[논문]대수 문장제의 해결에서 드러나는 중등 영재 학생간의 공변 추론 수준 비교 및 분석

마민영; 신재홍

대수 문장제의 해결에서 드러나는 중등 영재 학생간의 공변 추론 수준 비교 및 분석
Gifted Middle School Students' Covariational Reasoning Emerging through the Process of Algebra Word Problem Solving 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.18 no.1, 2016년, pp.43 - 59

마민영 (한국교원대학교 대학원) , 신재홍 (한국교원대학교)

초록
AI-Helper

본 사례 연구의 목적은 대수 문장제의 해결에서 드러나는 학생간의 차이를 공변적 관점에서 탐색하는 것이다. 영재 사사교육 프로그램에 참여한 중학교 3학년 4명의 학생을 대상으로 약 7개월간에 걸쳐 다양한 대수 문장제 해결을 위한 수업을 실시하였고, 수집된 자료를 분석한 결과 변화율이 일정하게 변화하는 상황을 포함하는 대수 문장제의 해결에서 '동희'와 '정희'의 차이점이 발견되었다. 이에 본 연구는 '동희'와 '정희'의 비율 관계를 포함하는 대수 문장제의 해결과 문제에 제시된 상황을 일반화하는 모든 행위에 주목하여, 이러한 행위로부터 추론된 두 변량 사이의 변화 관계에 대한 인식을 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 공변 추론 수준에 비추어 비교, 분석하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this qualitative case study is to investigate differences among two gifted middle school students emerging through the process of algebra word problem solving from the covariational perspective. We collected the data from four middle school students participating in the mentorship program for gifted students of mathematics and found out differences between Junghee and Donghee in solving problems involving varying rates of change. This study focuses on their actions to solve and to generalize the problems situations involving constant and varying rates of change. The results indicate that their covariational reasoning played a significant role in their algebra word problem solving.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

이에 본 연구에서는 여러 문제들 가운데 15번, 24번, 29번(<표 III-1> 참고)의 해결 과정에 주목하고자 한다. 따라서 본 연구는 두 가지 상황, 즉 일정한 비율 관계를 포함하는 상황과 비율이 일정하게 증가하는 상황으로 나누어 그들의 추론이 드러나는 대표적인 내용을 중심으로 하여 상세히 분석, 제시하도록 한다.
본 연구의 목적은 동희와 정희가 비율 관계를 포함한 대수 문장제의 해결과 문제에 제시된 상황을 표현하고, 해석하고, 일반화하는 과정에서 드러나는 공변 추론의 수준 차이를 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 수준에 비추어 분석, 제시하는 것이다. 본 연구에서 얻게 된 결과는 다음과 같다.
이에 본 연구는 ‘동희’와 ‘정희’의 문제 해결과 주어진 상황을 일반화하는 과정에서 관찰되는 모든 행위로부터 그들의 공변 추론의 수준을 연구하는 것에 목표를 두고, 그들의 차이가 드러나는 사례를 중심으로 연구하는 사례 연구 방법을 따른다.
이에 본 연구는 Moore와 Carlson(2012)이 제안한 공변 추론의 세 유형에 비추어 ‘동희’와 ‘정희’가 대수 문장제에 제시된 상황을 해석하고 표현하는 과정에서 드러나는 두 변수 사이의 변화 관계에 대한 인식의 차이를 분석, 제시하도록 하겠다.
, 2002; Thompson & Thompson, 1992). 이에 본 연구는 학생들에게 일정한 비율 관계와 비율이 일정하게 증가하는 상황을 포함한 대수 문장제를 제시하였을 때, 문제 해결의 성공여부뿐 아니라 상황에 제시된 수치로부터 변량들 사이의 일반적인 관계를 다양한 방식으로 표현하고 해석하는 과정에서 드러나는 두 변량 사이의 변화 관계에 대한 인식 수준을 비교, 분석하고자 한다. 이를 위해 중학교 3학년 네 명을 대상으로 약 7개월에 걸쳐 실시한 중등 영재 사사교육 프로그램에서 수집된 수업 자료를 분석하였고, 그 결과 두 변량간의 비율 관계를 포함한 문제를 해결하는 과정에서 ‘동희’와 ‘정희’의 차이가 두드러졌다.
따라서 이러한 능력은 함수적 상황에 대한 표현과 해석뿐 아니라 대수 문장제의 해결에서도 핵심 주제로 다루어져야 할 필요가 있다. 이에 본 연구는 학생들이 비율이 일정하거나 비율이 일정하게 증가하는 상황을 포함하는 대수 문장제의 해결에서 드러나는 두 변수 사이의 변화 관계를 인식하는 수준과, 수준에 따른 학생간의 차이에 대해 심도 있게 논의하고자 한다. 이를 위해 다음절에서는 학생들의 인식 수준을 기술하기 위한 이론적 틀을 살펴보겠다.
이에 본 연구에서는 여러 문제들 가운데 15번, 24번, 29번( 참고)의 해결 과정에 주목하고자 한다.
이와 같이 본 연구는 비율 관계를 포함하는 대수 문장제의 해결에서 양들 사이의 변화 관계를 파악하는 것과 관련된 인지 활동인, 즉 공변적 사고의 역할과 그 중요성을 살펴보았다. 이를 바탕으로 본 연구는 대수 문장제의 교수․학습과 연구에 다음과 같은 시사점은 줄 수 있다.

가설 설정

[과제1] 은정과 현정이 둘이서 같이 하면 4일 걸리는 일을 은정이 혼자서 2일 동안 하고 나머지를 현정이 혼자서 5일 동안 하면 끝낼 수 있다고 한다. 이 일을 은정이 혼자서 하면 몇 일이 걸리는지 구하여라.
변량들 사이의 불변인 관계를 인식하기 위해서는 모든 순간의 변화 관계를 상상할 수 있는, 즉 동적인 이미지를 가진 학생이어야 가능하므로 동적인 이미지와 함께 그들 사이의 불변인 관계를 인식한 학생이 동적인 이미지만 가진 학생보다 수준이 더 높다고 할 수 있다. 또한 두 변량에 대해 동적인 이미지를 가진 학생은 특정한 순간의 변화도 인지 가능하므로 정적인 이미지를 가진 학생보다 수준이 더 높을 것이다.

제안 방법

이러한 학생의 문제 맥락에 대한 이미지는 앞서 언급했던 Carlson et al.(2002)이 제안한 공변 추론의 의미와 유사한 것으로 판단되어, 본 연구에서는 공변 추론과 문제 맥락에 대한 이미지를 동일한 의미로 사용하겠다. 이에 본 연구는 Moore와 Carlson(2012)이 제안한 공변 추론의 세 유형에 비추어 ‘동희’와 ‘정희’가 대수 문장제에 제시된 상황을 해석하고 표현하는 과정에서 드러나는 두 변수 사이의 변화 관계에 대한 인식의 차이를 분석, 제시하도록 하겠다.
[그림 IV-1]에서 보이는 바와 같이 동희와 정희 모두 ‘(은정이 하루 동안 일한 양) ×(은정이 일한 기간)+(현정이 하루 동안 일한 양) ×(현정이 일한 기간)=1’을 활용하여 미지수가 2개인 연립방정식을 세웠고, 방정식의 해를 구함으로써 은정이 하루에 일한 양을 찾을 수 있었다.
첫째, 자료 분석 과정에서 연구 대상의 사고과정을 추론할 수 있는 모든 행위는 자세히 관찰되고 기록되었으며, 두 행위가 통계상으로는 동종으로 분류되더라도 질적으로는 전혀 다른 행위로 해석될 수 있다. 둘째, 본 연구에 참여한 연구자들은 교수-학습 현상을 특정한 관점, 즉 공변 추론의 관점에서 관찰하고 기록하였으며 그 결과를 서로 공유하고 이해하는 가운데 본 연구의 결과물을 얻게 되었다.
첫 번째 이미지인 정적인 이미지를 구성하는 학생의 특징은 주어진 상황을 정적으로 상상하면서 사다리의 꼭대기가 벽을 타고 미끄러진 어떤 거리에 대해 그 거리로 결정되는 벽과 사다리의 밑 사이의 거리를 구한다. 또는 벽과 사다리의 밑 사이의 어떤 거리에 대해 그 거리에 대응하는 사다리의 꼭대기가 벽을 타고 미끄러진 거리를 구한다. 이와는 대조적인 이미지는 상황을 동적으로 상상하는 것과 관련된다.
또한 두 번째 줄에는 ‘현’이라는 글자 오른쪽에 ‘5’부터 ‘1’씩 줄어드는 숫자인 5, 4, 3, 2, 1, 0을 적었고, 숫자 ‘5’와 숫자 ‘4’ 사이를 잇는 아래로 볼록한 곡선과 그 곡선 아래에 ‘-1’을 적었다.
본 연구를 위한 자료 수집 및 분석은 양적인 방법보다 질적인 방법을 따른다. 학생의 문제 해결과정에서 관찰되는 모든 행위는 교사-학생의 상호작용, 학생간의 상호작용 속에서 유기적으로 그려내어야 할 필요가 있고, 이러한 행위로부터 추론되는 사고 과정은 쉽게 양화할 수 있는 속성이 아니기 때문이다(길병휘ㆍ김만의ㆍ류성림ㆍ석문주ㆍ송연근ㆍ이명숙ㆍ이종일ㆍ정용교ㆍ조영남ㆍ조용기ㆍ최신일ㆍ최창우, 2001).
본 연구에서는 ‘동희’와 ‘정희’의 문제 해결과정에 주목하여 그들의 차이를 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 수준에 비추어 상세히 기술할 것이다.
수업에서 교사가 학생들에게 제시한 과제는 총 24개였고 서로 전혀 무관한 것은 아니지만, 본 연구에서는 비율 관계를 포함하는 3개의 대수 문장제( 참고)의 해결과정에만 주목하여 분석할 것이다.
연구에 참여한 각각의 학생들은 대수 문장제의 해결에서 문제에 제시된 상황이 서로 다른 경우에도 구성하는 양과 양들 사이의 관계를 조정하는 방식에서는 자신만의 일관된 패턴, 즉 일정한 공변 추론의 수준으로 문제 해결을 시도하였다. 또한 이러한 능력이 그들의 문제 해결의 성공 여부뿐 아니라 상황에 대한 식과 그래프 표현과 밀접하게 연결돼 있음을 확인하였다.
첫째, 본 연구는 Moore와 Carlson의 연구(2012)에서 살펴본 바와 같이, 주로 함수 학습에만 연결시켜왔던 공변 추론의 중요성을 대수 문장제의 학습에서 다시 한번 확인하였다. 일정한 비율 관계를 포함한 [과제 1]과 [과제 2]에서 동희와 정희가 문제 해결을 위해 세운 식과 그래프는 거의 유사해 보였지만, 그 과정에서 드러난 공변 추론의 수준은 서로 달랐다.
학생들은 총 11회 수업에 참여하였고, 각 수업은 1회에 2-3시간 진행되었다. 모든 수업은 비디오 2대와 녹음기 1대로 녹화 및 녹음되었고, 컴퓨터 프로그램을 사용하여 한 화면으로 편집한 후 분석에 활용되었다.

대상 데이터

모든 수업은 비디오 2대와 녹음기 1대로 녹화 및 녹음되었고, 컴퓨터 프로그램을 사용하여 한 화면으로 편집한 후 분석에 활용되었다. 또한 수업 중 학생들이 작성한 기록물이나 활동자료도 모두 수집되어 분석에 사용되었다. 수업에서 교사가 학생들에게 제시한 과제는 총 24개였고 서로 전혀 무관한 것은 아니지만, 본 연구에서는 비율 관계를 포함하는 3개의 대수 문장제(<표 III-1> 참고)의 해결과정에만 주목하여 분석할 것이다.
본 연구를 위한 수업 자료는 중학교 3학년 네명을 대상으로 약 7개월(2014.05.~2014.11.)에 걸쳐 실시한 중등 영재 사사교육프로그램에서 수집한 것이다. 수업을 분석하는 과정에서 두 변량간의 비율 관계를 포함한 문제 해결의 차이를 발견하였는데, 특히 다양한 문장제의 해결에서 ‘동희’와 ‘정희’의 사고 수준이 일관되게 드러났으며 그 차이가 크게 두드러졌다.

성능/효과

정리하면 동희는 [과제1]에 제시된 은정과 현정의 시간에 따라 일한 양의 비율이 일정한 상황에서 2일에서 4일, 4일에서 6일, 6일에서 8일로의 은정의 일한 기간의 변화함에 따라 현정이 일한 기간의 변화를 고려한 것으로 판단된다. 동희의 표현과 설명에는 0일과 2일 사이, 2일과 4일 사이, 4일과 6일 사이, 6일과 8일 사이에 있는 임의의 시간에서의 두 변량 사이의 변화 관계를 고려한 흔적은 없지만, 은정과 현정의 하루 동안 일한 양 사이의 관계로부터 x증가량인 은정의 일한 기간의 변화량과 y증가량인 현정이 일한 기간의 변화량의 비가 일정함을 설명한 것으로 보아, 은정의 일한 기간의 모든 순간에 대한 현정이 일한 기간의 변화를 인식하고 있는 것으로 추정된다. 이로부터 동희는 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 공변의 세 수준 중 변화하는 두 변량과 함께 그들 사이의 불변인 관계를 파악한 수준에 해당되는 것으로 추정된다.
연구에 참여한 각각의 학생들은 대수 문장제의 해결에서 문제에 제시된 상황이 서로 다른 경우에도 구성하는 양과 양들 사이의 관계를 조정하는 방식에서는 자신만의 일관된 패턴, 즉 일정한 공변 추론의 수준으로 문제 해결을 시도하였다. 또한 이러한 능력이 그들의 문제 해결의 성공 여부뿐 아니라 상황에 대한 식과 그래프 표현과 밀접하게 연결돼 있음을 확인하였다. 이러한 결과는 학생들이 비율 관계를 포함한 간단한 대수 문장제에서 동일한 방법(예를 들면 거리=시간*속력)으로 문제를 해결할지라도 좀 더 복잡한 문제에서 서로 다른 해결 양상을 보이는 경우 학생간의 공변 추론의 수준 차이가 하나의 원인이 될 수 있다는 것을 시사한다.
첫째, 본 연구는 대수 문장제를 지도하는 교사에게 학생의 현재 공변적 사고 능력을 진단하고 그 능력을 향상시킬 수 있는 과제를 준비하는 데 긍정적인 도움을 줄 것으로 기대한다. 본 연구 결과, 공변 추론은 대수 문장제 해결의 핵심인 식을 세우는 과정에서 중요한 역할을 한다는 것을 확인하였다. 따라서 이러한 결과는 대수 문장제의 해결에서 식을 세우지 못하는 학생이 있다면 무엇이 부족한지를 진단하는 데 하나의 참고가 될 수 있을 것이며, 학생이 식을 잘 세웠다 하더라도 그 상태에서 수학적으로 더 발전할 수 있도록 하려면 어떤 문제 상황을 제시하고 이끌어 나가야 하는지에 대한 하나의 방향을 제시해 줄 수 있다.
수업을 분석하는 과정에서 두 변량간의 비율 관계를 포함한 문제 해결의 차이를 발견하였는데, 특히 다양한 문장제의 해결에서 ‘동희’와 ‘정희’의 사고 수준이 일관되게 드러났으며 그 차이가 크게 두드러졌다.
이를 위해 중학교 3학년 네 명을 대상으로 약 7개월에 걸쳐 실시한 중등 영재 사사교육 프로그램에서 수집된 수업 자료를 분석하였고, 그 결과 두 변량간의 비율 관계를 포함한 문제를 해결하는 과정에서 ‘동희’와 ‘정희’의 차이가 두드러졌다.
[그림 IV-1]에서 보이는 바와 같이 동희와 정희 모두 ‘(은정이 하루 동안 일한 양) ×(은정이 일한 기간)+(현정이 하루 동안 일한 양) ×(현정이 일한 기간)=1’을 활용하여 미지수가 2개인 연립방정식을 세웠고, 방정식의 해를 구함으로써 은정이 하루에 일한 양을 찾을 수 있었다. 이에 교사는 학생들에게 [과제 1]의 상황에서 알 수 있는 새로운 관계를 식이나 그래프로 표현하도록 요구하였고, 그 결과 두 학생의 [과제 1]의 초기 해결 과정이 매우 유사하였음에도 불구하고 [과제 1]또는 [과제 2]에 제시된 상황을 일반화하는 과정에서 두 변수 사이의 변화 관계에 대한 인식의 차이가 드러났다. 다음 절에서는 이러한 차이를 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 공변 수준에 비추어 보다 상세히 분석, 제시할 것이다.
정리하면 동희는 [과제 3]에 제시된 돌이 떨어지는 속도가 1초에 6m/s 증가하는 상황에 대해 0초에서 1초, 1초에서 2초, 2초에서 3초로의 시간의 변화와 함께 속도의 변화를 고려할 수 있을 뿐 아니라, 그와 동일한 방식으로 0초와 1초 사이에 있는 임의의 시간에서의 시간의 변화와 속도의 변화 사이의 불변성을 해석할 수 있는 것으로 판단된다. 이는 Moore와 Carlson(2012)이 제시한 공변의 세 수준 중 변화하는 두 변량과 함께 그들 사이의 불변인 관계도 파악한 수준에 해당되는 것으로, 결국 이러한 수준에서 추론한 덕분에 동희는 문제가 요구하는 정확한 값을 구할 수 있었다.
정리하면 동희는 [과제1]에 제시된 은정과 현정의 시간에 따라 일한 양의 비율이 일정한 상황에서 2일에서 4일, 4일에서 6일, 6일에서 8일로의 은정의 일한 기간의 변화함에 따라 현정이 일한 기간의 변화를 고려한 것으로 판단된다. 동희의 표현과 설명에는 0일과 2일 사이, 2일과 4일 사이, 4일과 6일 사이, 6일과 8일 사이에 있는 임의의 시간에서의 두 변량 사이의 변화 관계를 고려한 흔적은 없지만, 은정과 현정의 하루 동안 일한 양 사이의 관계로부터 x증가량인 은정의 일한 기간의 변화량과 y증가량인 현정이 일한 기간의 변화량의 비가 일정함을 설명한 것으로 보아, 은정의 일한 기간의 모든 순간에 대한 현정이 일한 기간의 변화를 인식하고 있는 것으로 추정된다.
본 연구를 위한 자료 분석 과정의 특징을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 자료 분석 과정에서 연구 대상의 사고과정을 추론할 수 있는 모든 행위는 자세히 관찰되고 기록되었으며, 두 행위가 통계상으로는 동종으로 분류되더라도 질적으로는 전혀 다른 행위로 해석될 수 있다. 둘째, 본 연구에 참여한 연구자들은 교수-학습 현상을 특정한 관점, 즉 공변 추론의 관점에서 관찰하고 기록하였으며 그 결과를 서로 공유하고 이해하는 가운데 본 연구의 결과물을 얻게 되었다.

후속연구

둘째, 본 연구는 학생들이 대수 문제를 해결하는 과정에서 드러나는 추론 능력을 세세하게 관찰하고 분석한 것으로, 대수 문장제의 해결에서 드러나는 공변 추론 능력과 그 발달에 대한 후속 연구에 기초가 될 것이다. 또한 본 연구는 Carlson과 Bloom(2005)이 제안하였던 것과 마찬가지로, 학생이 대수 문장제에 제시된 상황을 이해하려고 시도할 때 활성화되는 인지 활동은 문제 해결을 위한 구성과 반성의 기초가 된다는 사실을 다시 한 번 확인하였다.
또한 본 연구는 Carlson과 Bloom(2005)이 제안하였던 것과 마찬가지로, 학생이 대수 문장제에 제시된 상황을 이해하려고 시도할 때 활성화되는 인지 활동은 문제 해결을 위한 구성과 반성의 기초가 된다는 사실을 다시 한 번 확인하였다. 이러한 연구 결과를 확장하여 대수 문장제를 읽는 초기 과정부터 문제 해결을 시도하는 모든 과정에서 드러나는 공변 추론의 수준과 그 발달에 대한 연구도 이루어지기를 기대한다.
첫째, 본 연구는 대수 문장제를 지도하는 교사에게 학생의 현재 공변적 사고 능력을 진단하고 그 능력을 향상시킬 수 있는 과제를 준비하는 데 긍정적인 도움을 줄 것으로 기대한다. 본 연구 결과, 공변 추론은 대수 문장제 해결의 핵심인 식을 세우는 과정에서 중요한 역할을 한다는 것을 확인하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	학교 수학에서 대수는 무엇인가?	학교 수학에서 대수는 산술의 일반화, 문자와 기호를 사용한 문제 해결, 양 사이의 관계 파악,수학적 구조에 대한 이해와 관련된 것으로, 수학 여러 분야의 학습을 위한 기초를 제공한다(Usiskin, 1988). 그러나 우리나라 학교 수학에서 대수는 기호 규칙의 습득, 방정식의 풀이와 같은 문자와 기호 조작에 지나치게 치중하여 지도되고 있으며, 그 결과 학생들은 산술에서 대수로의 이행을 어려워하고, 문자와 기호를 도입하는 상황과 산술적 상황을 관련짓지 못하는 경향이 있다(우정호ㆍ김성준, 2007).
	우리나라 학교 수학에서는 대수를 어떻게 가르치는가?	학교 수학에서 대수는 산술의 일반화, 문자와 기호를 사용한 문제 해결, 양 사이의 관계 파악,수학적 구조에 대한 이해와 관련된 것으로, 수학 여러 분야의 학습을 위한 기초를 제공한다(Usiskin, 1988). 그러나 우리나라 학교 수학에서 대수는 기호 규칙의 습득, 방정식의 풀이와 같은 문자와 기호 조작에 지나치게 치중하여 지도되고 있으며, 그 결과 학생들은 산술에서 대수로의 이행을 어려워하고, 문자와 기호를 도입하는 상황과 산술적 상황을 관련짓지 못하는 경향이 있다(우정호ㆍ김성준, 2007).
	대수 학습의 문제점을 극복하는 방안으로 주장하고 있는 것은 무엇이 있는가?	최근 수학교육연구에서는 대수 학습의 문제점을 극복할 수 있는 방안으로 대수적 사고에 초점을 두고 대수 교육을 개선할 것을 주장하고 있다(Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg, & Stephens,2005; 우정호ㆍ김성준, 2007). Ellis (2011)는 대수와 대수적 사고의 핵심으로 함수적 상황에서 일반화된 관계의 구성과 표현을 강조하였고, Smith와 Thompson(2007)은 주어진 문제 상황에서 인지된 양들 사이의 불변인 관계를 추론하는 능력이 풍부하게 발달한 학생은 대수 학습에 대한개념적 기초를 이해하고, 이를 다른 학습 상황에 적용할 가능성이 높다는 것을 제안하였다. 이처럼 최근 대수 학습에 대한 연구에서는 대수 문제를 해결하는 과정에서 특정한 값을 얻기 위한 계산보다 수치들 사이의 일반적인 관계의 표현에 주안점을 두고 있으며(Ellis, 2011), 이는 ‘수’ 에 대한 조작보다 수치로 측정된 양들 사이의 ‘관계’에 대한 표현과 조작을 더 강조한 것으로 해석된다.

참고문헌 (16)

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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