[논문]초등학교 수학에서 분수 나눗셈의 알고리즘 정당화하기

박중규; 이광호; 성창근

doi:10.7468/jksmec.2019.22.2.113

초등학교 수학에서 분수 나눗셈의 알고리즘 정당화하기
Justifying the Fraction Division Algorithm in Mathematics of the Elementary School 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series C : Education of primary school mathematics, v.22 no.2, 2019년, pp.113 - 127

박중규 (이리마한초등학교) , 이광호 (한국교원대학교) , 성창근 (영천초등학교)

초록
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본 연구의 목적은 자연수 나눗셈의 정의를 확장하여 분수 나눗셈에 적용함으로써 초등학교 수학에서 분수 나눗셈의 알고리즘을 정당화하는데 있다. 먼저 초등학교 수학에서 분수 나눗셈을 도입할 때 고려해야 할 준거들을 도출하여 제시하였다. 이를 바탕으로 분수 나눗셈의 표준 알고리즘을 유도하는 기존의 방식들이 분수 나눗셈 도입 과정에 적절한지를 고찰하였다. 또한 분수 나눗셈을 정의하였으며, 단위원 분할 모델과 정사각형 분할 모델을 통하여 구체적 조작 활동을 함으로써 등분제와 포함제 상황의 분수 나눗셈에서 표준 알고리즘을 자연스럽게 정당화하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is to justify the fraction division algorithm in elementary mathematics by applying the definition of natural number division to fraction division. First, we studied the contents which need to be taken into consideration in teaching fraction division in elementary mathematics and suggested the criteria. Based on this research, we examined whether the previous methods which are used to derive the standard algorithm are appropriate for the course of introducing the fraction division. Next, we defined division in fraction and suggested the unit-circle partition model and the square partition model which can visualize the definition. Finally, we confirmed that the standard algorithm of fraction division in both partition and measurement is naturally derived through these models.

주제어

표/그림 (9)

$[그림 1] 분수 나눗셈의 이해(Sinicrope et al., 2002, p. 160) [Fig. 1] Interpretation of fraction division(Sinicrope et al., 2002, p. 160)$ 그림 [그림 1] 분수 나눗셈의 이해(Sinicrope et al., 2002, p. 160) [Fig. 1] Interpretation of fraction division(Sinicrope et al., 2002, p. 160)
그림 [그림 2] 길이(m) 공간과 길이(u) 공간(임재훈,2016, p.530) [Fig. 2] Length(m) space and length(u) space(Lim, J. H., 2016, p.530)
$[표 1] 분수 나눗셈 알고리즘 접근 방식들의 한계점 [Table 1] The limitations of approach-methods for the fraction division algorithm$ 표 [표 1] 분수 나눗셈 알고리즘 접근 방식들의 한계점 [Table 1] The limitations of approach-methods for the fraction division algorithm
그림 [그림 3] 쌓기나무 모델로 표현된 2차 단위 비율법 [Fig. 3] The method of scondary unit rate, expressed through building block model
그림 [그림 4] 쌓기나무 모델로 표현된 1차 단위 비율법 [Fig. 4] The method of primary unit rate, expressed through building block model
$[그림 5]<TEX>$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$</TEX> 의 단위원 분할 모델 [Fig. 5] The unit-circle partition model of <TEX>$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$</TEX>$ 그림 [그림 5]$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$ 의 단위원 분할 모델 [Fig. 5] The unit-circle partition model of $\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$
$[그림 6] <TEX>$\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$</TEX> 의 정사각형 분할 모델 [Fig. 6] The square partition model of <TEX>$\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$</TEX>$ 그림 [그림 6] $\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$ 의 정사각형 분할 모델 [Fig. 6] The square partition model of $\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$
$[그림 7] <TEX>$\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$</TEX> 의 정사각형 분할모델 [Fig. 7] The square partition model of <TEX>$\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$</TEX>$ 그림 [그림 7] $\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$ 의 정사각형 분할모델 [Fig. 7] The square partition model of $\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$
$[그림 8] <TEX>$\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$</TEX> 의 정사각형 분할모델 [Fig. 8] The square partition model of <TEX>$\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$</TEX> (단, c<d)$ 그림 [그림 8] $\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$ 의 정사각형 분할모델 [Fig. 8] The square partition model of $\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$ (단, c

표/그림 (9)

$[그림 1] 분수 나눗셈의 이해(Sinicrope et al., 2002, p. 160) [Fig. 1] Interpretation of fraction division(Sinicrope et al., 2002, p. 160)$ 그림 [그림 1] 분수 나눗셈의 이해(Sinicrope et al., 2002, p. 160) [Fig. 1] Interpretation of fraction division(Sinicrope et al., 2002, p. 160)

그림 [그림 2] 길이(m) 공간과 길이(u) 공간(임재훈,2016, p.530) [Fig. 2] Length(m) space and length(u) space(Lim, J. H., 2016, p.530)

$[표 1] 분수 나눗셈 알고리즘 접근 방식들의 한계점 [Table 1] The limitations of approach-methods for the fraction division algorithm$ 표 [표 1] 분수 나눗셈 알고리즘 접근 방식들의 한계점 [Table 1] The limitations of approach-methods for the fraction division algorithm

그림 [그림 3] 쌓기나무 모델로 표현된 2차 단위 비율법 [Fig. 3] The method of scondary unit rate, expressed through building block model

그림 [그림 4] 쌓기나무 모델로 표현된 1차 단위 비율법 [Fig. 4] The method of primary unit rate, expressed through building block model

$[그림 5]<TEX>$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$</TEX> 의 단위원 분할 모델 [Fig. 5] The unit-circle partition model of <TEX>$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$</TEX>$ 그림 [그림 5]$\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$ 의 단위원 분할 모델 [Fig. 5] The unit-circle partition model of $\frac{5}{7}{\div}\frac{2}{3}$

$[그림 6] <TEX>$\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$</TEX> 의 정사각형 분할 모델 [Fig. 6] The square partition model of <TEX>$\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$</TEX>$ 그림 [그림 6] $\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$ 의 정사각형 분할 모델 [Fig. 6] The square partition model of $\frac{3}{2}{\times}\frac{2}{3}$

$[그림 7] <TEX>$\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$</TEX> 의 정사각형 분할모델 [Fig. 7] The square partition model of <TEX>$\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$</TEX>$ 그림 [그림 7] $\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$ 의 정사각형 분할모델 [Fig. 7] The square partition model of $\frac{4}{3}{\times}\frac{3}{4}$

$[그림 8] <TEX>$\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$</TEX> 의 정사각형 분할모델 [Fig. 8] The square partition model of <TEX>$\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$</TEX> (단, c<d)$ 그림 [그림 8] $\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$ 의 정사각형 분할모델 [Fig. 8] The square partition model of $\frac{d}{c}{\times}\frac{c}{d}$ (단, c

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 자연수 나눗셈의 등분제와 포함제의 의미를 재음미함으로써 이를 분수 나눗셈에도 일관되게 적용할 수 있는 정의로 확장하고, 이러한 정의가 분수 나눗셈에 어떻게 구현되는지를 알 수 있는 시각적 모델을 제시함으로써 분수 나눗셈의 표준 알고리즘 정당화 과정을 제시한다.

가설 설정

초등학교 수학과 교육과정에서 학생들은 자연수를 학습한 후에 분수를 배우며, 나눗셈 또한 자연수에서 먼저 도입한 후에 분수에서 도입하게 된다. 학생들이 자연수에서 뿐만 아니라 분수에서 이루어지는 나눗셈의 의미를 알고 나눗셈을 할 줄 알아야 한다면, 자연수에서 이루어지는 나눗셈의 의미 그대로가 분수로 연결될 때 분수의 나눗셈을 자연스럽게 학습할 수 있을 것이다.

제안 방법

본 연구에서는 자연수 나눗셈의 방법을 분수 나눗셈에 적용하기 위해 이산량 뿐만 아니라 연속량에도 적합한 단위와 배 개념으로 등분제 상황과 포함제 상황의 분수 나눗셈을 정의하였다. 그리고 단위원 분할 모델을 통해 등분제 상황의 분수 나눗셈의 표준 알고리즘을, 정사각형 분할 모델을 통해 포함제 상황의 분수 나눗셈의 표준 알고리즘을 정당화하였으며, 제수의 역수를 곱하는 이유와 그 의미를 알아보았다. 이러한 과정을 통해 얻을 수 있는 결론은 다음과 같다.

성능/효과

셋째, 분수 나눗셈을 구체적 조작 활동을 통해 제수의 역수를 곱하는 이유와 의미를 알게 되었다면 이를 지속적으로 상기할 수 있도록 해야 한다. 이를 위해 “1차 단위 비율법” , “제수를 1로 만드는 접근 방식”, 그리고 “2차 단위 비율법” 등을 통해 분수 나눗셈식을 계산하도록 할 수 있다.

셋째, 수식으로 나타낸 나눗셈의 해결법으로 1차 단위 비율법과 2차 단위 비율법을 적극 활용해야 한다. 수식으로 제시된 나눗셈식의 계산이 실생활과 관련성을 유지하기 위해서는 수식으로 주어진 나눗셈식의 계산을 제수의 분모와 분자를 바꾸어 곱하는 알고리즘의 형식화에 치우치기 보다는 나눗셈의 의미를 생각하게할 수 있는 1차 단위 비율법과 2차 단위 비율법의 계산 방법을 적극 활용할 필요가 있다.

첫째, 등분제와 포함제 상황의 자연수 나눗셈의 정의를 적절히 확장하여 분수 나눗셈에 적용할 수 있다. 등분제 상황의 경우, 제수 ‘한 묶음의 크기’ 대신 ‘한 단위의 크기’를 구함으로써 분수 나눗셈을 할 수 있다.

첫째, 자연수의 나눗셈 방법을 적절히 확장하는 방식으로 분수 나눗셈을 도입함으로써 교육과정에서 나눗셈을 일관되게 정의할 수 있다.

후속연구

셋째, 수식으로 나타낸 나눗셈의 해결법으로 1차 단위 비율법과 2차 단위 비율법을 적극 활용해야 한다. 수식으로 제시된 나눗셈식의 계산이 실생활과 관련성을 유지하기 위해서는 수식으로 주어진 나눗셈식의 계산을 제수의 분모와 분자를 바꾸어 곱하는 알고리즘의 형식화에 치우치기 보다는 나눗셈의 의미를 생각하게할 수 있는 1차 단위 비율법과 2차 단위 비율법의 계산 방법을 적극 활용할 필요가 있다.

자연수 나눗셈의 방법을 분수 나눗셈으로 연결하게 하는 본 연구가 교육적 효과를 거두기 위해서는 단위원 분할 모델과 정사각형 분할 모델을 통한 등분제 상황과 포함제 상황의 분수 나눗셈을 어느 시기에, 그리고 어떠한 학습 경로를 통해 가르칠 것인가에 대한 더 많은 연구가 필요하다.

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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변

단위원 분할 모델은 무엇을 정당화하고 있는가? 둘째, 분수 나눗셈에서 표준 알고리즘을 정당화하고, 제수의 역수를 곱하는 이유와 그 의미를 이해하는데 단위원 분할 모델과 정사각형 분할 모델을 사용할 수 있다. 단위원 분할 모델은 등분제 상황의 분수 나눗셈에서 제수의 한 단위의 크기를 구하는 과정을 알아보는 구체적 조작 활동을 통해 표준 알고리즘을 정당화할 수 있으며, 정사각형 분할 모델은 포함제 상황의 분수 나눗셈에서 정사각형을 분할하여 재배치하는 구체적 조작활동을 통해 표준 알고리즘을 정당화할 수 있다. 또한 이러한 구체적 조작 활동 과정에서 제수의 역수를 곱하는 이유와 그 의미를 파악할 수 있도록 해준다.

나눗셈은 어떤 과정인가? 나눗셈은 피제수를 제수로 똑같이 나눌 때, 피제수가 제수의 몇 배인지를 알아가는 과정이다. 실생활 상황을 통해 도입되는 나눗셈 문제를 해결하기 위해 일단 나눗셈식으로 나타내게 되면, 1차 단위 비율법 또는 2차 단위 비율법으로 해결할 수 있다.

2015 개정 교육과정 수학과 교과서에서는 자연수 나눗셈에서 등분제와 포함제 상황 모두를 제시하고 있는 이유는? 자연수에서 이루어지는 나눗셈의 두 상황은 곱셈과 나눗셈의 관계에서 살펴볼 수 있다. 예를 들어, ‘한 명이 사과를 3개씩 가지고 있다면 4명이 가지고 있는 사과는 모두 12개이다.’를 곱셈식으로 나타내면, ‘3×4=12’이다. 이 곱셈식은 “곱해지는 수를 구하는 나눗셈식” ‘12÷4=3’과 “곱하는 수를 구하는 나눗셈식” ‘12÷3=4’로 만들 수 있다(교육부, 2018a, p.203). 곱해지는 수를 구하는 나눗셈식 ‘12÷4=3’은 ‘사과 12개가 있습니다. 사과를 4명에게 똑같이 나누어 준다면 한 명이 몇 개씩 가지게 됩니까?’라는 등분제 상황의 나눗셈식이며, 곱하는 수를 구하는 나눗셈식 ‘12÷3=4’는 ‘사과 12개가 있습니다. 한 명에게 3개씩 나누어 준다면 몇 명에게 나누어 줄 수 있습니까?’라는 포함제 상황의 나눗셈식이다. 이처럼 곱셈과 나눗셈의 관계를 통해 나눗셈은 두 가지 상황이 있음을 알 수 있다.

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이 논문을 인용한 문헌

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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