[논문]크기가 1인 표본들로 구성된 집단에 기반한 모평균의 차이를 검정하기 위한 최소 조합 t-검정 방법

허미영; 임창원

doi:10.5351/kjas.2017.30.2.301

크기가 1인 표본들로 구성된 집단에 기반한 모평균의 차이를 검정하기 위한 최소 조합 t-검정 방법
A minimum combination t-test method for testing differences in population means based on a group of samples of size one 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.30 no.2, 2017년, pp.301 - 309

초록
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일반적으로 각 N개의 모집단에서 2개 이상의 표본이 추출되었을 때, $H_0:{\mu}_1={\cdots}={\mu}_N$의 가설에 대하여 검정할 수 있지만 각 모집단으로부터 표본이 한 개씩 추출된다면 ${\bar{X}}$가 존재하지 않으므로 모평균의 차이 검정은 불가능하다. 하지만 하나씩 추출된 표본으로 구성된 집단을 두 집단으로 나누어 임의의 평균을 생성함으로써 평균의 차이를 비교한다면 표본들 사이에 존재할 수 있는 이질성을 파악할 수 있다. 따라서 우리는 두 집단으로 나눌 수 있는 조합의 수만큼 평균 차이를 검정할 수 있는 최소 조합 t-검정 방법을 제안하고자 한다. 최종적으로 본 논문에서는 한 개씩 추출된 표본들 사이의 이질성을 확인하기 위하여 평균 차이를 검정할 수 있는 방법을 제안하였고 모의실험 연구를 통해 성능을 확인하였고 실제 자료 분석을 통해 결과를 도출하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

It is often possible to test for differences in population means when two or more samples are extracted from each N population. However, it is not possible to test for the mean difference if one sample is extracted from each population since a sample mean does not exist. But, by dividing a group of samples extracted one by one into two groups and generating a sample mean, we can identify a heterogeneity that may exist within the group by comparing the differences of the groups' mean. Therefore, we propose a minimum combination t-test method that can test the mean difference by the number of combinations that can be divided into two groups. In this paper, we proposed a method to test differences between means to check heterogeneity in a group of extracted samples. We verified the performance of the method by simulation study and obtained the results through real data analysis.

주제어

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문제 정의

일반적인 통계학의 가설검정을 포함한 모든 추론에 대한 이론 또는 방법론에서 표본의 크기가 1인 경우에는 모집단의 평균에 대한 비교는 불가능하다. 그러나 본 연구에서는 이러한 특수한 경우에도 모집단의 평균을 비교할 수 있는 방법을 다중 검정의 맥락에서 제시하고 있다. 하지만 각 모집단으로부터 추출된 표본의 크기가 모두 1이기 때문에 제안된 가설검정 방법은 여전히 그 결과를 신뢰하기가 어려울 수 있다.
하지만 각 모집단으로부터 추출된 표본의 크기가 모두 1이기 때문에 제안된 가설검정 방법은 여전히 그 결과를 신뢰하기가 어려울 수 있다. 따라서 우리는 다중 검정에서 제 1종의 오류를 범할 확률을 조절하는 여러 가지 방법들 중 가장 보수적인 본페르니 교정을 통해 제안된 방법을 사용하여 도출된 결과에 대한 신뢰도를 높이고자 하였다. 그러나 이 방법 외에도 p-값의 순서를 고려하여 false discovery rate (FDR)을 보정할 수 있는 Holm-Bonferroni 방법 (Holm, 1979)이나 Benjamini-Hochberg 방법(Hochberg와 Benjamini, 1990) 등 다른 다중 검정의 방법을 고려할 수 있을 것이다.
본 논문에서 제안하는 새로운 가설검정 방법은 폐암 전이성 종양에 대한 연구에서 측정된 자료로부터 잠재적으로 존재할 수 있는 종양의 이질성(tumor heterogeneity)을 검증하기 위해서 개발되었다. 종양의 이질성은 한 환자가 체내에 퍼져있는 종양들이 다양한 요인으로 인해 성질이 다른 종양세포가 형성되는 것으로 이질성을 파악하는 것은 중요한 문제이다 (Marusyk와 Polyak, 2010).
또한, 본 연구에서는 유의수준에 대하여 본페르니 교정을 이용하여 오류를 보정하였다. 본 연구는 각 모집단으로부터 추출된 표본의 크기가 모두 1인 경우에 다수의 모집단의 평균을 비교하기 위한 가설검정 방법을 제안하였다. 일반적인 통계학의 가설검정을 포함한 모든 추론에 대한 이론 또는 방법론에서 표본의 크기가 1인 경우에는 모집단의 평균에 대한 비교는 불가능하다.
종양의 이질성은 한 환자가 체내에 퍼져있는 종양들이 다양한 요인으로 인해 성질이 다른 종양세포가 형성되는 것으로 이질성을 파악하는 것은 중요한 문제이다 (Marusyk와 Polyak, 2010). 하지만 만약 몇 개의 종양만을 이용하여 이를 확인한다면 전체적인 이질성을 나타나는 데에 제한적일 수 있기 때문에 우리는 한 환자가 가진 모든 종양을 이용하여 이질성이 존재하는지 확인하기 위한 방법을 제안하였다. 종양의 이질성은 종양의 크기를 나타내는 여러 가지 변수들, 예를 들면 종양의 최대 지름 또는 종양의 부피를 가지고 판단할 수 있다.

가설 설정

모든 조합에서 귀무가설 하에서는 µAi = µBi = µ이다.
한 환자가 체내에 N개의 종양을 가지고 있다고 할 때, 그 환자의 i번째 병변에 나타나 있는 종양의 크기를 서로 다른 시점에 두 번 측정하여 그 변화율을 Xi라고 하고 각 Xi가 N(µi, σ2)로부터 추출되었다고 가정한다면(여기서, i는 1, . . . , N), 우리는 각 모평균이 동일한지를 검정함으로써 종양의 이질성 여부를 파악할 수 있을 것이다.
종양의 이질성은 종양의 크기를 나타내는 여러 가지 변수들, 예를 들면 종양의 최대 지름 또는 종양의 부피를 가지고 판단할 수 있다. 한 환자에게 나타나 있는 종양들이 서로 이질적이라면 종양의 크기가 변하는 정도가 서로 다를 것이라고 가정할 수 있다. 한 환자가 체내에 N개의 종양을 가지고 있다고 할 때, 그 환자의 i번째 병변에 나타나 있는 종양의 크기를 서로 다른 시점에 두 번 측정하여 그 변화율을 X_i라고 하고 각 X_i가 N(µ_i, σ²)로부터 추출되었다고 가정한다면(여기서, i는 1, .

제안 방법

우리는 다음과 같은 기준에 따라 성능을 확인하였다: (1) 귀무가설이 참일 경우의 제 1종의 오류를 범할 확률(type I error rate); (2) 대립가설이 참일 경우의 검정력(power). 각 모의실험의 시나리오별로 자료를 100번 생성시켜서 그 중에서 귀무가설을 몇 번 기각시키는 지를 센 후 제 1종의 오류를 범할 확률 또는 검정력을 구하고, 그 과정을 다시 100번 반복하여서 그 평균값을 구하였다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다:
둘째로, Hi: 어떤 i ≠ j에 대하여µi ≠ µj의 대립가설이 참일 경우를 고려하기 위한 자료를 생성하였다.
또한, 귀무가설이 참일 경우에서 유의수준이 α = 0.1/m로 설정한 모의실험도 함께 진행하였다.
또한, 본 연구에서는 유의수준에 대하여 본페르니 교정을 이용하여 오류를 보정하였다. 본 연구는 각 모집단으로부터 추출된 표본의 크기가 모두 1인 경우에 다수의 모집단의 평균을 비교하기 위한 가설검정 방법을 제안하였다.
그러나 검정력이 높지 않은 한계가 있음도 확인할 수 있었다. 또한, 표본들의 이질성을 파악하기 위하여 우리가 제안한 방법을 실제 자료에 적용시켰다. 대립가설이 참인 모의실험의 시나리오에서 각 모집단의 평균의 값을 절반은 0으로 하고 나머지 절반은 5, 10, 15 등 0보다 굉장히 큰 값으로 하였다.
1²) 분포로부터 생성된 자료를 고려하였다. 마지막으로 절반은 N(15, 0.1²) 분포로부터, 나머지는 N(0, 0.1²) 분포로부터 생성된 평균이 상이한 자료를 표현하여 모의실험을 진행하였다.
먼저, H0: µ1 = · · · = µN의 귀무가설이 참일 경우를 고려하기 위해 정규분포를 따르는 동일한 분포로부터 자료를 생성하였다.
이는 서로 다른 분포로부터 추출된 표본들을 의미하므로 표본의 개수인 N에 대하여 각각 자료의 절반을 평균이 상이한 세 가지 종류의 자료를 생성하였다. 먼저, 절반은 N(5, 0.1²) 분포로부터, 나머지는 N(0, 0.1²) 분포로부터 생성되어 혼합된 자료와 절반은 N(10, 0.1²) 분포로부터, 나머지는 N(0, 0.1²) 분포로부터 생성된 자료를 고려하였다. 마지막으로 절반은 N(15, 0.
본 연구에서는 N개의 모집단에서 표본이 한 개씩 추출되었을 때 평균 비교를 하기 위해 크기가 유사한두 집단으로 나눌 수 있는 조합의 수를 고려해서 두 집단으로 나누어 각 집단의 #를 계산하고 평균 차이 검정을 통해 집단에 속한 표본들의 이질성을 확인할 수 있는 최소 조합 t-검정 방법을 제안하였다. 일반적으로 각 모집단으로부터 추출된 2개 이상의 표본에 대하여 모평균이 동일한지 검정할 때에는 일원배치 분산분석을 실시하게 되는데, 이 방법을 통해 반복의 수가 1인 경우 H₀: µ₁ = · · · = µ_N의 가설검정이 가능하다.
본 장에서는 전이성 폐암의 종양 연구로부터 얻어진 실제자료에 제안한 방법을 적용하였다. 이 자료는 전이성 폐암인 환자를 대상으로 각각 흉부 CT를 통해 최대 지름(maximum diameter)과 부피(volume)를 측정하고, 항암치료 후에도 후속 촬영을 실시하여 전이성 종양의 성장패턴 차이와 변화율에 따른 종양 이질성(tumor heterogeneity)을 파악하기 위한 연구 (Yoo 등, 2017)로부터 생성되었다.
우리가 제안한 방법을 적용하여 종양 이질성을 파악하기 위해, 먼저 환자들의 두 번의 방문을 통해 얻어진 관측값들을 이용하여 변화율을 계산한다. 변화율은 다음과 같이 계산된다:
우리는 N개의 모집단으로부터 표본이 한 개씩 추출될 때, H0: µ1 = · · · = µN의 귀무가설을 검정함으로써 모평균의 차이가 존재하여 구성된 N개의 표본들의 이질성을 확인할 수 있는 최소 조합 t-검정(minimum combination t-test) 방법에 대해 제안한다.
이 자료는 2010년 1월부터 2014년 12월까지 폐암 전이성을 지닌 10명의 환자들을 대상으로 두 번의 CT 촬영을 실시하여 종양의 최대 지름(cm)과 부피(cm³)를 측정하였다. 10명의 환자들은 1명의 여성 환자와 9명의 남성 환자로 구성되어 있고, 각 환자들이 지닌 종양(nodule)의 수는 4개부터 52개까지 존재한다.
또한, N이 짝수인 경우, n₁ = n₂ = N/2이고, N이 홀수인 경우, n₁ = (N −1)/2, n₂ = (N +1)/2이다. 이를 이용하여 우리는 N개의 표본인 X₁, . . . , X_N을 임의의 두 집단으로 나누고 가설검정을 실시한다. 여기서, 모인 표본에 대하여 크기가 비슷한 두 집단으로 나누게 되는데, 모든 경우의 수로 두 집단을 나눌 수 있는 조합을 고려하게 된다.
정규분포 N(10, σ2)에서 σ가 0.1, 1, 2인 분포를 따르고 평균이 동일한 자료를 랜덤하게 생성하여 세 가지 경우를 고려하였다.

대상 데이터

)를 측정하였다. 10명의 환자들은 1명의 여성 환자와 9명의 남성 환자로 구성되어 있고, 각 환자들이 지닌 종양(nodule)의 수는 4개부터 52개까지 존재한다.
본 논문은 총 5장으로 구성되어 있다. 2장에서는 우리가 제안하는 방법을 설명하였다.
우리는 모의실험을 진행하기 위해 두 종류의 자료를 생성하였다. 표본의 개수인 N은 10, 20, 30, 40, 50,100로 설정하였다.

데이터처리

이 방법은 모든 가능한 조합의 개수만큼 나누어진 두 집단에 대하여 t-검정을 실시하기 때문에 유의확률인 p-값 또한 그 개수만큼 계산되어 도출되는데, 그 중 적어도 한 개의 p-값이 유의수준에 대해 유의하다면 귀무가설을 기각하여 나누어진 두 집단이 서로 다른 평균을 가진다고 할 수 있으므로 p-값 중 최솟값을 유의수준과 비교한다. 여기서 우리는 유의수준에 대하여 본페르니 교정을 이용하여 다중 검정에서 생길 수 있는 오류를 보정할 것이다 (Dunn, 1961).
여기서 조합의 수는 최대 4,000개로 제한한다. 이때, 다중 검정의 개념에 착안하여 새롭게 나누어진 두 그룹에 대하여 조합의 수만큼 t-검정을 실시하여 나누어진 두 집단 간 평균을 비교하게 된다. 제안한 방법에서의 t-검정을 위한 i번째 조합에서의 귀무가설과 대립가설은 다음과 같이 설정된다.
05/m로 설정된다. 제안된 새로운 가설검정 방법은 위에서 설명한 바와 같이 가설 검정 시 모든 가능한 조합의 개수만큼 t-검정을 하고 각 t-검정으로부터 p-값이 얻어지는 데, 그 중에서 최솟값을 구하고 그 값을 이용하여 귀무가설의 기각 여부를 판단하기 때문에 최소 조합 t-검정이라고 부르기로 하였다.

이론/모형

1. Estimated type I error rate when H₀ is true, and power when H₁ is true for minimum combinationt-test method.

성능/효과

또한, 전체적인 이질성을 확인하기 위해 최대 지름과 부피에 대하여 도출된 두 최솟값을 이용할 수 있는데, 그 중 더 작은 값이 유의수준보다 작다면 환자가 지닌 종양에 대하여 전체적인 이질성이 존재한다고 할 수 있다. 결과, 10명의 환자 모두 전체적인 이질성을 보인다고 할 수 없다.
05보다 작거나 근사한 제1종 오류 확률을 보인다. 또한, 유의수준이 0.1/m으로 설정된 경우에도 제 1종의 오류를 범할 확률이 0.1에 가깝게 나타나므로 귀무가설이 참이라는 가정 하에서 두 가지 다른 값의 유의수준을 지정했을 때 두 경우 모두 제안된 방법이 좋은 성능을 보임을 확인할 수 있다.
우리는 모의실험을 통해 우리가 제안한 방법이 제 1종의 오류를 범할 확률을 작게 유지하는 결과를 보여 좋은 성능을 보임을 확인하였다. 그러나 검정력이 높지 않은 한계가 있음도 확인할 수 있었다.

후속연구

여기서 t-검정이 아니라 등분산 가정이나 정규성 가정에 따른 일원배치 분산분석이나Kruskal-Wallis 방법 (Kruskal과 Wallis, 1952)을 고려할 수 있을 것이다. 이처럼 모집단에서 표본이 한 개씩 추출되었을 때 평균비교를 함으로써 이질성을 분석할 수있는 다양한 연구가 진행되어야 할 것이다.
그러나 앞에서 언급한 바와 같이 N개의 서로 다른 모집단으로부터 추출된 표본의 크기가 모두 1인 경우에는 H₀: µ₁ = · · · = µ_N와 같은 가설 검정은 불가능하다. 하지만 만약 N개의 모집단에서 크기가 1인 표본이 각각 추출된 자료에 대하여 모집단의 평균이 같은지를 검정할 수 있는 통계적 방법이 제안된다면, 그 방법을 활용하여 종양의 이질성이 존재하는지를 확인할 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	t-검정은 어디에 쓰여왔는가?	1908년에 William Sealy Gosset이 Student (1908)라는 필명으로 t-통계량을 개발하여 발표한 이래로 t-검정은 과학의 거의 모든 분야에서 한 개 또는 두 개의 모집단에서 모평균을 비교하는 데 쓰여왔다. 모집단이 하나일 때에는 모평균이 어떤 주어진 특정한 값과 같은지를 검정하기 위해, 그리고 모집단이 두 개일 때에는 각 모집단의 모평균이 같은지를 검정하기 위해 쓰인다.
	최소 조합 t-검정 방법의 한계는 무엇인가?	우리는 모의실험을 통해 우리가 제안한 방법이 제 1종의 오류를 범할 확률을 작게 유지하는 결과를 보여 좋은 성능을 보임을 확인하였다. 그러나 검정력이 높지 않은 한계가 있음도 확인할 수 있었다. 또한, 표본들의 이질성을 파악하기 위하여 우리가 제안한 방법을 실제 자료에 적용시켰다.
	t-검정과 분산분석의 전제조건은 무엇인가?	모집단의 평균을 비교하기 위한 t-검정과 분산분석 모두 중요한 전제조건이 하나 만족되어야 하는데 그것은 각 모집단에서 추출한 표본의 크기가 2 이상이어야 한다는 것이다. 추출된 표본으로부터 모평균과 모분산을 추정하고 그 추정값을 사용하여 가설검정을 위한 검정통계량을 계산하는데, 이를 위해서는 표본의 크기가 최소한 2 이상이 되어야 하는 것이 필수적이다.

참고문헌 (8)

Dunn, O. J. (1961). Multiple comparisons among means, Journal of the American Statistical Association, 56, 52-64.

상세보기
Fisher, R. (1918). The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance, Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 52, 399-433.
Hochberg, Y. and Benjamini, Y. (1990). More powerful procedures for multiple significance testing, Statistics in medicine, 9, 811-818.

상세보기
Holm, S. (1979). A simple sequentially rejective multiple test procedure, Scandinavian Journal of Statistics, 6, 65-70.
Kruskal, W. H. and Wallis, W. A. (1952). Use of ranks in one-criterion variance analysis, Journal of the American statistical Association, 47, 583-621.

상세보기
Marusyk, A. and Polyak, K. (2010). Tumor heterogeneity: causes and consequences, Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Reviews on Cancer, 1805, 105-117.

상세보기
Student. (1908). The probable error of a mean, Biometrika, 6, 1-25.

상세보기
Yoo, J., Kim, Y., Lim, C., Heo, M., Hwang, I., and Chong, S. (2017). Assessment of Spatial Tumor Heterogeneity using CT Phenotypic Features Estimated by Semi-Automated 3D CT Volumetry of Multiple Pulmonary Metastatic Nodules: A Preliminary Study, unpublished manuscript.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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