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문제 정의
- 메타정의의 연쇄 유형에 포함된 정의적 요소와 관련하여 또 다른 메타적 기능으로 작용하는 태도의 메타적 기능은 정의적 요소를 반드시 포함하는 메타정의의 특성이 반영된 메타적 기능으로, 신념 유형과 마찬가지로 별도의 ‘태도’ 유형으로 구분하여 범주화하였다. 따라서 본 연구에서는 도주원(2018), 도주원과 백석윤(2018)에서 규정한 메타정의의 개념, 유형, 메타적 기능 유형에 기반하여 수학 영재아의 인지적, 정의적 요소들의 상호작용에 기반한 수학 문제해결 과정에 나타나는 메타정의의 개념, 유형, 메타적 기능 유형의 특성을 파악하고자 하였다.
- 이와 유사한 방식으로 문제해결 과정에 긍정적으로 작용하는 메타정의적 능력 또한 수학적 능력이 뛰어난 학습자의 능력과 밀접하게 관련되어 있으므로 수학 영재아들의 메타정의적 특성을 파악함으로써 보다 분명한 메타정의의 장점적 특성에 대하여 알아볼 필요가 있다고 생각한다. 따라서 본 연구에서는 수학 영재아들의 소집단 문제해결 과정에 나타나는 메타정의의 특성을 문제해결의 성공 여부에 따라 비교 분석하여 그 특성을 규명하고자 하였다.
- 본 연구에서는 입학할 때 동일 조건하에서 선발 과정을 거친 서울 소재의 한 대학부설 영재교육원의 초등학교 수학 영재아 20명을 대상으로 문제해결의 성공 여부에 따라 수학 문제해결 과정에 나타나는 메타정의의 특성을 파악하였다. 연구 대상 학생들은 4학년 1명, 5학년 9명, 6학년 10으로 동일 환경 내에서 학업을 수행하여 학년 구분에 의미가 없으므로 임의로 2인 1조의 소집단 10개를 편성하여 협업적으로 수학 문제를 해결하도록 설정하였다.
제안 방법
- 특히 뛰어난 수학적 능력과 창의성을 개발할 수 있는 잠재력을 지난 영재아들은 자신이 이해하지 못하고 있음을 인식할 때 개념적 이해와 관련된 강직성(integrity)에 대한 논쟁을 하게 된다(Goldin,2009). 따라서 본 연구에 적용한 문제의 개발 기준은, 첫째 연구 대상 학생들에게 도전적이면서, 둘째 해결 과정에서 인지적, 메타인지적 행동을 보일 수 있도록 충분히 복잡하고, 셋째 심도 있는 사고를 요구하여 논의 및 논쟁을 유도할 수 있고, 넷째 문제해결 과정에서 정의적, 메타정의적 반응이 활성화되어 나타날 수 있도록 다양한 사고를 요하는 문제를 개발하는 것이다. 이러한 문제 개발의 기준을 기반으로 <표 1>의 적용 문제를 개발하여 적용하였다.
- 연구 대상 학생들은 4학년 1명, 5학년 9명, 6학년 10으로 동일 환경 내에서 학업을 수행하여 학년 구분에 의미가 없으므로 임의로 2인 1조의 소집단 10개를 편성하여 협업적으로 수학 문제를 해결하도록 설정하였다. 메타정의의 출현 빈도와 비율을 비교하여 분석하는 기술적 통계 방법을 사용하였으며, 실제 문화사회학적 배경의 맥락 안에서 초등학교 수학 영재아의 수학 문제해결 과정을 조사하고 해석하는데 중점을 두었다.
- 문제는 문제지의 형태로 제시하고, 별도의 교사의 지도 없이 소집단 별로 적용 문제를 해결하도록 하였다. 문제를 해결하는데 필요한 계산이나 풀이과정을 적을 수 있도록 빈 A4 종이를 함께 제시하였다. 총 1시간 20분 동안 해결한 총 4개의 문제에 대한 자료를 수집하였다.
- 풀이과정은 한 사람만 쓰도록 제한을 두어 구성원 사이의 사고의 과정이 상호 보완적으로 연속되어 나타날 수 있도록 설정하였다. 문제를 해결한 후 문제지에 답을 적도록 하였으며, 노트북을 활용하여 문제해결 과정을 동시에 녹화하여 자료를 수집하였다. 수집 과정에서 파손된 10조의 동영상 자료를 제외한 1조~9조의 동영상 자료를 수집하였다.
- 문제해결의 성공 여부에 따른 사례 수 및 사례별 메타정의의 출현 빈도가 다르므로, 문제해결의 성공 여부에 따라 문제해결 과정에 나타나는 메타정의 출현 비율, 메타정의의 유형별 출현 비율, 메타적 기능 유형별 출현 비율을 비교 분석하였다.
- 본 연구의 자료 수집을 위하여 먼저 적용 문제의 개발 기준을 설정하기 위하여 문제의 조건과 수학 영재아의 수학적 능력과 학습 성취 수준을 고려하였다. 특히 뛰어난 수학적 능력과 창의성을 개발할 수 있는 잠재력을 지난 영재아들은 자신이 이해하지 못하고 있음을 인식할 때 개념적 이해와 관련된 강직성(integrity)에 대한 논쟁을 하게 된다(Goldin,2009).
- 수집한 문제해결 활동 녹화 자료는 문제지와 문제해결 활동지를 참고하여 말, 행동, 표정 등의 모든 행위를 전사하였다. 먼저 정의적 요소가 나타나는 에피소드를 포함한 문제해결 사례를 1차 선별하였다.
- 본 연구에서는 입학할 때 동일 조건하에서 선발 과정을 거친 서울 소재의 한 대학부설 영재교육원의 초등학교 수학 영재아 20명을 대상으로 문제해결의 성공 여부에 따라 수학 문제해결 과정에 나타나는 메타정의의 특성을 파악하였다. 연구 대상 학생들은 4학년 1명, 5학년 9명, 6학년 10으로 동일 환경 내에서 학업을 수행하여 학년 구분에 의미가 없으므로 임의로 2인 1조의 소집단 10개를 편성하여 협업적으로 수학 문제를 해결하도록 설정하였다. 메타정의의 출현 빈도와 비율을 비교하여 분석하는 기술적 통계 방법을 사용하였으며, 실제 문화사회학적 배경의 맥락 안에서 초등학교 수학 영재아의 수학 문제해결 과정을 조사하고 해석하는데 중점을 두었다.
- 이러한 문제 개발의 기준을 기반으로 의 적용 문제를 개발하여 적용하였다.
- 먼저 정의적 요소가 나타나는 에피소드를 포함한 문제해결 사례를 1차 선별하였다. 이어서 정의적 요소를 포함하는 상호 관련된 인지적, 정의적 요소들의 연쇄 즉 메타정의를 포함하는 협업적 문제해결 활동 사례를 2차 선별하는 의도적 표집(Yin, 2014) 방법으로 분석할 사례를 선정하였다. 분석의 신뢰도를 높이기 위하여 연구자 간 교차 분석을 실시하였다.
- 전사한 자료를 분석하기 위하여 정의적 요소(A)는 DeBellis와 Goldin(1997, 2006)이 메타정의를 정의(定義)할 때 기반으로 한 정서(E), 태도(A), 신념(B), 가치(V)로 구분하여 분류하였다. 정의적 속성을 내포하고 있는 인지적 요소를 융합적 요소(M)으로 구분하였으며 정의적 요소(A)로 분류하였다.
- 전사한 자료를 분석하기 위하여 정의적 요소(A)는 DeBellis와 Goldin(1997, 2006)이 메타정의를 정의(定義)할 때 기반으로 한 정서(E), 태도(A), 신념(B), 가치(V)로 구분하여 분류하였다. 정의적 속성을 내포하고 있는 인지적 요소를 융합적 요소(M)으로 구분하였으며 정의적 요소(A)로 분류하였다. 앞서 Ⅱ장에서 고찰한 바와 같이, 도주원(2018)의 연구에서‘반드시 정의적 요소를 포함하는 상호 관련된 인지적, 정의적 요소들의 연쇄’로 설정한 메타정의의 조작적 정의에 기반하여 메타정의의 유형을 도출하였다.
- 문제를 해결하는데 필요한 계산이나 풀이과정을 적을 수 있도록 빈 A4 종이를 함께 제시하였다. 총 1시간 20분 동안 해결한 총 4개의 문제에 대한 자료를 수집하였다.
대상 데이터
- 문제를 해결한 후 문제지에 답을 적도록 하였으며, 노트북을 활용하여 문제해결 과정을 동시에 녹화하여 자료를 수집하였다. 수집 과정에서 파손된 10조의 동영상 자료를 제외한 1조~9조의 동영상 자료를 수집하였다.
데이터처리
- 이어서 정의적 요소를 포함하는 상호 관련된 인지적, 정의적 요소들의 연쇄 즉 메타정의를 포함하는 협업적 문제해결 활동 사례를 2차 선별하는 의도적 표집(Yin, 2014) 방법으로 분석할 사례를 선정하였다. 분석의 신뢰도를 높이기 위하여 연구자 간 교차 분석을 실시하였다.
이론/모형
- 앞서 Ⅱ장에서 고찰한 바와 같이, 도주원(2018)의 연구에서‘반드시 정의적 요소를 포함하는 상호 관련된 인지적, 정의적 요소들의 연쇄’로 설정한 메타정의의 조작적 정의에 기반하여 메타정의의 유형을 도출하였다.
성능/효과
- 수학 영재아의 문제해결 과정에 나타나는 메타정의는 문제해결의 성공 여부와 관계없이 계획 유형의 메타적 기능으로 작용하는 것으로 파악된다. 계획 유형의 메타적 기능으로 작용한 메타정의는 수학 학습 성취 상 수준인 일반 학생의 경우 문제해결의 도입 단계에서 주로 나타난 반면, 수학 영재아의 경우 도입단계보다는 전개 단계에서 실행 중인 해결 전략으로 문제가 쉽게 해결되지 않을 때 다시 문제해결 전략이나 방법을 고안하여 문제를 해결하고자 하는 계획을 세우는 활동을 수행하는 특성을 보였다.
- 둘째, 수학 영재아의 경우 문제해결의 성공 여부와 관계없이 문제해결의 맥락과 관련된 인지적 요소가 먼저 나타나는 메타정의 유형들이 정의적인 요소가 먼저 나타나는 유형에 비해 상대적으로 많이 나타나고 있음을 알 수 있다. 또한 50% 미만의 낮은 정답률을 보인 문제해결의 경우 정답률이 50% 이상인 경우에 비해 다양한 메타정의 유형이 나타났다.
- 이러한 구조는 기존의 메타인지와 함께 메타정의, 즉 정의적요소에 대한 인지적, 정의적 작용, 인지적 요소에 대한 정의적 작용까지에 대한 설명을 가능하게 해준다. 따라서 메타정의 유형을 인지적 요소는 C로, 정의적 요소는 A로 표기하여, C-C-A유형, C-A유형, C-A-C유형, C-A-A유형, A-C유형, A-C-C유형, A-C-A유형, A-A유형, A-A-C유형, A-A-A유형으로 도출하였다.
- 둘째, 수학 영재아의 경우 문제해결의 성공 여부와 관계없이 문제해결의 맥락과 관련된 인지적 요소가 먼저 나타나는 메타정의 유형들이 정의적인 요소가 먼저 나타나는 유형에 비해 상대적으로 많이 나타나고 있음을 알 수 있다. 또한 50% 미만의 낮은 정답률을 보인 문제해결의 경우 정답률이 50% 이상인 경우에 비해 다양한 메타정의 유형이 나타났다. 이는 문제해결 과정에 인지, 메타인지적 특성이 빈번하게 나타나는 수학 영재아의 특성과 관련되어 나타나는 현상으로 파악된다.
- 이는 정답률이 낮은 문제에서 수학 영재아는 그 문제를 해결하기 위하여 보다 다양한 사고 과정을 보이고 있음을 의미한다. 또한 50% 이하의 낮은 정답률을 보인 2번, 3번 문제의 성공적인 문제해결의 경우 C-A-C유형과 C-A-A유형이 다른 유형에 비해 상대적으로 많이 나타나는 양상을 보이고 있다. 반면에 50% 이상의 높은 정답률을 보인 1번과 4번의 문제해결 과정에 나타난 메타정의의 유형별 출현 비율은 특별한 양상이 나타나지 않았다.
- 성공적이지 못한 문제해결에서 메타정의의 메타적 기능 유형 여섯 가지가 모두 나타나는 특징을 보였다. 반면에 50% 이상의 높은 정답률을 보인 1번과 4번의 성공적인 문제해결의 경우 메타정의는 평가, 모니터링, 태도 유형의 메타적 기능 순으로 작용하며 문제해결에 영향을 미치고 있었다. 성공적이지 못한 문제해결의 경우 메타정의는 문제, 문제해결 과정, 동료 학습자에 대한 모니터링 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용하였으나 모니터링에 이어서 작용하게 되는 평가 유형의 메타적 기능으로는 상대적으로 적게 작용하고 있음을 알 수 있다.
- 성공적인 문제해결에서는 성공적이지 못한 경우에 비해 C-C-A유형, C-A-C유형, A-C-C유형, A-C-A유형이 편중되어 나타났다. 반면에 성공적이지 못한 문제해결에서는 성공적인 경우에 비해 C-A유형, C-A-A유형, A-C유형, A-A유형, A-A-C유형, A-A-A유형이 편중되어 나타났다.
- 65%로 많이 나타났다. 반면에 성공적이지 못한 문제해결의 경우 태도 유형의 메타적 기능이 29.35%로 가장 많이 나타났으며, 평가 유형의 메타적 기능이 27.91%로 많이 나타났다. 즉, 성공 여부와 관계없이 메타정의는 평가 및 태도 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용했음을 알 수 있다.
- <표 3>에 제시된 문제별 정답률을 고려하여 [그림 4]의 각 문제해결 과정에 나타난 메타정의의 메타적 기능 유형별 출현 비율을 분석한 결과, 50% 미만의 낮은 정답률을 보인 2번과 3번의 성공적인 문제해결의 경우 메타정의가 평가 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용했음을 알 수 있다. 성공적이지 못한 문제해결에서 메타정의의 메타적 기능 유형 여섯 가지가 모두 나타나는 특징을 보였다. 반면에 50% 이상의 높은 정답률을 보인 1번과 4번의 성공적인 문제해결의 경우 메타정의는 평가, 모니터링, 태도 유형의 메타적 기능 순으로 작용하며 문제해결에 영향을 미치고 있었다.
- 이러한 과정에서 정의적 요소에 대해 정의적 요소가 작용하고 거기에 다시 정의적 요소가 작용하는 A-A-A유형의 메타정의가 많이 나타나게 되는 것으로 이해할 수 있다. 성공적인 문제해결에서는 성공적이지 못한 경우에 비해 C-C-A유형, C-A-C유형, A-C-C유형, A-C-A유형이 편중되어 나타났다. 반면에 성공적이지 못한 문제해결에서는 성공적인 경우에 비해 C-A유형, C-A-A유형, A-C유형, A-A유형, A-A-C유형, A-A-A유형이 편중되어 나타났다.
- 첫째, 메타정의는 성공적이지 못한 문제해결의 경우 성공적인 문제해결의 경우에 비해 상대적으로 많이 나타났다. 성공적인 문제해결의 경우 정답률이 낮을수록 메타정의의 출현 비율도 높아지는 양상을 나타냈으며, 성공적이지 못한 문제해결의 경우 정답률이 낮을수록 메타정의의 출현 비율도 낮아지는 양상을 나타냈다. 이를 통해 수학 영재아의 경우 쉽게 해결되지 않을 정도로 문제의 난이도가 높고 사고를 요하는 문제를 해결하는 과정에서 메타정의가 보다 많이 나타나서 문제해결 과정에 영향을 미치고 있음을 알 수 있다.
- 셋째, 수학 영재아의 문제해결 과정에서 메타정의의 메타적 기능 유형 여섯 가지가 모두 나타났으며, 문제해결의 성공 여부와 관계없이 메타정의는 평가 및 태도 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용하였다. 이를 통해 수학 영재아의 경우 문제해결자로서 문제해결에 임하는 태도의 메타적 기능 유형의 메타정의는 수학 학습 성취 수준과 관계없이 문제해결에 있어 중요한 역할을 하고 있음을 알 수 있다.
- 수학 영재아 소집단이 해결한 문제해결 활동 사례 36개 중 메타정의가 나타난 사례는 33개(91.67%)로 이 중 성공적인 문제해결 사례는 15개(45.45%), 성공적이지 못한 문제해결 사례는 18개(54.55)였다. <표 2>에 제시된 바와 같이 메타정의는 성공적이지 못한 문제해결의 경우 성공적인 문제해결의 경우에 비해 4.
- 수학 영재아의 문제해결 과정에서 메타정의의 메타적 기능 유형 여섯 가지가 모두 나타났다. 이는 Clark(1988)이 제시한 영재아의 특성 중 ‘다양한 관심과 높은 호기심’, ‘유연한 사고 과정’, ‘비일상적인 관계를 알아내는 능력’과 같은 인지적 특성과 ‘타인의 감정에 대한 비상한 민감성’, ‘뛰어난 유머 감각’, ‘고양된 자각’, ‘내적 통제’, ‘정서적 깊이와 강도가 비상함’, ‘가치’, ‘고도의 도덕적 판단’과 같은 정의적 특성들이 발휘되어 문제해결 과정에 나타난 메타정의가 다양한 유형의 메타적 기능으로 작용한 것으로 파악된다.
- <표 3>에 제시된 문제별 정답률을 고려하여 [그림 4]의 각 문제해결 과정에 나타난 메타정의의 메타적 기능 유형별 출현 비율을 분석한 결과, 50% 미만의 낮은 정답률을 보인 2번과 3번의 성공적인 문제해결의 경우 메타정의가 평가 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용했음을 알 수 있다. 성공적이지 못한 문제해결에서 메타정의의 메타적 기능 유형 여섯 가지가 모두 나타나는 특징을 보였다.
- <표 5>에 제시된 수학 영재아의 문제해결 성공 여부에 따른 문제별 메타정의의 메타적기능 유형별 메타정의 출현 비율을 살펴보면, 성공적인 문제해결의 경우 메타정의는 평가유형의 메타적 기능이 38.73%으로 가장 많이 나타났으며, 그 다음으로는 태도 유형의 메타적 기능이 24.65%로 많이 나타났다. 반면에 성공적이지 못한 문제해결의 경우 태도 유형의 메타적 기능이 29.
- <표 4>에 제시된 수학 영재아의 문제해결의 성공 여부에 따른 문제별 메타정의 유형별 출현 비율을 살펴보면, C-A-C유형이 문제해결의 성공 여부에 관계없이 가장 많이 나타났다. 이어서 성공적인 문제해결의 경우 C-C-A유형, C-A-A유형, C-A유형과 A-A-A유형, A-C-A유형, A-C-A유형, A-C유형, A-A유형과 A-A-C유형 순으로 나타났다. 성공적이지 못한 문제해결의 경우 C-A-A유형, C-C-A유형, C-A유형, A-A-A-유형, A-A-C유형, A-C-A유형과 A-A-유형, A-C-C-유형, A-C유형 순으로 나타났다.
- 첫째, 메타정의는 성공적이지 못한 문제해결의 경우 성공적인 문제해결의 경우에 비해 상대적으로 많이 나타났다. 성공적인 문제해결의 경우 정답률이 낮을수록 메타정의의 출현 비율도 높아지는 양상을 나타냈으며, 성공적이지 못한 문제해결의 경우 정답률이 낮을수록 메타정의의 출현 비율도 낮아지는 양상을 나타냈다.
- 한편, 이러한 특성을 각 적용문제의 정답률과 관련지어 분석해 보면, 에서 성공적인 문제해결의 경우 메타정의가 각각 80.00%, 59.15%로 높게 나타난 1번과 4번 문제는 에 제시된 바와 같이 정답률이 각각 55.56%, 88.89%로 높았다.
후속연구
- 또한 수학 영재아의 난이도가 낮은 문제의 성공적이지 못한 해결 과정에서 메타정의는 문제, 문제해결 과정, 동료 학습자에 대한 모니터링 유형의 메타적 기능으로 활발하게 작용하였으나 모니터링에 이어서 작용하게 되는 평가 유형의 메타적 기능으로는 상대적으로 적게 작용하고 있다. 따라서 수학 영재아가 성공적인 문제해결 활동을 하기 위해서는 우선 문제해결 활동 과정에서 모니터링을 통하여 자신의 문제해결 행위나 정의적 요소를 점검, 확인한 후에는 이를 사정, 평가하여 자신의 문제해결 활동을 올바른 방향으로 조절하거나 보완할 수 있는 과정을 거칠 수 있도록 지도해야 할 것이다.
- 이를 통해 수학 영재아의 경우 문제해결 과정에 인지, 메타인지뿐만 아니라 정의, 메타정의가 나타나 활발하게 작용하고 있음을 알 수 있다. 따라서 수학 영재아의 문제해결 과정은 인지, 메타인지적 특성뿐만 아니라 정의, 메타정의적 특성과 밀접하게 관련이 있으므로 이러한 메타정의적 특성이 문제해결 과정에 긍정적으로 작용할 수 있도록 지도해야 할 것이다.
- 본 연구를 통하여 파악된 수학 영재아의 문제해결 과정에 작용하는 메타정의의 특성은 수학 영재아의 수학 문제해결 상황을 성공적으로 이끌기 위한 구체적인 지도방법 구안에 기여할 것으로 생각한다. 아울러 인지적, 정의적 요소들이 복합적으로 작용하는 수학 영재아의 수학 학습 상황에 대한 메타정의적 관점에서의 교수․학습 방법 구안에도 시사점을 제공할 수 있을 것이다.
- 본 연구를 통하여 파악된 수학 영재아의 문제해결 과정에 작용하는 메타정의의 특성은 수학 영재아의 수학 문제해결 상황을 성공적으로 이끌기 위한 구체적인 지도방법 구안에 기여할 것으로 생각한다. 아울러 인지적, 정의적 요소들이 복합적으로 작용하는 수학 영재아의 수학 학습 상황에 대한 메타정의적 관점에서의 교수․학습 방법 구안에도 시사점을 제공할 수 있을 것이다.
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