초록 ▼

□ 연구개요
비유계 외부영역에서의 헬름홀츠 방정식의 L^p 정칙성을 연구한다. 19세기 독일의 물리학자 헬름홀츠에 의해 고안된 이후로 헬름홀츠 방정식은 파동현상을 연구하는데 필수불가결한 수학적 도구로 사용되어 왔다. 비균질 매체에서는 변수 계수 헬름홀츠 방정식이 등장하는데, 이에 대한 연구는 변수 계수 타원형 방정식에 비해 매우 빈약하여, 유계 영역이 아닌 경우에는 거의 전무하다. 연구의 목표는 변수 계수 헬름홀츠 방정식에 대하여 칼데론-지그문트 형태의 L^p 정칙이론을 전체 공간 및 비유계

□ 연구개요
비유계 외부영역에서의 헬름홀츠 방정식의 L^p 정칙성을 연구한다. 19세기 독일의 물리학자 헬름홀츠에 의해 고안된 이후로 헬름홀츠 방정식은 파동현상을 연구하는데 필수불가결한 수학적 도구로 사용되어 왔다. 비균질 매체에서는 변수 계수 헬름홀츠 방정식이 등장하는데, 이에 대한 연구는 변수 계수 타원형 방정식에 비해 매우 빈약하여, 유계 영역이 아닌 경우에는 거의 전무하다. 연구의 목표는 변수 계수 헬름홀츠 방정식에 대하여 칼데론-지그문트 형태의 L^p 정칙이론을 전체 공간 및 비유계 외부영역에 대하여 정립하는 것을 목표로 한다. 또한 추가적으로 변수 계수를 가지는 발산형과 비발산형 타원형 방정식의 대역적 C¹, C² 정칙성을 정립하고 이를 그린 함수의 도함수 계측 등에 활용한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
최초 연구 계획서에서 연구목표로 제안한 L^p 정칙이론에 대한 연구는 계속 진행하고 있으며 가까운 장래에 의미 있는 결과가 도출될 것으로 믿는다. 특히 매우 최근에 발견된 비등방 매체에서의 헬름홀츠 방정식의 해법에 따르면 변수 계수가 충분히 매끈하고 콤팩트 영역 외부에서는 단위행렬일 때 좀머펠트 방사조건을 만족하는 유일한 해가 존재한다는 것이 수학적으로 정립되었다. 이 결과를 근본해에 적용하여 조화해석적 분석을 하면 L^p 정칙이론을 정립할 수 있을 것이다. 본 과제를 진행하면서 추가적으로 제시한 연구 목표인 타원형 방정식의 대역적 C¹, C² 정칙성 이론의 확립과 활용은 성공적으로 진행되어 총 5편의 논문으로 완성되었다. 방정식의 계수와 데이터가 디니 평균진동일 때, 발산형 타원형 방정식의 해가 대역적으로 C¹임을 디리클레 및 노이만 경계 조건 하에서 모두 증명하였다. 비발산형 타원형 방정식의 경우에도 계수와 데이터가 디니 평균진동일 때, 해가 대역적으로 C²임을 여러 가지 경계조건 하에서 정립하였다. 또한 특이 저차항을 가지는 타원형 방정식의 그린 함수의 존재성 증명과 계측을 도출하였다.

□ 연구개발결과의 중요성
헬름홀츠 방정식은 파동현상을 효과적으로 기술하는 근본적인 방정식으로 그 유용성이 오랜 기간을 거쳐 검증되었고 현재에도 널리 사용되고 있다. 다른 한편으로 칼데론-지그문트 L^p 정칙 이론은 1950년대에 개발된 이후 타원형 및 포물선형 방정식의 성질 및 해법에 대한 연구에 매우 효과적으로 활용되고 있다. 변수 계수 헬름홀츠 방정식과 L^p 정칙 이론의 결합은 매우 합리적이지만 놀랍게도 외부 영역에 대한 L^p 정칙 이론의 연구는 전무한 실정이다. 따라서 연구 과제가 성공적으로 마무리 되면 선도적 연구로서 그 파급효과는 매우 클 것으로 예상한다. 예를 들어, 최근 광학 현상으로 관찰되어 관심을 얻고 있는 비균질 매체에서의 초해상도 현상을 수학적으로 설명할 수 있게 된다. 타원형 방정식의 대역적 C¹, C² 정칙성은 이론적으로 중요하고 균질화 이론등에 적용 가능하다. 표류항을 가지는 타원형 방정식의 그린 함수 분석은 유체 방정식등에 응용 가능하다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 가. 타원형 선형 편미분방정식 해의 대역적 C¹, C², weak type (1,1) estimate ... 6
• 나. 표류항을 가지는 포물선형 편미분방정식 근본해의 가우스 유계 측정 ... 7
• 다. 비발산 타원형 선형 편미분방정식의 그린 함수에 대한 연구 ... 7
• 라. 특이 저차항을 가지는 발산형 타원형 방정식의 그린 함수에 대한 연구 ... 8
• 마. Co-normal 또는 oblique derivative 경계 조건을 가지는 타원형 방정식의 C² 계측에 대한 연구 ... 8
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 9
• 4. 참고문헌 ... 10
• 5. 연구성과 ... 11
• 끝페이지 ... 11