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학교수학과 학문수학에서의 연속성 개념 정의의 분석
Analysis on Definitions of Continuity Conveyed by School Mathematics and Academic Mathematics 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.27 no.3, 2017년, pp.375 - 389  

김진환 (영남대학교) ,  박교식 (경인교육대학교)

초록
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본 연구에서는 연속성 개념에 대한 학교수학에서의 정의와 학문수학에서의 정의 사이의 차별성과 상호연결성을 네 가지 관점에서 분석하고 있다. 이에 따르면, '한 점에서의 연속 불연속'의 정의가 학교수학에서는 극한 과정에 의존하고 있고, 학문수학에서는 정의역의 위상에 의존하고 있다. 학교수학에서는 정의역이 하나의 구간이나 구간들의 합집합인 함수에 한하여 연속함수인가를 판정할 수 있으나, 학문수학에서는 어떠한 함수에 대해서도 연속함수인가를 판정할 수 있다. 본 연구에서는 이러한 결과에 근거하여, 학교수학에서의 연속성 개념 취급과 관련하여 다음 두 가지 의견을 제시한다. 첫째, 극한 과정을 기반으로 한 학교수학에서의 국소적 연속성 개념으로 볼 때, 2009 개정 교과서에서 함수의 정의역에 속하지 않는 특정한 점에서 불연속을 취급하는 것은 적절하다. 이때 불연속점으로 무한 불연속점, 제거 가능한 불연속점과 도약 불연속점의 유형이 나타난다. 둘째, 일반적인 연속함수의 정의로 "함수 y = f(x)에서 정의역에 불연속점이 없으면, f을 연속함수라 한다."를 제안한다. 이 정의는 정의역에 속하지 않은 점에서의 불연속성의 판정을 허용하면서, 학문수학에서의 정의와 일관되게 연결된다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The purpose of this study is to analyze the difference and inter-connectivity between the definition of continuity in school mathematics and the definition of academic mathematics in four perspectives. These difference and inter-connectivity have not analyzed in previous papers. According to this st...

주제어

#극한과정   #위상   #학교수학   #학문수학   #연속   #불연속   #연속함수  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
대역적 연속성 개념에서 연속함수를 정의하면? 다른 하나는 대역적 연속성 개념으로, 함수 자체가 연속함수인가에 관한 것이다. 연속함수의 정의에서는 함수의 3대 하위 요소인 정의역, 공역, 법칙이 중요하게 작용하는 바, 공역의 임의의 열린 집합(openset)의 역상(inverse-image, pre-image)이 정의역의 열린 집합이 되는 함수를 연속함수로 정의하고 있다(Lipschutz, 2012; Munkres, 1975). 연속함수의 개념은 정의역의 모든 점에서 연속인 함수와 동치 개념으로, 대역적 연속성 개념과 국소적 연속성 개념의 관계가 학문적으로 정립되어 있다.
연속성 개념이 수학에서 매우 중요한 이유는 무엇인가? 연속성 개념은 근접성(nearness)을 보존시키는 개념으로 미적분을 다루기 위한 기초적인 개념인 바, 학교수학뿐만 아니라 일반적으로 대학에서 취급하는 학문수학에서도 매우 중요한 개념이다. 위상수학은 어떤 점에서의 작은 변화에 따른 함숫값의 변화를 다루는 대표적 학문수학이라 할 수 있고, 이때 위상(topology)은 근접성을 다루는 추상화된 측도이다.
실직선에서 다루는 극한과 연속의 개념에는 어떤 위상이 작용하는가? 위상수학은 어떤 점에서의 작은 변화에 따른 함숫값의 변화를 다루는 대표적 학문수학이라 할 수 있고, 이때 위상(topology)은 근접성을 다루는 추상화된 측도이다. 실직선에서 다루는 극한과 연속의 개념에는 절댓값으로 정의되는 거리에 의해 유도되는 통상 위상(usual topology)이 작용하고 있다. 실직선에서 이 통상 위상으로 근접성을 다룰 때 열린구간이 주요 역할을 담당하므로, 실직선에서 구간이 강조된다.
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