본 연구는 2009 개정 수학과 교육과정의 <기초수학>, <수학I>, <수학II>와 교과서를 토대로 용어 기호의 정의에서 학생들이 어려움을 겪을 수 있는 점을 짚어 보고 용어 기호의 선정과 앞으로의 개선 과제를 제안하였다. 현재 지적된 문제점을 개선할 수 있는 과제로 교육과정 개발에서 용어 기호에 대한 심도 있는 분석과 논의가 필요하고 그 결과가 공개될 필요가 있으며, 교과서 검정에서 용어 및 기호에 대한 기준을 적절히 마련하기 위해 노력할 필요가 있고, 수학 용어 및 기호의 정의 방법에서 학교급간 정의방법의 차이, 특히 초등학교와 중등학교의 정의 방법의 차이를 검토할 필요가 있으며, 수학과 교육과정에서 용어 기호의 교체나 교과서에 소개할 방안을 고려할 것을 제안하였다.
본 연구는 2009 개정 수학과 교육과정의 <기초수학>, <수학I>, <수학II>와 교과서를 토대로 용어 기호의 정의에서 학생들이 어려움을 겪을 수 있는 점을 짚어 보고 용어 기호의 선정과 앞으로의 개선 과제를 제안하였다. 현재 지적된 문제점을 개선할 수 있는 과제로 교육과정 개발에서 용어 기호에 대한 심도 있는 분석과 논의가 필요하고 그 결과가 공개될 필요가 있으며, 교과서 검정에서 용어 및 기호에 대한 기준을 적절히 마련하기 위해 노력할 필요가 있고, 수학 용어 및 기호의 정의 방법에서 학교급간 정의방법의 차이, 특히 초등학교와 중등학교의 정의 방법의 차이를 검토할 필요가 있으며, 수학과 교육과정에서 용어 기호의 교체나 교과서에 소개할 방안을 고려할 것을 제안하였다.
This study explored the problems of definitions and choices of terms and notations and proposed a few tasks for improvement of them included , , of high school mathematics based on 2009 revised mathematics curriculum and textbooks. We explored the problems on the features of the methods and content...
This study explored the problems of definitions and choices of terms and notations and proposed a few tasks for improvement of them included , , of high school mathematics based on 2009 revised mathematics curriculum and textbooks. We explored the problems on the features of the methods and contents of definitions of terms and notations in the viewpoint of the possibilities of difficulties on students' understanding, and proposed several criteria for choices of terms and notations in curriculum. And we proposed several tasks to improve the problems as follows: we need to implement much analyses and discussions on terms and notations and to open the results, to make the criteria for the examinations of mathematics textbooks in the viewpoint of therm and notation, to consider the differences of the methods of definitions among primary, middle, and high schools, and to consider the changes of terms and notations and the methods for introduction of them in textbooks.
This study explored the problems of definitions and choices of terms and notations and proposed a few tasks for improvement of them included , , of high school mathematics based on 2009 revised mathematics curriculum and textbooks. We explored the problems on the features of the methods and contents of definitions of terms and notations in the viewpoint of the possibilities of difficulties on students' understanding, and proposed several criteria for choices of terms and notations in curriculum. And we proposed several tasks to improve the problems as follows: we need to implement much analyses and discussions on terms and notations and to open the results, to make the criteria for the examinations of mathematics textbooks in the viewpoint of therm and notation, to consider the differences of the methods of definitions among primary, middle, and high schools, and to consider the changes of terms and notations and the methods for introduction of them in textbooks.
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문제 정의
그리고 교수학적 변환의 목적이 학생의 이해를 위한 것이라면, 학교수학 용어ㆍ기호의 정의가 학생들이 이해하고 활용하는 데 문제의 소지가 없어야 한다. 그러나 학습자 입장에서 교과서 정의를 따를때 발생할 수 있는 문제점은 여전히 남아 있으므로 이를 살펴보고자 하는 것이다. 국가 교육과정이 운영되는 우리나라는 학생들이 배워야 할 용어ㆍ기호를 수학과 교육과정 문서의 ‘학습 요소1)’에 기술하고 있다.
그렇다면 교육과정에서 용어ㆍ기호를 어떤 기준으로 선정해야 할지에 대한 논의가 필요하다. 그리고 이러한 논의의 개선을 위해 주어진 과제가 무엇인지를 제안함으로써 연구를 마무리하고자 한다.
본 연구는 그 후속 연구로서, 개별 용어ㆍ기호에 대한 쟁점들을 종합하여 교육과정과 교과서에 제시된 용어ㆍ기호 전반에 대한 비판과 개선을 제안해 보려 한다. 따라서 본 연구에 제시된 내용은 김선희 외에서 밝힌 쟁점, 설문 의견 등을 분석하고 그로부터 개선 방안을 찾으려 하였다. 이를 위해 본 연구는 다음을 연구문제로 선정하고 각각을 논의해보고자 한다.
그런데 용어와 기호에 대한 논의 사항은 체계적으로 이루어지지 않은 것으로 보인다. 따라서 이 장에서는 김선희 외(2015)의 연구에서 이루어졌던 문헌 연구 및 면담 연구를 통하여 드러난 수학 교육과정 용어 및 기호에 대한 문제점을 바탕으로 수학 교육과정에서 용어 및 기호를 선정할 때 고려할 수 있는 기준을 제시하고자 한다.
본 연구는 2009 개정 수학과 교육과정의 고등학교 , , 과목 교과서의 정의 방법과 학생들의 이해 관점에서 문제의 소지가 있는 정의를 분석하고, 교육과정에서 수학 용어ㆍ기호의 선정 기준과 거시적인 개선 과제를 제안하였다.
본 연구는 고등학교 수학의 용어ㆍ기호가 정의된 방법을 알아보기 위해, 의 틀을 활용하여 2009 개정 수학과 교육과정의 , , 의 교과서3)(이준열 외, 2013a, 2013b, 2013c)를 중심으로 그 정의 방법을 분석하였다.
수학 교과서 분석, 수학자, 수학교육학자, 교과서 저자 등의 심층 설문, 문헌 연구 등을 통해 개별 용어ㆍ기호 각각에 대한 정의와 해설을 작성하였고, 그 과정에서 발생한 개별 용어ㆍ기호에 대한 쟁점들을 지적하고 그 결과를 보고하였다. 본 연구는 그 후속 연구로서, 개별 용어ㆍ기호에 대한 쟁점들을 종합하여 교육과정과 교과서에 제시된 용어ㆍ기호 전반에 대한 비판과 개선을 제안해 보려 한다. 따라서 본 연구에 제시된 내용은 김선희 외에서 밝힌 쟁점, 설문 의견 등을 분석하고 그로부터 개선 방안을 찾으려 하였다.
김선희 외(2015)는 2009 개정 수학과 고등학교 교육과정의 <기초수학>, <수학Ⅰ>, <수학Ⅱ> 과목에 제시된 용어와 기호의 해설에 대한 연구를 수행하였다. 수학 교과서 분석, 수학자, 수학교육학자, 교과서 저자 등의 심층 설문, 문헌 연구 등을 통해 개별 용어ㆍ기호 각각에 대한 정의와 해설을 작성하였고, 그 과정에서 발생한 개별 용어ㆍ기호에 대한 쟁점들을 지적하고 그 결과를 보고하였다. 본 연구는 그 후속 연구로서, 개별 용어ㆍ기호에 대한 쟁점들을 종합하여 교육과정과 교과서에 제시된 용어ㆍ기호 전반에 대한 비판과 개선을 제안해 보려 한다.
이 절에서는 교과서에서 다룬 용어ㆍ기호의 정의 내용에서 학습자가 이해하기에 어려움을 야기하는 점들을 살펴보려 한다.
이에 따라 본 연구는 용어ㆍ기호 선정과 정의에 대한 개선 과제를 제안하였다. 첫째, 교육과정 개발에서 용어ㆍ기호에 대한 심도 있는 분석과 논의가 필요하고 그 결과도 공개될 필요가 있다.
위에 제시된 내용은 학습자 입장에서 보았을때 나타날 수 있는 것이지만 학교수학이 갖고 있는 본질적인 속성으로 볼 수도 있을 것이다. 하지만 교과서 저자나 교사들이 학생들의 입장에서 이러한 어려움이 발생할 수 있음을 간파하고 있을 필요가 있으므로, 본 연구는 학습자의 이해 관점에서 어려움으로 위의 내용을 제시하였다.
제안 방법
우리나라는 교육과정에서 ‘학습 요소’로 선정된 용어ㆍ기호가 교과서에서 정의되는 체제이므로, 교육과정에서 어떤 용어ㆍ기호를 선정할지는 중요한 문제이다. 교육과정에서 용어ㆍ기호의 선정 기준이 필요하며, 본 연구는 이를 성취기준에서 언급된 용어ㆍ기호는 학습요소에 포함시킬 것, 동일한 의미에 대해서는 하나의 용어를 사용할것, 가능하다면 용어의 도입은 최대한 미룰 것, 정의가 바뀌는 용어의 경우 학교급과 과목 간에 중복을 허용할 것을 제안하였다.
중학교 수준의 학교수학 용어ㆍ기호의 정의 방법을 조망하기 위해 의 용어ㆍ기호를 분류하고, 고등학교의 기본적인 정의 방법을 조망하기 위해 , 의 용어ㆍ기호를 분류하였다.
지금까지의 논의를 통하여 수학과 교육과정과 교과서에서 용어ㆍ기호의 여러 가지 문제점을 분석해 보았다. 이 장에서는 용어 및 기호의 문제점을 개선하기 위한 방안을 알아보기로 한다.
그러나 학생들의 이해의 어려움이 발생할 수 있는 문제점이 있으므로, 낱낱의 용어ㆍ기호 특성을 고려하면서 지도하는 방안이 모색되어야 한다. 학생들의 이해 관점에서 세 과목에서 문제가 발생할 수 있는 정의를 교과서 분석을 통해 살펴보았다. 여러 가지 문제점이 등장하였는데, 용어가 도입될 때 정의된 내용이 확장된 맥락에서 활용되기 어려운 경우, 용어가 동음이의어로서 활용되는 경우의 해석, 학교급이나 과목에 따라 다른 내용의 정의, 정의에 의해 갖게 될 수 있는 오개념, 정의된 맥락이 아닌 곳에서 용어가 사용되는 경우의 해석, 기호를 읽는 방법이 제시되어 있지 않고 표기법이 다른 기호와 중복되는 경우 등이 학생들에게 어려움을 야기할 수 있다고 판단되었다.
대상 데이터
본 연구는 수학과 교육과정과 교과서의 용어ㆍ기호를 대상으로 하였다. 현재 2015 개정 수학과 교육과정이 공표되어 있으나 교과서는 아직 출판되지 않았으므로 2009 개정 수학과 교육과정의 고등학교 <기초수학>, <수학Ⅰ>, <수학Ⅱ>로 한정하였다.
초․중․고 모든 학교급의 용어ㆍ기호를 논하기에 지면상 한계가 있으므로, 중학교 내용을 포함하고 있는 , 고등학교 1학년에서 학습하게 되는 , 로 내용을 한정하였다2).
현재 2015 개정 수학과 교육과정이 공표되어 있으나 교과서는 아직 출판되지 않았으므로 2009 개정 수학과 교육과정의 고등학교 , , 로 한정하였다.
성능/효과
기초수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 용어ㆍ기호 정의 방법를 보면, 에서 , 로 학년과 수준이 높아질수록 학교수학의 용어ㆍ기호의 정의가 지시적ㆍ외연적 정의 방법에서 논리적ㆍ내포적 정의 방법으로 바뀌는 경향이 있다는 점을 발견할 수 있다.
넷째, 용어의 정의에 의해 학생들이 오개념을 갖게 될 수 있다. 이러한 사례는 다양하게 발생할 수 있는데, 그 예는 다음과 같다.
둘째, 외연적 정의 방법은 ‘개념에 속하는 일부의 예들을 사용한 정의’이며, 열거, 지시, 부분 집합 열거의 방법으로 세분화 된다.
셋째, 동의적 정의 방법은 피정의항과 유사한 의미를 갖는 단어를 사용하여 정의하는 방법으로 학습자에게 친숙한 언어를 사용하는 방법, 사전식 방법, 축약과 기호화 방법이 있다. 예를 들어 초등학교 수학에서 원을 정의할 때 학습자에게 친숙한 언어인 ‘동그라미’를 사용하여 정의한다.
셋째, 의미를 해석할 필요가 없거나 활용에 문제가 없다면 교육과정에서 용어의 도입을 최대한 미룬다. 예를 들어, 포물선이라는 용어는 이차함수의 그래프에서 등장하는데, 이차함수 그래프 모양이 포물선 형태라는 것을 설명하면서 (포물선의) 축, 꼭짓점 등을 다루고 있다.
셋째, 학교급, 과목에 따라 정의가 다른 것은 학습자 입장에서 인지 구조의 변화를 요한다는 점에서 이해에 어려움을 야기한다고 할 수 있다. 2009 개정 수학과 교육과정과 교과서에 비추어볼 때, 이 경우에 해당하는 용어는 다음과 같다.
학생들의 이해 관점에서 세 과목에서 문제가 발생할 수 있는 정의를 교과서 분석을 통해 살펴보았다. 여러 가지 문제점이 등장하였는데, 용어가 도입될 때 정의된 내용이 확장된 맥락에서 활용되기 어려운 경우, 용어가 동음이의어로서 활용되는 경우의 해석, 학교급이나 과목에 따라 다른 내용의 정의, 정의에 의해 갖게 될 수 있는 오개념, 정의된 맥락이 아닌 곳에서 용어가 사용되는 경우의 해석, 기호를 읽는 방법이 제시되어 있지 않고 표기법이 다른 기호와 중복되는 경우 등이 학생들에게 어려움을 야기할 수 있다고 판단되었다.
첫째, 내포적 정의 방법은 ‘일정한 조건을 제시하고 있는 정의’이다.
후속연구
둘째, 교과서 검정에서도 용어 및 기호에 대한 기준을 적절히 마련하기 위해 노력할 필요가 있다. 김선희 외(2015)의 연구에 참여한 한 교과서 집필자는 다음과 같이 언급하였다.
둘째, 교과서 검정에서도 용어 및 기호에 대한 기준을 적절히 마련하기 위해 노력할 필요가 있다. 김선희 외(2015)의 연구에 참여한 한 교과서 집필자는 다음과 같이 언급하였다.
그리고 2015 개정 수학과 교육과정의 교과서가 개발된다면, 용어ㆍ기호의 문제점이 얼마나 개선이 되었는지 살펴보는 과제도 남아 있다. 또한 학습자의 이해 측면에서 연구가 더 진행된다면 학생들의 이해도를 조사한 결과를 논의하면서 개선 과제를 찾는 후속 연구도 필요할 것이다. 더불어 학생의 이해도와 학문적 관점과 균형을 이룰 수 있는 용어ㆍ기호 개선 방안의 모색도 필요하다.
셋째, 수학 용어 및 기호의 정의 방법에서 학교급간 정의 방법의 차이, 특히 초등학교와 중등학교의 정의 방법의 차이를 검토할 필요가 있다. 특히 앞에서 살펴본 바와 같이 학교급이 올라갈수록 외연적 정의나 동의적 정의보다는 내포적정의의 비율이 높아지는 양상을 보여주고 있다.
교과서 검정의 가장 중요한 목적은 수학 수업에서 활용되는 교과서의 질 관리이며, 직전 교육과정에서 활용된 교과서를 참조하는 것은 지극히 당연한 일일 것이다. 이와 더불어 용어 및 기호의 정의와 관련하여 이루어진 여러 선행 연구를 참조하여 교과서 편찬 지침이나 검정 기준을 좀 더 세밀하게 다듬는 일도 필요할 수 있을 것이다.
이에 따라 본 연구는 용어ㆍ기호 선정과 정의에 대한 개선 과제를 제안하였다. 첫째, 교육과정 개발에서 용어ㆍ기호에 대한 심도 있는 분석과 논의가 필요하고 그 결과도 공개될 필요가 있다. 둘째, 교과서 검정에서 용어 및 기호에 대한 기준을 적절히 마련하기 위해 노력할 필요가 있다.
첫째, 성취기준을 학습하는 데 필요한 용어ㆍ 기호가 모두 포함되어 있는지 검토할 필요가 있다. 성취기준은 학생들이 필수적으로 배우고 익혀야 할 기준을 정한 것으로, 여기에 포함된 어떠한 용어ㆍ기호도 중요하지 않은 것은 없다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
외연적 정의 방법이란?
둘째, 외연적 정의 방법은 ‘개념에 속하는 일부의 예들을 사용한 정의’이며, 열거, 지시, 부분 집합 열거의 방법으로 세분화 된다. 열거는 그 개념이 가리키고자 하는 대상을 나열하는 것이고, 지시는 지시하여 정의하는 것이다.
내포적 정의는 어떤 방법으로 세분화되는가?
첫째, 내포적 정의 방법은 ‘일정한 조건을 제시하고 있는 정의’이다. 내포적 정의는 학문을 위한 수학의 용어 정의 방법과 매우 유사하며, 논리적, 발생적, 관계적, 조작(구성)적 정의 방법으로 세분화된다. 논리적 정의는 (최근) 류와 종차에 의한 정의이고, 발생적 정의는 어떤 개념의 발생 조건 또는 발생 과정을 사용하여 정의한 것이며, 관계적 정의는 관계로 이루어진 어떤 체계 내에서 정의하려는 사물이 차지하는 위치를 사용한 정의이다.
학교 수학에서 용어를 정의하는 방법과 학문으로서의 수학에서 용어를 정의하는 방법은 어떤 차이점이 있는가?
학교 수학에서 용어를 정의하는 방법과 학문으로서의 수학에서 용어를 정의하는 방법은 다르다. 학문으로서의 수학에서 용어 정의는 체계와 관련이 있으며(우정호ㆍ조영미, 2001; 강흥규ㆍ조영미, 2002), 학문을 위한 용어의 정의는 학(學)의 내부의 논리적 정합성(logical consistency) 을 위한 것이다(Nagel & Newman, 2010). 반면 학교 수학에서 용어 정의의 목적은 수학을 처음 배우는 학습자가 수학 용어를 학문으로서의 수학보다 좀 더 쉽게 익히기 위함이다. 따라서 학문으로서의 수학 용어 정의에 비하여 학교 수학의 용어 정의는 일종의 교수학적 변환이라 할 수 있다(조영미, 2002).
참고문헌 (23)
강흥규.조영미(2002). 학교기하의 다양한 정의방법과 그 교수학적 의의. 수학교육학연구, 12(1), 95-108.
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