초록 ▼

연구개요
토릭 다양체 및 실토릭다양체의 위상적 분류 문제를 다룬다. 특히 이들의 위상적 불변값을 계산하고 이를 이용하여 토릭다양체의 위상적 견고성 문제에 의미있는 결과를 도출한다.
(1) 토릭 다양체의 궤도 공간 중 코호몰로지 견고성을 가지면서 대수적 견고하지는 않는 예를 찾았다.
(2) 다각형에서 시작하여 웨지로 얻어지는 단순다면체 위의 실토릭다양체를 모두 분류하였다.
(3) 바일군과 관련된 실토릭다양체의 베티수를 계산하고 바일군 작용의 표현에 대해 연구하였다.

연구 목표대비 연구결과
코호몰

연구개요
토릭 다양체 및 실토릭다양체의 위상적 분류 문제를 다룬다. 특히 이들의 위상적 불변값을 계산하고 이를 이용하여 토릭다양체의 위상적 견고성 문제에 의미있는 결과를 도출한다.
(1) 토릭 다양체의 궤도 공간 중 코호몰로지 견고성을 가지면서 대수적 견고하지는 않는 예를 찾았다.
(2) 다각형에서 시작하여 웨지로 얻어지는 단순다면체 위의 실토릭다양체를 모두 분류하였다.
(3) 바일군과 관련된 실토릭다양체의 베티수를 계산하고 바일군 작용의 표현에 대해 연구하였다.

연구 목표대비 연구결과
코호몰로지견고성 문제에서 기대이상의 좋은 성과를 많이 얻었다. 특히 궤도공간의 코호몰로지 견고성 문제에서 중요한 문제를 완전히 해결했다. 또한 실토릭다양체의 분류 및 위상적 불변값 계산은 매우 흥미로운 결과이다. 본 연구의 주요 결과는 다음과 같다.
(1) 단순다면체의 A-, B-, C-견고성은 모두 다른 개념이다.
(2) 다각형의 웨지 위의 모든 실토릭공간을 분류하였다.
(3) 바일군에 의해 결정되는 실토릭다양체의 베티수를 완전히 계산하였다.
(4) 바일군에 의해 결정되는 실토릭다양체의 표현을 계산하였다.
이러한 결과로 연구 책임자가 주저자로 들어간 5편의 논문을 출판하고 연구원으로 참여한 박서정 박사도 논문 1편을 작성하는 등 모두 6편의 논문 실적을 냄으로써 당초 목표보다 높은 결과를 냈다. 또한 이러한 논문을 PEMS, JMSJ 등 국제적으로 인정받는 저널에 출판함으로서 질적으로도 우수하다고 할 수 있다.

연구개발결과의 중요성
현대수학은 세분화, 전문화된 여러 연구 분야 간의 소통, 협력 및 융합을 통하여 수학적 대상을 좀 더 넓게 이해하고자 노력하는 움직임을 보이고 있다. 이러한 노력없이는 수학이 궁극적으로 추구하는 가치에 다가갈 수 없음은 매우 자명하기 때문이다. 본 연구에서는 수학의 여러 연구 분야를 아우르는 토릭위상수학(Toric topology)의 문제들을 다룬다. 토릭 위상수학은 토러스작용이 있는 위상공간이나 대수다양체(variety)를 팬(fan)이나 다포체(polytope)등의 조합적인 대상과 대응시켜 연구하는 학문이다. 어떤 수학적 대상의 아름다움이란, 그 대상이 가지고 있는 대칭성을 의미하는 경우가 많다. 토러스 작용이나 콕섹터군 등의 작용이 있는 위상공간 역시, 그 대칭성으로 인하여, 특별한 성질과 아름다운 조합적 모델을 가지게 된다는 점에서 흥미롭다. 본 연구의 결과는 위상수학의 중요한 문제를 해결하는데 중요한 중간 과정 문제를 해결했다는 점과 함께 전통적인 위상수학이 조합론, 표현론 등 다양한 분야가 융합할 수 있는 새로운 가능성을 제시한다는 점에서 중요한 결과라 할 수 있다.

(출처 : 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 5
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 8
• (1) 단순다면체의 궤도공간으로서의 코호몰로지 견고성 문제 ... 8
• (2) 특정 단순다면체 위의 특성맵을 찾는 문제 ... 9
• (3) 바일군  에 만들어지는 실토릭다양체의 위상과 이들의  작용에 대한 표현에 관한 문제 ... 10
• (4) 토릭다양체의 기하적 구조 ... 11
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 12
• 4. 참고문헌 ... 14
• 5. 연구성과 ... 15
• 끝페이지 ... 16