 자료를 통해 학생들과의 소통을 바탕으로 교재를 재구성하여 제작한 학습지를 사용한 교수・학습의 효과에 대하여 분석한다.
- 지수 단원에서 학습한 지수법칙을 바탕으로 로그의 밑의 변환 공식을 유도하고 공식을 이용하여 로그의 곱셈을 학생 주도적으로 연습하도록 구성하였다. 형성평가를 실시한 결과 로그의 밑의 변환 공식은 비교적 쉽게 이해하고 관련 문제도 잘 해결하였다.
대상 데이터
- 본 연구는 2014년부터 연구자가 지도하고 있는 부산광역시에 소재하고 있는 특성화고교인 B학교 3학년 전체 173명의 학생들을 대상으로 하였다. 다음 [표 1]은 이 학생들의 입학 당시 중학교 내신백분율과 2년간의 학적이동 후 현재 인원 및 비율이다.
- 본 연구에서 이용한 자료는 학생들의 사전 설문조사지, 수업 시간에 활용한 학습지 그리고 학생들의 형성평가 결과와 수업 소감문이다. 이러한 자료를 통해 학생들과의 소통을 바탕으로 교재를 재구성하여 제작한 학습지를 사용한 교수・학습의 효과에 대하여 분석한다.
성능/효과
- (4)현대 기술 문명의 발달에서의 수학의 중심적인 역할과 수학의 문화적인 역할, 특히 인간관과 세계관 형성에 미친 수학의 역할을 이해함으로써 수학에 대한 학생들의 인식을 바꿀 수 있다.
- 또, 수학 교수・학습 상황이론을 바탕으로 학생들에게 가급적 현실적 소재를 활용하거나 실생활 적용이 가능한 문제를 다루어 볼 수 있게 하였으며, 이 때 교사의 일방적인 설명 방식은 지양하고 비교 수학적 상황으로의 이행이 잘 이루어질 수 있도록 수업을 구성하였다. 그 결과 학생들의 수업에 대한 흥미도와 수업참여도가 현저히 상승되었고, 형성평가에서의 정답률 또한 향상되는 것을 알 수 있었다. 이와 같은 결과를 토대로 특성화고교 학생들에 대한 효과적인 수학교육이 이루어지기 위하여 다음과 같은 제언을 하고자 한다.
- 설문조사와 인터뷰를 통해 학생들의 의견을 취합해본 결과, [그림 4]에서 보는 바와 같이 다수의 학생들이 교과서로 할 때에는 한 차시 수업 분량이나 그 내용에 대해 한 눈에 보기 힘들었고 설명이 어렵고 분량이 많아 이해하기가 힘들었으나, 학습지로 수업을 할 때에는 중요한 내용이 요약되어있고, 한 차시 분량이 한 장에 정리되어 있어 공부하기가 수월했고, 수업도 더 집중해서 들을 수 있게 되었다고 평가했다.
- 셋째, 가급적 현실적 맥락에서 수학 학습 활동이 이루어져야 한다. 학력 수준이 낮고 수학에 흥미가 없는 학생들을 대상으로 보다 효과적인 수학 교육이 이루어지기 위해서는 엄밀한 수학적 내용과 고난도의 응용문제를 다루기보다는 가급적 현실적 맥락의 가벼운 소재를 예제나 문제에 활용하는 것이 효과적이다.
- 연구자가 지도하고 있는 3학년 학생들은 2학년 1학기부터 2학기 중간고사 이전까지 연구자가 직접 제작한 학습지로 학습을 했고, 2학년 2학기 중간고사 이후부터 현재 3학년 1학기 중간고사 이전까지 K 출판사 교과서로 학습을 해왔으며 지수와 로그 단원에서 지수 단원 역시 교과서로 수업이 이루어졌으나 학생들을 대상으로 한 사전 설문조사에서 학습지로 수업을 진행할 때 이해하기가 더 수월했고 집중이 잘 되었다는 의견이 많았다. 따라서 로그의 도입부터는 학습지를 제작해서 수업을 진행하였다.
- 로그단원의 도입 시에 수학자의 일화를 소개하는 동영상 자료를 시청하며 시작함으로써 학생들의 흥미를 끌고 동기유발을 하여 로그의 개념에 대한 간단한 예제와 실생활 문제를 스스로 풀고 협동학습을 진행하게 하였고 그 날의 수업을 확인하는 차원에서 형성평가를 실시하여 스스로 틀린 문제에 대해 분석하는 시간을 갖도록 했다. 이후 차시에서 로그의 성질에 대한 이해를 바탕으로 학생들의 수준에 맞추어 간단한 예제를 풀게 하고 문제의 수준을 단계적으로 높여 진행하였으며, 로그의 밑변환공식 역시 간단한 예제를 통해 공식을 이해하고 적용할 수있게 하였다. 또한 상용로그의 도입 시에 로그의 도입에서 사용되었던 일화를 다시 활용하여 도입한 후, 전 시간에 학습했던 로그의 성질을 활용하여 밑이 10인 로그(상용로그)의 계산을 협동학습을 통해 반복 연습을 할 수 있도록 구성하여 수학적 의사소통능력도 향상될 수 있도록 하였다.
- 현재 이 학교 내에는 영상제작과, 영상연출과, 연기과, 영상디자인과 4개의 전공이 있으며 전공별 학생들의 진로에 대해 조사해본 결과 졸업 후 취업을 원하는 학생들이 영상제작과는 56.25%, 영상연출과는 40%, 연기과는 12.5%, 영상디자인과는 35%였으며 졸업 후 대학진학을 원하는 학생들이 영상제작과는 43.75%, 영상연출과는 60%, 연기과는 87.5%, 영상디자인과는 35%였다. 전공에 따라 학생들의 희망 진로가 복잡한 상황이며 심지어 영상디자인과의 30%의 학생들은 아직 진로를 결정하지 못하고 있었다.
후속연구
- 교사는 수학 교수・학습에서 교사와 학생간의 상호작용을 그 바탕으로 두고 학생들이 자유롭게 자신의 의사를 표현할 수 있도록 분위기를 조성해야 한다. 또한 매 차시 형성평가를 통해 학생들의 학습목표 도달 정도를 교사와 학생이 함께 확인하고 반성해야하며, 교사는 그 결과를 향후 수업에 반영하여 난이도를 적절히 조절하여 수업을 준비한다면 수학을 포기하는 학생이 줄어들 뿐만 아니라 더욱 효과적인 수학교육이 이루어질 수 있을 것으로 사료된다.
- 이러한 교수학적 변환론을 교육현장에 적용할 때, 교사는 지식의 본질을 파손 시키지 않는 범위 내에서 학생들의 수준에 맞추어 교수·학습이 이루어질 수 있도록 노력해야 한다. 이를 위해서는 학생들과 지속적인 소통을 통하며 선수학습 정도를 확인하고 수업이 이루어진 후 학습목표 도달 정도를 확인하여 이를 향후 진도 운영계획에 반영하고 난이도를 조절해야하며 이러한 활동이 잘 이루어질때 비로소 가르친 지식과 학습된 지식이 일치될 수 있을 것으로 사료된다.
- 향후 특성화고교 학생들을 대상으로 보다 효과적인 수학교육이 이루어지기 위하여 더욱 다양한 교수・학습 방법이나 학생들과의 효과적인 소통 방안 등에 대한 연구가 지속적으로 수행되어야 할 것으로 사료된다.
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