본 연구는 비와 비율에 대한 기본적인 내용을 배운 5학년 학생들과 비례와 비례식 및 형식적인 전략까지 배운 6학년 학생들의 비례추론 능력을 비교 분석하고, 초등학교의 비례 추론 지도를 위한 시사점을 제공하고자 하였다. 이를 위해 5학년 131명과 6학년 138명 학생들을 대상으로 다양한 과제로 구성된 비례 추론 검사를 실시하여 성취도와 전략을 분석하고, 일부 면담을 실시하였다. 분석 결과 5학년과 6학년 학생들의 평균은 다소 차이는 있었으나 크지 않았고, 과제 유형별로는 5, 6학년 모두 기하 과제보다는 대수 과제, 질적 과제보다는 양적 과제, 비교 과제보다는 미지값 과제에서 높은 점수를 보였으며, 5, 6학년 모두 형식적 전략보다는 인수 전략과 단위 비율 전략 같은 비형식적 전략을 훨씬 더 많이 사용하였고, 비례 상황과 비 비례 상황을 구분하는 데는 여전히 어려움이 있었다. 이런 결과를 바탕으로 학생들의 비례 추론 지도를 위한 시사점으로 다양한 비례 추론 과제의 도입과 학생들의 유연한 전략의 중시를 제안하였다.
본 연구는 비와 비율에 대한 기본적인 내용을 배운 5학년 학생들과 비례와 비례식 및 형식적인 전략까지 배운 6학년 학생들의 비례추론 능력을 비교 분석하고, 초등학교의 비례 추론 지도를 위한 시사점을 제공하고자 하였다. 이를 위해 5학년 131명과 6학년 138명 학생들을 대상으로 다양한 과제로 구성된 비례 추론 검사를 실시하여 성취도와 전략을 분석하고, 일부 면담을 실시하였다. 분석 결과 5학년과 6학년 학생들의 평균은 다소 차이는 있었으나 크지 않았고, 과제 유형별로는 5, 6학년 모두 기하 과제보다는 대수 과제, 질적 과제보다는 양적 과제, 비교 과제보다는 미지값 과제에서 높은 점수를 보였으며, 5, 6학년 모두 형식적 전략보다는 인수 전략과 단위 비율 전략 같은 비형식적 전략을 훨씬 더 많이 사용하였고, 비례 상황과 비 비례 상황을 구분하는 데는 여전히 어려움이 있었다. 이런 결과를 바탕으로 학생들의 비례 추론 지도를 위한 시사점으로 다양한 비례 추론 과제의 도입과 학생들의 유연한 전략의 중시를 제안하였다.
This research analyzed proportional reasoning abilities of the 5th grade students who learned only the basis of ratio and rate and 6th grade students who also learned proportion and cross product strategy. Data were collected through the proportional reasoning tests and the interviews, and then the ...
This research analyzed proportional reasoning abilities of the 5th grade students who learned only the basis of ratio and rate and 6th grade students who also learned proportion and cross product strategy. Data were collected through the proportional reasoning tests and the interviews, and then the achievement of the students and their proportional reasoning strategies were analyzed. In the light of such analytical results, the conclusions are as follows. Firstly, there is not much difference between 5th and 6th grade students in the achievement scores. Secondly, both 5th and 6th graders are less familiar with the geometric, qualitative and comparisons tasks than the other tasks. Thirdly, not only 5th graders but also 6th graders used informal strategies much more than the formal strategy. Fourthly, some students can't come up with other strategies than the cross product strategy. Finally, many students have difficulties in discerning proportional situation and non-proportional situations. This study provided suggestions for improving teaching proportional reasoning in elementary schools in Korea as follows: focusing on letting students use their informal strategies fluently in geometric, qualitative, and comparisons tasks as well as algebraic, quantitative, and missing value tasks focusing on the concept of ratio and proportion instead of enforcing the formal strategy.
This research analyzed proportional reasoning abilities of the 5th grade students who learned only the basis of ratio and rate and 6th grade students who also learned proportion and cross product strategy. Data were collected through the proportional reasoning tests and the interviews, and then the achievement of the students and their proportional reasoning strategies were analyzed. In the light of such analytical results, the conclusions are as follows. Firstly, there is not much difference between 5th and 6th grade students in the achievement scores. Secondly, both 5th and 6th graders are less familiar with the geometric, qualitative and comparisons tasks than the other tasks. Thirdly, not only 5th graders but also 6th graders used informal strategies much more than the formal strategy. Fourthly, some students can't come up with other strategies than the cross product strategy. Finally, many students have difficulties in discerning proportional situation and non-proportional situations. This study provided suggestions for improving teaching proportional reasoning in elementary schools in Korea as follows: focusing on letting students use their informal strategies fluently in geometric, qualitative, and comparisons tasks as well as algebraic, quantitative, and missing value tasks focusing on the concept of ratio and proportion instead of enforcing the formal strategy.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 비와 비율의 기본적인 개념을 배운 5학년 학생들과 비례와 비례식 및 형식적 전략까지 배운 6학년 학생들의 비례 추론 능력 검사를 실시하고 정답률과 전략을 비교 분석함으로써, 우리나라 초등학교에서 비례 추론지도를 위한 시사점을 제공하고자 한다.
이 장에서는 학생들의 비례 추론 능력을 분석하기 위하여 5학년과 6학년 학생들의 전반적인 정답률과 학년별, 문항별, 과제 유형별 정답률을 살펴보고, 학년과 과제 유형에 따라 정답률이 차이를 보이는가에 대해 살펴보았다. 또한 5학년과 6학년의 정답자들이 어떠한 비례 추론 전략을 사용하였는지 상세히 알아보고, 학년에 따라 학생들이 사용한 비례 추론의 전략의 유형에 차이점이 존재하는지에 관하여 살펴보았다.
검사를 실시하기에 앞서 연구자들이 각 학급에 방문하여 학생들에게 검사를 실시하는 의도를 설명하고, 성실하게 임하여 줄 것을 부탁하였다. 또한 연구자들은 학생들이 검사에 임하는 과정에서 필요한 경우 연구의 결과에 영향을 미치지 않는 범위 내에서 문항에 대한 학생들의 질문에 답변하였다. 학생들이 해결한 검사지를 모두 수거한 후, 문항에 대한 답변의 성실성을 살펴 5학년 131명, 6학년 138명의 검사지를 선별하였다.
, 2012; Billings, 2001, The School Mathematics Project, 2003)에서 사용한 비례 추론 과제를 기반으로 다양한 유형으로 구성된 20개의 문항으로 이루어진 비례 추론 검사지를 마련하였다. 문항의 맥락은 우리나라 학생들이 공감할 수 있는 상황으로 재구성하여 문항에 관한 학생들의 이해도를 향상시키고자 하였다.
본 연구에서는 비례 추론은 학교수학을 관통하는 내용일 뿐만 아니라 수학 외적인 학문이나 일상생활에 매우 핵심적인 내용임에도 불구하고, 많은 학생들이 어려움을 겪고 있으며, 그 원인으로 제한된 과제 유형을 다루는 것과 형식적 전략 위주의 지도를 들고 있지만, 우리나라 교육과정에서는 여전히 비와 비율의 의미를 다룬 후에 비례식을 중심으로 제한된 과제 유형을 다루면서 형식적 전략 위주의 지도를 하고 있으므로, 비와 비율의 의미를 주로 다루는 5학년과 학생들과 비례와 비례식 및 형식적 전략까지 배운 6학년 학생들의 비례 추론 능력 검사를 실시하고 성취도와 전략을 비교 분석함으로써 우리나라 초등학교에서 비례 추론 지도를 위한 시사점을 제안하고자 하였다.
이 장에서는 학생들의 비례 추론 능력을 분석하기 위하여 5학년과 6학년 학생들의 전반적인 정답률과 학년별, 문항별, 과제 유형별 정답률을 살펴보고, 학년과 과제 유형에 따라 정답률이 차이를 보이는가에 대해 살펴보았다. 또한 5학년과 6학년의 정답자들이 어떠한 비례 추론 전략을 사용하였는지 상세히 알아보고, 학년에 따라 학생들이 사용한 비례 추론의 전략의 유형에 차이점이 존재하는지에 관하여 살펴보았다.
제안 방법
다음으로 단위 비율 전략을 사용한 예를 살펴보면, 5학년 학생은 6개에 1950원인 초콜릿 20개의 값을 구하는 문항을 초콜릿 1개의 값을 구해 20배하는 방법으로 해결하였다. 6학년 학생은 고양이가 각 마을에 60km2에 1000마리, 100km2에 1500마리가 있을 때 고양이를 자주 볼 수 있는 곳을 선택하는 문항을 고양이 한 마리가 차지하는 넓이를 구하고 이를 비교하여 해결하였다. 합성 단위 전략을 사용한 예를 살펴보면, 5학년 학생은 확대되기 전 사진을 하나의 단위로 보고, 확대된후의 사진에 단위가 4번 포함됨을 이용하여 필요한 밀폐제의 양을 구하였다.
2차원 전략을 사용한 사례를 살펴보면, 5학년 학생은 왜곡되지 않고 확대ㆍ축소된 사진을 선택하는 과정에서 원본 사진과 확대ㆍ축소된 사진의 관계와 사진 속 대상 간의 관계를 함께 고려하여 문제를 해결하였다. 6학년 학생은 코코아 A와 B의 농도 사이의 관계를 파악하고, 코코아와 우유를 첨가한 뒤의 각각의 농도 변화를 반영하여 코코아 A와 B의 농도를 비교하였다. 이 학생은 양적 추론 전략에 속하는 그림을 사용한 모델링 전략도 사용하였는데 코코아의 농도를 코코아 색의 진하기로 표현하였다.
학생들이 문항을 해결한 결과는 정답, 오답, 무응답으로 구분하였고, 정답의 경우 1점, 오답과 무응답에 대해서는 0점을 부과하였다. 또한 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 양적 추론 전략과 질적 추론 전략의 종류에 따라 분류하였으며, 이 과정은 연구자 2명이 교차 분석으로 검증하는 과정을 거쳤다. 학생들의 정답률과 비례 추론 전략의 비율에 대한 분석 및 t 검정에는 통계프로그램 SPSS v18.
본 검사는 2014년 12월에 40분 동안 7문항씩 총 2회에 걸쳐 실시하였으며, 학생이 요구할 경우 10분의 시간을 더 제공하였다. 검사를 실시하기에 앞서 연구자들이 각 학급에 방문하여 학생들에게 검사를 실시하는 의도를 설명하고, 성실하게 임하여 줄 것을 부탁하였다.
본 연구에서는 비례 추론과 관련된 선행 연구(Ben-Chaim et al., 2012; Billings, 2001, The School Mathematics Project, 2003)에서 사용한 비례 추론 과제를 기반으로 다양한 유형으로 구성된 20개의 문항으로 이루어진 비례 추론 검사지를 마련하였다. 문항의 맥락은 우리나라 학생들이 공감할 수 있는 상황으로 재구성하여 문항에 관한 학생들의 이해도를 향상시키고자 하였다.
이와 같이 세 개의 범주로 나누어 볼 때 비례 추론 과제는 세 가지 범주 각각의 한 유형에 속하므로, 크게 8가지 유형으로 구분된다. 본 연구에서는 이 틀을 사용하여 비례 추론 능력 검사지를 구성할 때 과제 유형으로 대수-양적-비교(ANC), 대수-양적미지값(ANM), 대수-질적-비교(ALC), 대수-질적미지값(ALM), 기하-양적-비교(GNC), 기하-양적미지값(GNM), 기하-질적-비교(GLC), 기하-질적미지값(GLM)을 고려하였다.
<표 III-1>에 제시된 바와 같이, 5학년 학생들은 비와 비율의 의미와 비율의 여러 가지 표현방법을 학습하였으며, 6학년 학생들은 비례식을 이해하고 활용하며, 비의 성질을 학습한 후에 비례식의 성질, 즉 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 성질을 이용하여 비례식을 해결하는 형식적인 비례 추론 전략을 학습하였다. 해당 수학 수업은 수학 교과서를 주교재로 하는 학교 현장에서 이루어지는 일반적인 수업 방식으로 진행되었다.
<표 IV-9>는 질적 추론 과제에 정답자가 사용한 비례 추론의 전략의 구체적인 예를 학년별로 제시한 것이다. <표 IV-9>에서 1차원 전략의 적용 사례에서 5학년 학생은 우유의 양으로 두 코코아의 농도를 비교하였으며, 6학년 학생은 코코아 가루의 양으로 코코아의 농도를 비교하였다. 2차원 전략을 사용한 사례를 살펴보면, 5학년 학생은 왜곡되지 않고 확대ㆍ축소된 사진을 선택하는 과정에서 원본 사진과 확대ㆍ축소된 사진의 관계와 사진 속 대상 간의 관계를 함께 고려하여 문제를 해결하였다.
6학년 학생은 코코아 A와 B의 농도 사이의 관계를 파악하고, 코코아와 우유를 첨가한 뒤의 각각의 농도 변화를 반영하여 코코아 A와 B의 농도를 비교하였다. 이 학생은 양적 추론 전략에 속하는 그림을 사용한 모델링 전략도 사용하였는데 코코아의 농도를 코코아 색의 진하기로 표현하였다. 다음으로 특수화 전략의 적용 사례를 보면 5학년 학생들은 수치가 제시되어 있지 않은 코코아의 농도 변화문제에서 코코아와 코코아 가루, 우유의 양을 문항에서 제시된 관계가 반영되도록 구체적인 수를 정하여 문항을 해결하였다.
이에 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 크게 양적 추론과 질적 추론 과제에 사용한 전략으로 구분하여 분석하였다. 이를 통하여 학생들이 주로 사용하는 비례 추론 전략의 종류와 수준을 알아보고, 5ㆍ6학년 사이에 차이점이 있는지 살펴보았다.
학생들은 비례 추론 과제를 해결하면서 여러가지 비례 추론 전략을 사용하였다. 이에 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 크게 양적 추론과 질적 추론 과제에 사용한 전략으로 구분하여 분석하였다. 이를 통하여 학생들이 주로 사용하는 비례 추론 전략의 종류와 수준을 알아보고, 5ㆍ6학년 사이에 차이점이 있는지 살펴보았다.
1차원 전략은 두 쌍의 양 중 오직 한 쌍의 양들의 관계만을 고려하는 것, 2차원 전략은 두 쌍의 양들의 관계를 모두 고려하는 것, 특수화 전략은 특정한 그림을 사용하거나 구체적인 수들을 사용하는 것을 말한다. 일부 학생들은 질적 과제들을 해결할 때 질적 비교 전략, 인수 전략, 동치 분수 전략과 같은 양적 과제와 관련된 전략을 사용하기도 하였지만, 본 연구에서는 일관성을 위해서 질적 과제를 분석할 때는 1차원, 2차원, 특수화 전략으로 구분하였다.
질적 과제와 관련된 비례 추론 전략은 정영옥(2015)과 본 연구에서 나타난 학생들의 반응을 기초로 1차원 전략, 2차원 전략, 특수화 전략으로 구분하였다. 1차원 전략은 두 쌍의 양 중 오직 한 쌍의 양들의 관계만을 고려하는 것, 2차원 전략은 두 쌍의 양들의 관계를 모두 고려하는 것, 특수화 전략은 특정한 그림을 사용하거나 구체적인 수들을 사용하는 것을 말한다.
학년에 따라 정답률의 유의미한 차이를 보이는 문항들 사이의 좀 더 명확한 특성을 알아보고자 과제 유형으로 구분하여 정답률을 알아보았다. <표 IV-4>는 과제 유형별 5ㆍ6학년 정답률을 나타낸 것이고, [그림 IV-2]는 이를 그래프로 나타낸 것이다.
학생들은 비례 추론 과제를 해결하면서 여러가지 비례 추론 전략을 사용하였다. 이에 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 크게 양적 추론과 질적 추론 과제에 사용한 전략으로 구분하여 분석하였다.
학생들이 해결한 검사지를 모두 수거한 후, 문항에 대한 답변의 성실성을 살펴 5학년 131명, 6학년 138명의 검사지를 선별하였다. 학생들이 문항을 해결한 결과는 정답, 오답, 무응답으로 구분하였고, 정답의 경우 1점, 오답과 무응답에 대해서는 0점을 부과하였다. 또한 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 양적 추론 전략과 질적 추론 전략의 종류에 따라 분류하였으며, 이 과정은 연구자 2명이 교차 분석으로 검증하는 과정을 거쳤다.
0을 사용하였다. 학생들이 해결한 검사지를 분석하는 과정에서 학생들의 사고 과정에 대한 좀 더 상세한 이해를 위하여 일부 학생들에 대한 개별 면담을 실시하였다.
대상 데이터
합성 단위 전략을 사용한 예를 살펴보면, 5학년 학생은 확대되기 전 사진을 하나의 단위로 보고, 확대된후의 사진에 단위가 4번 포함됨을 이용하여 필요한 밀폐제의 양을 구하였다. 6학년 학생은 6개에 1950원인 초콜릿이 2개일 때 650원이라는 합성 단위를 만들어 초콜릿 20개의 값을 구하였다. 다음으로 비례식 전략을 사용한 예를 보면, 학생들은 비례식을 세우고 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 비례식의 성질을 이용하여 값을 구하였다.
마련된 검사지에 대한 예비 검사를 연구 대상이 속한 초등학교의 6학년 1개 학급에 2014년 10월과 11월에 걸쳐 2차례 진행하였다. 예비 검사를 실시한 결과 상대적으로 지나치게 높거나 낮은 정답률을 보인 6개의 문항은 비례 추론 능력을 측정하는 데 다소 적절하지 못한 측면이 있다고 판단하여 검사지에서 제외하였다.
본 연구는 경기도에 소재한 D 초등학교의 5학년 학생 171명과 6학년 학생 173명을 대상으로 조사 연구의 방식으로 진행되었다. D 초등학교는 학생들의 학력 수준과 학부모들의 사회·경제적 수준을 고려해 볼 때 평범한 수준에 속하는 학교이다.
본 연구의 경우 비례식을 학습한 후 6개월이 경과한 학생들을 대상으로 하였으며, 김경선·박영희(2007)은 비례식을 배운 직후의 학생들을 대상으로 하였다.
또한 연구자들은 학생들이 검사에 임하는 과정에서 필요한 경우 연구의 결과에 영향을 미치지 않는 범위 내에서 문항에 대한 학생들의 질문에 답변하였다. 학생들이 해결한 검사지를 모두 수거한 후, 문항에 대한 답변의 성실성을 살펴 5학년 131명, 6학년 138명의 검사지를 선별하였다. 학생들이 문항을 해결한 결과는 정답, 오답, 무응답으로 구분하였고, 정답의 경우 1점, 오답과 무응답에 대해서는 0점을 부과하였다.
데이터처리
02만큼 더 높게 나타났다. 학년 간 과제 유형별 정답률의 차이에 대해 좀 더 자세히 알아보기 위해 t-검정을 실시하였다. 그 결과는 <표 IV-5>와 같다.
학년에 따른 문항별 정답률을 살펴보면 14개 문항 중 1, 6, 7, 11번 문항에서 5학년의 정답률이 높았으며, 이를 제외한 10개 문항에서 6학년의 정답률이 높게 나타났다. 학년에 따른 정답률과 학년에 따른 문항별 정답률의 차이에 대해 좀 더 상세히 살펴보기 위하여 t-검정을 실시하였다.
또한 정답을 제시한 학생들이 사용한 비례 추론 전략을 양적 추론 전략과 질적 추론 전략의 종류에 따라 분류하였으며, 이 과정은 연구자 2명이 교차 분석으로 검증하는 과정을 거쳤다. 학생들의 정답률과 비례 추론 전략의 비율에 대한 분석 및 t 검정에는 통계프로그램 SPSS v18.0을 사용하였다. 학생들이 해결한 검사지를 분석하는 과정에서 학생들의 사고 과정에 대한 좀 더 상세한 이해를 위하여 일부 학생들에 대한 개별 면담을 실시하였다.
이론/모형
정영옥(2015)은 Langrall과 Swafford(2000)의 수준을 참조하고 위에서 제시한 다른 연구자들의 전략을 더 보완하여 양적 과제와 관련된 학생들의 비례 추론 전략을 수준별로 구분하고 여러 전략을 동시에 사용하는 혼합 전략을추가하였다. 본 연구에서는 Langrall과 Swafford(2000)와 정영옥(2015)의 틀을 따라 학생들의 비례 추론 전략을 분석하였다. 양적 과제와 관련된 비례 추론 전략은 <표 II-1>과 같다.
성능/효과
각 학년의 과제 유형별 정답률을 살펴보면 6학년은 대수, 양적 추론, 미지값, 비교, 기하, 질적 추론 과제의 순이었고, 5학년은 대수, 양적 추론, 미지값, 비교, 질적 추론, 기하과제의 순이었다. 5ㆍ6학년 모두 대수, 양적 추론, 미지값 과제의 정답률이 높은 편이라는 공통점이 존재하였으며, 가장 낮은 정답률을 보인 과제 유형이 5학년의 경우 기하 과제, 6학년의 경우 질적 추론 과제라는 차이점을 보였다. 이러한 차이점은 6학년들은 기하 과제를 다루었기 때문이지만 그 차이는 미미함을 알 수 있다.
9% 이상의 학생들이 비형식적 전략을 사용하였다. 5ㆍ6학년이 가장 많이 사용한 전략은 인수 전략과 단위 비율 전략으로 각 학년에서의 사용 비율은 큰 차이를 보이지는 않았으며, 그 다음으로 많이 사용한 전략을 5학년은 합성단위 전략, 6학년은 비례식 전략을 사용한 것으로 나타났다.
문항 1은 대수-양적-비교 과제이며, 문항 7은 대수-질적-미지값 과제로 두 문항 모두 대수 과제이며 용액의 농도와 관련되는 맥락을 바탕으로 한다는 공통점을 가지고 있다. 6학년의 정답률이 5학년의 정답률보다 높은 5개 문항의 과제 유형을 살펴보면 대수 과제는 2개, 기하 과제는 3개, 양적 추론 과제는 4개, 질적 추론 과제는 1개, 비교 과제는 3개, 미지값 과제는 2개로 질적 추론 과제보다는 양적 추론 과제가 많았고, 대수 과제보다는 기하 과제가, 미지값 과제보다는 비교 과제가 조금 더 많았다.
넷째, 학생들의 유연한 비례 추론 전략의 사용과 관련해서 형식적 전략을 사용하는 학생들중에는 형식적 전략 외에는 다른 전략을 전혀 생각해 내지 못하는 고착화 현상을 보이는 학생들도 있다. 면담 결과 학생들 중에는 형식적 전략을 배운 6학년 학생들 중에 형식적 전략을 언제 사용해야 하는지 모르는 학생들뿐만 아니라 형식적 전략을 사용하는 학생들 중에는 이 전략이 비례 과제를 해결하는 유일한 방법이라고 생각하는 경우도 발견할 수 있었다.
둘째, 과제 유형과 관련해서 5학년과 6학년 학생들 모두 기하 과제, 질적 과제, 비교 과제에 친숙하지 않으며, 이런 상황에서 곱셈적 관계를 인식하는 데 어려움이 있다. 과제 유형별 정답률을 비교하면, 5학년은 유형별 정답률의 순위가 대수 과제, 양적 과제, 미지값 과제, 비교 과제,질적 과제, 기하 과제의 순이고, 6학년은 기하과제와 질적 과제의 순위만 다르다.
첫째, 비례 추론 과제와 관련해서는 형식적 전략 위주의 대수 과제에서 벗어나서 축소와 확대와 관련된 기하 과제를 접할 수있는 기회를 더 많이 제공해야 하고, 양적 과제뿐만 아니라 질적 과제들을 제공해야 하고, 비교과제와 미지값 과제를 균형 있게 충분히 다룰 필요가 있으며, 비례 상황뿐만 아니라 비 비례상황을 같이 다룰 필요가 있다. 둘째, 비례 추론 전략 지도와 관련해서 비례식의 성질을 이용한 형식적 전략을 다루기 전에 다양한 과제에 접하면서 다양한 비형식적 전략을 접할 수 있는 기회를 제공해야 한다. 학생들은 형식적 전략을 학습하기 전인 구체적 조작 단계에서도 잠재적인 다양한 비형식적 추론 전략을 가지고 있고, 이런 전략들이 형식적 전략을 학습하는 데 도움이 되며, 형식적 전략은 문제 상황의 비례적 특성에 초점을 맞추는 것이 아니라 방정식을 해결하는 것에 초점을 맞추게 된다(Kastberg et al.
24점이나 되었다. 또한 과제 유형별로 보았을 때 5학년과 6학년 모두 가장 높은 평균을 보이는 문항은 대수-양적-미지값 과제이고, 가장 낮은 평균을 보이는 문항은 기하-질적-비교 과제였다. 5학년과 6학년을 비교했을 때, 6학년이 5학년보다 높은 정답률을 보인 과제 유형은 기하 과제, 양적 과제, 비교 과제, 미지값 과제이다.
정답자들이 질적 추론 과제의 해결에 활용한 비례 추론 전략과 구체적 예들을 살펴본 바를 종합하여 보면, 구체적 수치가 없는 상황에서도 문제 상황 속 한 가지 또는 두 가지 이상의 관계를 파악하고 이를 글, 그림 또는 수학 기호 등을 사용한 설명 등으로 정리하여 문제를 해결하였음을 알 수 있다. 또한 문제 상황을 수치화하여 학생들에게 익숙한 양적 추론 과제 유형으로 변형시켜 해결하려는 경향성이 있음을 확인할 수 있었다. 그러나 많은 학생들이 양적 추론 과제에 비해 질적 추론 과제에서는 경험의 부족으로 자신들의 전략을 쉽게 생각해 내지 못하였다.
또한 검사지에 대한 학생들의 반응을 기반으로 문항에 대한 학생들의 이해도를 높이기 위하여 좀 더 학생 친화적이고 자연스러운 진술이 될 수 있도록 수정·보완하는 과정을 거쳤다. 마지막으로 검사지의 타당도에 대한 수학 교육 전문가 3인의 검토를 거쳐서 총 14문항으로 이루어진 최종 검사지를 완성하였다.
넷째, 학생들의 유연한 비례 추론 전략의 사용과 관련해서 형식적 전략을 사용하는 학생들중에는 형식적 전략 외에는 다른 전략을 전혀 생각해 내지 못하는 고착화 현상을 보이는 학생들도 있다. 면담 결과 학생들 중에는 형식적 전략을 배운 6학년 학생들 중에 형식적 전략을 언제 사용해야 하는지 모르는 학생들뿐만 아니라 형식적 전략을 사용하는 학생들 중에는 이 전략이 비례 과제를 해결하는 유일한 방법이라고 생각하는 경우도 발견할 수 있었다. 따라서 비례추론을 지도할 때 형식적 전략을 지나치게 강조하는 것은 학생들의 유연한 사고와 관련해서 어려움이 있을 뿐만 아니라 효과적인 방법도 아님을 알 수 있다.
8% 이상의 학생들이 비형식적 전략을 사용하였다. 비례 추론 전략 중 가장 많이 사용한 순서로 살펴보면, 인수 전략이 27.0%, 단위비율 전략이 25.9%로 나타났다. 각각의 사용 비율은 형식적 전략의 사용 비율의 2배에 해당하며, 두 전략의 사용 비율은 52.
셋째, 5학년 학생들뿐만 아니라 6학년 학생들도 양적 과제와 관련해서 형식적 전략보다 비형식적 전략을 훨씬 더 많이 사용한다. 정답을 제시한 학생들 중 5학년은 92.
<표 IV-4>와 같이 과제 유형별로 5ㆍ6학년의 전체 정답률을 살펴보면 대수, 양적 추론, 미지값, 비교, 질적 추론, 기하의 순으로 대수, 양적추론, 미지값 과제의 정답률이 상대적으로 높게 나타났다. 대수와 기하 과제는 0.
과제 유형별 정답률을 비교하면, 5학년은 유형별 정답률의 순위가 대수 과제, 양적 과제, 미지값 과제, 비교 과제,질적 과제, 기하 과제의 순이고, 6학년은 기하과제와 질적 과제의 순위만 다르다. 이를 범주별로 비교하면 5학년과 6학년 모두 대수 과제보다는 기하 과제, 양적 과제보다는 질적 과제, 미지값 과제보다는 비교 과제의 평균에 많은 차이를 보였다. 특히 대수 과제와 기하 과제의 평균의 차이는 0.
정답자들이 사용한 비례 추론 전략과 구체적 예를 살펴본 바를 종합하여 보면, 문항의 맥락이나 특성의 영향으로 학생들이 해결 과정에서 특정한 비례 추론 전략을 쉽게 떠올리거나, 활용이 용이한 경우에는 굳이 비례식을 사용하지 않아도 문제를 해결할 수 있었던 것으로 판단된다. 그러나 다른 측면에서 보면 비례식을 배운 경우 문항의 맥락이나 특성과 관련 없이 공통적으로 비례식을 활용하는 것이 가능한 문항들이다.
정답자들이 질적 추론 과제의 해결에 활용한 비례 추론 전략과 구체적 예들을 살펴본 바를 종합하여 보면, 구체적 수치가 없는 상황에서도 문제 상황 속 한 가지 또는 두 가지 이상의 관계를 파악하고 이를 글, 그림 또는 수학 기호 등을 사용한 설명 등으로 정리하여 문제를 해결하였음을 알 수 있다. 또한 문제 상황을 수치화하여 학생들에게 익숙한 양적 추론 과제 유형으로 변형시켜 해결하려는 경향성이 있음을 확인할 수 있었다.
반면, 질적 추론 과제에서 5ㆍ6학년의 정답률 사이에 유의미한 차이는 나타나지 않았지만 다른 유형의 과제와는 달리 5학년의 정답률이 더 높게 나타난 점은 주목할 만하다. 질적 추론 과제에서 5학년의 정답률이 높았던 문항은 3개인데, 그 중 2개는 용액의 농도에 관한 맥락이고, 1개는 이중 확대에 관한 맥락으로 5ㆍ6학년 모두에게 친숙하지 않은 문항이어서 전체적인 정답률은 매우 낮았지만 오히려 5학년 학생들이 더 높은 정답률을 보였다. 또한 대수 과제에서 5ㆍ6학년의 정답률이 동일하게 나타난 점도 대수과제 중 1개 문항에서 5학년이 6학년보다 높은 정답률을 보인 것과 관련이 있으며 이 문항 또한 용액의 농도에 관한 맥락이었다.
본 연구의 결과를 바탕으로 한 결론은 다음과 같다. 첫째, 비와 비율의 의미를 주로 배운 5학년 학생들과 비례와 비례식 및 형식적 전략까지 배운 6학년 학생들의 평균은 유의미한 차이는 있으나 그다지 크지 않다. 6학년의 정답률 평균은 0.
후속연구
즉, 학생들은 비와 비율을 배운 후에 주로 대수 과제, 양적 과제, 미지값 과제를 중심으로 비례식의 성질을 이용하는 형식적 전략을 주로 다룬다(교육과학기술부, 2011a, 2011b, 2012). 그러나 이러한 비례 추론 지도 방식의 효과에 대해서는 좀 더 집중적인 논의와 검증이 필요하다.
이런 연구 결과를 종합하여 보면, 형식적 전략을 중심으로 비례식을 학습한 효과가 지속성이 높다고 보기 어렵다. 따라서 6학년에서 이루어지는 형식적 전략 중심의 비례식 지도 효과에 대해서는 좀 더 많은 검증이 필요하다.
본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 의한 교과서로 비와 비율 및 비례식을 학습한 5학년과 6학년 학생들을 비교 분석하였지만 그 이후의 교육과정에 의한 교과서를 학습한 학생들의 경우에도 과제 유형이나 전략 지도와 관련된 효과를 분석하여 비례 추론 지도를 위한 좀 더 나은 개선점을 찾을 수 있기를 희망한다.
지금까지의 논의를 바탕으로 앞으로의 비례추론 지도를 위해 고려할 점을 몇 가지 제안하면 다음과 같다. 첫째, 비례 추론 과제와 관련해서는 형식적 전략 위주의 대수 과제에서 벗어나서 축소와 확대와 관련된 기하 과제를 접할 수있는 기회를 더 많이 제공해야 하고, 양적 과제뿐만 아니라 질적 과제들을 제공해야 하고, 비교과제와 미지값 과제를 균형 있게 충분히 다룰 필요가 있으며, 비례 상황뿐만 아니라 비 비례상황을 같이 다룰 필요가 있다. 둘째, 비례 추론 전략 지도와 관련해서 비례식의 성질을 이용한 형식적 전략을 다루기 전에 다양한 과제에 접하면서 다양한 비형식적 전략을 접할 수 있는 기회를 제공해야 한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Lamon(1993)이 제시한 비례 추론 전략은?
학생들의 비례 추론 전략은 매우 다양한데, 양적 과제와 관련된 전략은 연구가 많이 되어 있으나 질적 과제에 대한 전략 연구는 미흡한 실정이다. 양적 과제와 관련해서 Ben-Chaim 외(2012)는 시행착오 전략, 구성 전략, 합성단위 전략,단위비율 전략, 전체 부분 전략, 대각선 곱 전략, Kastberg, D'Ambrosio 그리고 Lynch-Davis(2012)는질적 추론 전략, Lamon(1993)은 세기와 모델링전략, 단위화 전략, 시행착오 전략, 단위비율 전략, 구성 전략, 합성 단위 전략 등을 제시하였다. 한편, Langrall과 Swafford(2000)는 임의전략, 덧셈전략, 세기와 모델링 전략, 구성 전략, 직관적 전략, 단위화 전략, 단위비율 전략, 스칼라 인수 전략, 동치비 전략을 제시하고, 학생들의 비례 추론 전략의 수준을 비(非) 비례 추론 수준, 비형식적 추론 수준, 양적 추론 수준, 형식적 추론 수준으로 구분하여, 각 수준에 적합한 전략으로 분류하였다.
비례추론은 수학의 어떤 부분과 관련되어 있는가?
비례 추론은 수학 내적으로 학교수학의 핵심일 뿐만 아니라 수학 외적으로 많은 학문의 영역과 일상생활에서 매우 중요한 역할을 한다(Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Dole, Clarke, Wright, Hilton, & Roche, 2008; Langrall & Swafford, 2000; Lesh, Post, & Behr, 1988). 비례추론은 수와 연산 영역에서 분수, 소수, 곱셈, 나눗셈, 도형에서 닮음과 삼각법, 측정에서 단위환산, 함수에서 기울기나 미분계수, 확률에서 비율, 통계에서의 다양한 자료의 비교 상황 등 수학의 많은 부분과 관련되어 있고, 지리학에서 인구밀도나 축척, 과학에서 속도, 힘, 중력, 농도, 에너지, 경제학에서의 이익과 손실, 역학에서의 운동, 건축이나 예술에서의 다양한 비, 일상생활에서 약이나 음식의 성분 등과 같이 다양한 부분과 관련되어 있다.
비례추론 과제를 해결하는 데 많은 어려움이 있는 이유는?
이런 비례 추론 능력은 단기간에 걸쳐 발달하는 것이 아니라 장기간에 걸쳐 발달하며, 학생들뿐만 아니라 성인들의 경우에도 비례추론 과제를 해결하는 데 많은 어려움을 보인다(Adjiage & Pluvinage, 2007; Harel, Behr, Lesh, & Post, 1994; Karplus, Pulos, & Stage, 1983; Langrall & Swafford, 2000; Tournaire & Pulos, 1985). 이런 어려움을 겪는 원인으로는 근본적으로 비례 개념 자체가 많은 요소들을 포함하고 있기 때문이기도 하지만, 학생들이 경험하는 과제 유형이 매우 제한적이고 학생들 자신의 비형식적 전략을 사용하는 것이 아니라 형식적 전략을 강조하는지도 방식 때문이기도 하다(정은실, 2013; 정영옥, 2015; Ben-Chaim et al., 2012).
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