[논문]지수함수 형태의 거리함수에서 미분계수의 절차적 지식 구성과 표현의 변화에 대한 사례연구

이동근; 김숙희

지수함수 형태의 거리함수에서 미분계수의 절차적 지식 구성과 표현의 변화에 대한 사례연구
A Case Study on the Change of Procedural Knowledge Composition and Expression of Derivative Coefficient in Exponential Function Type Distance

학교수학 = School Mathematics, v.19 no.4, 2017년, pp.639 - 661

초록
AI-Helper

본 연구는 미분계수를 절차적 지식(거리함수 f(x)에서 a초에서 k초까지의 평균속력을 식으로 구성하여, 분모에 있는 인수를 약분한 다음 a에 k를 대입하여 속력함수를 구하는 방식)으로 구성한 고등학교 1학년 학생 세 명과의 교수실험 내용을 분석한 연구이다. 특히 본 연구에서는 분모에 있는 인수가 약분되기 어려운 거리함수(무리함수, 지수함수)에서 속력함수를 구성하는 과정을 중심으로 학생들이 구성한 절차적 지식에 대하여 학생 스스로의 고민과 표현이 어떠한지를 중심으로 분석하였다. 이 과정에서 학생들은 최초 구성한 절차적 지식에 대하여 다양한 고민과 표현의 변화를 보여주었다. 특히 학생B는 이 과정에서 기존에 자신이 알고 있는 지식을 모두 설명하지 못할 경우 자신이 구성한 미분계수를 구하는 절차에 대하여 고민하고 반성하는 모습을 보여주었다. 본 연구는 미분계수 학습에서 학생들의 계산 방식에 대한 이해를 더해주고, 미분계수를 구할 때 절차적 지식을 구성한 학생들에게 어떻게 자신들이 구성한 절차에 대하여 반성할 수 있는 기회를 제공할 것인지에 대하여 고민하였다는 점에서 의미를 갖는다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is to investigate the relationship between the distance function average speed and the speed function. Particularly, in this study, we investigate the process of constructing the speed function in the distance function (irrational function, exponential function) which is difficult to weaken the argument in the denominator. In this process, students showed various anxieties and expressions about the procedural knowledge that they constructed first. In particular, if student B can not explain all the knowledge he already knows in this process, he showed his reflection on the process of calculating the differential coefficient. This study adds an understanding of the calculation method of students in differential coefficient learning. In addition, it is meaningful that the students who construct procedural knowledge at the time of calculating the differential coefficient have thought about how to provide opportunities to reflect on the procedure they constructed.

주제어

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	절차적 지식의 장단점은?	개념적 지식과 절차적 지식의 관계에 대한 주장은 다양한 편이나, 보통은 이 두 가지 형태의 지식이 서로 연속체 상에 놓여있는 것으로 본다(Halford, 1993). 이때 절차적 지식은 연습에 의하여 훈련이 되면 최소한의 의식적인 집중만으로도 문제해결이 가능해지는 효율성 측면의 장점이 있는 반면, 이러한 효율성은 동시에 유연성의 부족이라는 단점이 되기도 한다(Rittle-Johnson &Schneider, 2014). 그러나 학생들의 개념적 이해의 수준이 발전함에 따라 문제풀이 절차도 숙달되어 가면서 두 지식의 관계는 상호 관계를 맺으며발달되어가기 때문에(Schneider & Stern, 2010),절차적 지식이 어떻게 구성되었으며 또 어떻게 개념적 지식을 구성할 수 있는 상태로 변화해가는 지에 대한 연구가 필요하다.
	학생들에게 지식을 강요할수록 어떤 부작용이 생기는가?	직관적으로 이해하도록 요구하면서 학생들이 그러한 직관적인 이해의 과정에서 어떠한 어려움을 보이고 있으며 어떠한 방식으로 그러한 어려움을 해결하기 위하여 지식을 구성해가는 지에 대하여 관심을 가지지 않는다면, 이는 학생들에게 지식을 강요하는 결과를 낳을 수도 있다. 또한 강요된 지식의 누적된 경험은 자칫 학생들이 미분 관련 학습에서 공식을 암기하고 이를 기계적으로 적용하는 것에만 치중하게 되는 부작용을 초래할 수 있다.
	극한 개념을 직관적으로 이해하는 과정에서 어떤 어려움이 나타났는가?	이러한 학교수학에서의 접근 방식은 미분계수에 대한 이해에 있어서도 마찬가지이며, 이 때문에 학생들은 역사발생 과정에서 Cauchy와 Weierstrass 등이 를 형식적이고 엄밀한 방식으로 정리한 것과 동일한 방식으로 학습하지는 않는다. 학생들은 할선의 기울기의 극한이 접선의 기울기가 되는 것 혹은 평균변화율의 극한 값이 순간변화율과 같다는 것을 직관적으로 이해하는 방식으로 학습하게 되는데, 이 과정에서 ‘할선의 길이가 점점 작아지다가 없어지므로 기울기가 존재하지 않는다.’라고 답하는 것과 같이 극한 개념을 직관적으로 이해하는 과정에서 다양한 어려움들을 드러내는 것으로 보고되고 있다(Orton, 1983).

참고문헌 (28)

강명희 (2015). 학생들의 개념적 지식과 절차적 지식의 발달과 초등수학 교과서 내용구성에 관한 고찰. 학습자중심교과교육연구, 15(10), 773-753.
남진영(2008). 수학적 지식의 구성. 서울: 경문사.
마민영 (2017). 중학생들의 일차함수에 대한 이 해와 발달. 한국교원대학교 대학원 박사학위논문.
박임숙, 김흥기 (2002). 고등학교에서의 극한개념 교수？학습에 관한 연구. 수학교육학연구, 12(4). 557-582.
양은경, 신재홍 (2014). 작도 접근 방식에 따른 중학생의 기하학적 특성 인식 및 정당화. 수학교육학연구, 24(4). 515-536.
이동근 (2017). 고등학교 1학년 학생들의 시간, 속력, 거리의 관계에서 평균속력에 대한 인식과 평균속력 함수 구성에 대한 연구. 한국교원대학교 대학원 박사학위논문.
이동근, 안상진, 김숙희, 신재홍(2016). 거리함수와 속력함수에서, 거리와 속력의 관계에 대한 학생들의 인식과 표현의 변화과정에 대한 연구. 학교수학, 18(4). 881-901.

원문보기 상세보기
이동근, 양성현, 신재홍 (2017). 자연상수 e 에 대한 이해를 기반으로 지수함수 $y2^x$ 의 $x0$ 에서의 순간변화율 구성에 관한 연구. 학교수학, 19(1), 95-116.

원문보기 상세보기
이응석, 김진호(2016). 구성주의를 반영한 수학 수업이 학생의 지식 생성 수준 및 추론능력에 미치는 영향. 초등수학교육, 19(1), 79-112.
임재훈, 홍진곤(1998). 조작적 구성주의와 사회적 국성주의에서 구성의 의미와 과정. 수학교육학연구, 9(1), 299-312.
전영배, 노은환, 최정숙, 김대의, 정의창, 정찬식, 김창수 (2009). 미분 문제해결 과정에서의 오류 분석. 한국학교수학회논문집, 12(4), 545-562.

원문보기 상세보기
정연준 (2010). 미분계수의 역사적 발달 과정에 대한 고찰. 학교수학, 12(2), 239-257.

원문보기 상세보기
Boyer, C. (1959). 미분적분학사-그 개념의 발달. 김경화 역, 서울: 교우사.
Confrey, J. (1990). What constructivism implies for teaching. In R. B. Davis, C. A. Maher & N. Noddings (eds.), Constructivist views of the teaching and learning of mathematics(Journal for Research in Mathematics Education, Monograph No. 4, pp. 107-122). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Canobi, K. H. (2009). Concept-procedure interactions in children's addition and subtraction. Journal of Experimental Child Psychology, 102, 131-149.

상세보기
Eves, H. (1979). 수학사. 이우영, 신항균 역, 서울: 경문사.
Glasersfeld, E. (1995). 급진적 구성주의, 김판수, 박수자, 심성보, 유병길, 이형철, 임채성, 허승희 역, 서울 : 원미사.
Halford, G. S. (1993). Children's understanding: The development of mental model. Hillsdale, NJ: Erlaum.
Hauger, G. S. (1995). Rate of change knowledge in high school and college students. p. 49. Washington, D.C. : ERIC Clearinghouse microfiches. ED392598.
Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp.1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Klein, M. (1953). 수학, 문명을 지배하다, 박영훈 역, 서울: 경문사.
Merriam, S. B. (1997). 질적 사례연구법. 허미화 역, 서울: 양서원.
Maxwell, J. A. (2012). Qualitative research design: An interactive approach (Vol. 41). Sage.
Miller, S. P., & Hudson, P. J. (2007). Using evidence-based practices to build mathematics competence related to conceptual, procedural, and declarative knowledge. Learning Disabilities Research & Practice, 22(1). 47-57.

상세보기
Orton, A. (1983). Student？s understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, 14, 235-250.

상세보기
Rittle-Johnson, B., & Schneider, M. (2014). Developing conceptual and procedural Knowledge of mathematics. In R. C. Kadosh & A. Dowker (Eds.), Oxford handbook of numerical cognition (pp.1118-1134). Ms, UK: Oxford University Press.
Schneider, M., & Stern, E. (2010). The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: A multimethod approach. Developmental Psychology, 46, 178-192.

상세보기
Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-122.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증