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문제 정의
- 따라서 본 연구는 교사의 주도하에 진행되는 전통적인 증명 지도 방안의 대안으로 Freudenthal이 제시한 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안을 개발⋅적용하여 그 대안적인 지도 방안의 효과를 알아보고자 한다.
- 본 연구에서는 Freudenthal이 제시한 안내된 재발명 원리를 토대로 학습자의 ‘증명하기’ 과정을 강조한 증명 지도 방안의 효과에 대해서 탐구하였다.
- 본 연구에서는 학생들의 증명 능력 및 태도를 개선시키고자 Freudenthal이 제시한 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안을 개발⋅적용한 후 증명 능력 검사 및 증명 학습 태도 검사의 분석을 통해서 그 효과를 알아보고자 하였다.
-
가. 사전 증명 능력 검사
사전 증명 능력 검사는 실험처치 이전에 실험반과 비교반 학생들의 학습 능력에 대한 동질성 여부를 알아보기 위해서 실시되었다. 학생들이 증명을 학습하기 이전이기 때문에 사전 증명 능력 검사는 증명에 관한 두 집단의 선행 지식을 알아보는 수준에서 진행되었다.
-
나. 사후 증명 능력 검사
사후 증명 능력 검사는 실험처치 후 두 집단에 있는 학생들의 증명 능력에서 유의미한 차이가 있는지를 알아보기 위해서 실시되었다. 검사 도구는 서동엽(1999)이 개발한 증명 수행의 기본요소를 측정하는 ‘증명의 의미와 관련된 요소에 대한 조사문항’을 사용하였다.
가설 설정
- 1. 안내된 재발명 방법을 적용한 지도 방안으로 학습한 실험반과 전통적인 방법으로 학습한 비교반 학생들 간에 증명 능력에 있어서 유의미한 차이가 있는가?
- 3. 안내된 재발명 방법을 적용한 지도방안으로 학습한 실험반과 전통적인 방법으로 학습한 비교반 간에 증명 학습 태도에 있어서 유의미한 차이가 있는가?
제안 방법
- 두 집단의 학생들이 증명 과정에서 어떤 차이를 보이는지를 분석하기 위해서 증명 과정에서 학생들이 범하게 되는 오류에 대해서 살펴보았고, 분석 과정은 사후 증명 능력 검사 문항 중 완전한 증명 과정을 요구하는 12-(1), 13-(3), 14번 문항에 대한 학생들의 답안을 토대로 실시되었다.
- 본 연구에서는 사전, 사후 증명 능력 검사, 사후 증명 태도 검사가 실시되었다.
- 사전 증명 능력 검사는 연구 대상으로 선정된 2개 학급을 대상으로 연구의 첫 날에 45분 동안 실시하였으며, 검사 목적, 검사 내용 등을 상세히 설명하여 두 집단의 검사 환경을 동일하게 만들었다.
- 사후 증명 능력 검사는 실험처치 후 수업 시간에 45분 동안 실시되었다.
- 사후 증명 태도 검사는 사후 증명 능력 검사를 실시한 다음날 20분 동안 수업 시간에 시행되었다.
- 사후 증명 태도 검사는 김응태 등 (1985), 이용민(2000)의 신념과 태도 조사 설문지를 박인희(2005)가 재구성한 ‘증명 신념과 태도 조사 설문지’를 활용하여 실시하였다. 설문지에 사용된 문항은 5단계 Likert-type문항이었다(4점: 매우 그렇다, 3점: 대체로 그렇다, 2점: 보통이다, 1점: 대체로 아니다, 0점: 매우 아니다).
- 실험반은 MIC 교과서 (‘삼각형을 넘어서’ 한국어 번역판)및 다양한 학습 자료를 토대로 연구자가 개발한 10차시 분량의 학습 활동지를 중심으로 학습하였다.
- 실험처치는 1주일에 4시간씩 4주 동안 본 수업 시간에 이루어져졌다. 실험반은 MIC 교과서 (‘삼각형을 넘어서’ 한국어 번역판)및 다양한 학습 자료를 토대로 연구자가 개발한 10차시 분량의 학습 활동지를 중심으로 학습하였다.
- 첫째, 본 연구자는 교육과정에서 제시하고 있는 삼각형의 성질 단원에 대한 기준 차시(10차시)를 참고로 안내된 재발명 원리를 적용한 10차시 분량의 활동지를 개발하여 사용했으나, 실질적으로는 15차시로 진행되었다. 학생들이 문제 상황을 받아들이고 그에 대하여 생각하고 명제를 찾아내는데 많은 시간이 필요함을 알 수 있었다.
대상 데이터
- 선정된 중학교 2학년 학생들의 전반적인 수학 학업성취도는 강원도에서 중⋅하 수준에 해당되고, 학생들의 학습 태도와 분위기는 대체로 양호하였다. 2학년 총 3개 학급 중에서 전 단계의(수학 8-가 단계의) 수학 학업 성취도가 비슷한 2개 학급이 실험반 (31명)과 비교반 (31명)으로 선정되었다.
- 본 연구는 연구자가 근무하고 있는 강원도 고성군에 소재하고 있는 D중학교의 2학년 학생들을 대상으로 실시되었다. 선정된 중학교 2학년 학생들의 전반적인 수학 학업성취도는 강원도에서 중⋅하 수준에 해당되고, 학생들의 학습 태도와 분위기는 대체로 양호하였다.
- 증명의 시작으로 학생은 삼각형을 그리고, 평행선을 그리고, 그 다음에 평각이 180도임을 이용하려 한다. 기호를 표시한다(엇각을 표시하는데 ○, ☆로).
데이터처리
- 실험반과 비교반의 사전, 사후 증명 능력 검사와 사후 증명태도 검사 결과의 분석은 SPSS 통계 프로그램을 사용하여 각각 평균 차를 유의수준 0.05에서 t-검증하였다.
- 8점 높았다. 실험반과 비교반의 평균의 차이가 통계적으로 유의미한지를 판단하기 위해서 독립표본 t-검정을 실시하였다. 그 결과 <표 3 참조>, 유의 수준 0.
이론/모형
- 검사 도구는 서동엽(1999)이 개발한 증명 수행의 기본요소를 측정하는 ‘증명의 의미와 관련된 요소에 대한 조사문항’을 사용하였다.
- 또, 같은 문제를 증명하는 과정에서 여러 개의 오류가 발생한 경우에는 제일 먼저 발생한 오류만을 분석의 대상으로 삼았고, 선행 오류에 기인하는 다음 단계의 오류는 고려하지 않았다. 구체적인 오류 분석 과정은 류성림 (1993)의 오류 분석 모델을 토대로 진행되었다. 학생들이 범하는 오류는 다음과 같은 9종류로 분류되었다.
- 본 연구의 연구 문제를 해결하기 위해서 실험 설계는 준 실험 설계 (Quasi-Experimental Design)의 이질 통제 집단 설계(Nonequivalent control group design)(Campbell & Stanley, 1963)가 적용되었고, 구체적인 설계모형은 과 같다.
- 사후 증명 태도 검사는 김응태 등 (1985), 이용민(2000)의 신념과 태도 조사 설문지를 박인희(2005)가 재구성한 ‘증명 신념과 태도 조사 설문지’를 활용하여 실시하였다.
- 서동엽(1999)이 개발한 ‘추론의 구성과 관련된 요소에 대한 조사문항’을 사전 증명 능력 검사도구로 활용하였다.
성능/효과
- 각 문항에서(12-(1), 13-(3), 14) 4점을 받은 학생의 비율을 살펴보면, 실험반이 비교반보다 더 높았고, 각 문항에서 무응답을 한 학생의 비율을 보면 비교반이 실험반보다 더 높음을 알 수 있었다. 실험반의 경우 교사가 증명 과정을 제시하기 이전에 학생 스스로 증명 과정을 써보고, 자신의 증명 과정을 스스로 수정 보완하는 과정을 거쳐 증명의 완성도를 높여가는 경험이 학생들의 증명 능력의 발달 및 주어진 증명 과제를 포기하지 않고 스스로 해보려는 태도에 긍정적인 역할을 한 것으로 보인다.
- 각각의 문항에 대한 학생들의 반응을 분석한 결과, 두 집단의 학생들이 증명 학습을 바라보는 태도 또는 증명 학습에 대한 견해에 있어서 비슷한 부분도 있었지만 상이한 면도 많이 발견되었다. 증명 지도 방식이 학생들의 증명 학습에 대한 신념 또는 태도에 큰 영향을 미칠 수 있음을 알 수 있었다.
- 그 결과 , 유의 수준 0.05를 기준으로 유의확률 p=0.039로서 p<0.05이므로 통계적으로 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다.
- 두 집단에서 오류의 빈도가 가장 높은 유형은 오류 유형 A로 학생들이 가정을 잘 이해하지 못해서 발생하는 오류였다. 예를 들면, 12-(1) 문항에서 가정하지 않은 #를 가정으로 이용하는 경우<그림1>, 14번에서는 결론 #을 가정으로 이용한 경우<그림2>가 발견되었다.
- 두 집단의 학생들이 증명 과정에서 범하게 되는 오류의 유형 및 발생 빈도를 살펴보면, 가정을 잘 이용하지 못하는 오류(유형 A)가 실험반에서는 29%, 비교반에서는 32%의 비율로 두 집단 모두에서 가장 높게 나타났고, 그 다음으로 실험반에서는 논리적 추론의 결여(유형 H)가 19%로, 비교반에서는 도형에 집착하여 생기는 오류(유형 B)가 24%의 비율로 높게 나타났다.
- 둘째, 완전한 증명 과정을 요구하는 세 문항(12-(1), 13-(3), 14)에 대한 학생들의 증명 과정을 면밀히 분석한 결과, 각 문항에서 완벽한 증명(4점)을 제시한 학생의 비율은 실험반이 비교반 보다 높게 나타났고, 반면 각 문항에 무응답을 한 학생의 비율을 살펴보면, 실험반이 비교반보다 더 낮게 나타났다. 이는 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안이, 즉, 교사가 증명 과정을 직접적으로 제시하기 이전에 학생 스스로 증명 과정을 써보고, 자신의 증명 과정을 스스로 수정⋅보완하는 과정을 거쳐 증명의 완성도를 높여가는 경험이 학생들의 증명 능력의 발달 및 주어진 증명 과제를 포기하지 않고 스스로 해보려는 태도에 더 긍정적인 역할을 한 것으로 보인다.
- 셋째, 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안이 학생들의 증명 학습에 대한 태도를 더 긍정적으로 만드는데 효과가 있음을 알 수 있었다. 사후 증명 학습 태도 검사 결과에 의하면, 실험반의 평균이 비교반의 평균보다 높았고, 두 집단 간의 평균 차는 통계적으로 유의미하게 나타났다. 실험반의 경우 증명 학습 태도 검사의 5개 하위 영역 중 증명의 난이도에 관한 1개 영역을 제외한 4개 영역에서 주로 척도 점수의 평균이 2점대(보통)로 나타났고, 비교반의 경우 증명의 중요도에 관한 1개 영역을 제외한 4개 영역에서 척도 점수의 평균이 1점대(대체로 아니다)로 나타났다.
- 셋째, 본 연구를 실시하면서 수업을 진행한 교사는 Freudenthal의 교수 방법에 대한 교사 연수를 2회 받았고 Freudenthal의 교수 방법을 적용하여 연립방정식의 내용을 지도한 경험이 있었다. 그러나 학생들의 경우에는 수업 방법이 기존의 학습 방법과 달라서 새로운 수업 방식에 적응하는데 어려움을 토로하는 학생들이 발견되었다.
- 셋째, 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안이 학생들의 증명 학습에 대한 태도를 더 긍정적으로 만드는데 효과가 있음을 알 수 있었다. 사후 증명 학습 태도 검사 결과에 의하면, 실험반의 평균이 비교반의 평균보다 높았고, 두 집단 간의 평균 차는 통계적으로 유의미하게 나타났다.
- 사후 증명 학습 태도 검사 결과에 의하면, 실험반의 평균이 비교반의 평균보다 높았고, 두 집단 간의 평균 차는 통계적으로 유의미하게 나타났다. 실험반의 경우 증명 학습 태도 검사의 5개 하위 영역 중 증명의 난이도에 관한 1개 영역을 제외한 4개 영역에서 주로 척도 점수의 평균이 2점대(보통)로 나타났고, 비교반의 경우 증명의 중요도에 관한 1개 영역을 제외한 4개 영역에서 척도 점수의 평균이 1점대(대체로 아니다)로 나타났다. 증명의 난이도 영역의 척도 점수의 평균이 두 집단 모두 1점대로 많은 학생들이 증명에 대해서 어렵게 생각하고 있음을 알 수 있었다.
- 증명의 학습동기 영역의 문항 중 증명을 계속 공부하고 싶은 이유가 무엇인지를 묻는 문항에서는 두 집단에 있는 학생들의 응답에 큰 차이가 있었다. 실험반의 경우 합리적이고 논리적인 사고를 할 수 있어서라는 응답의 비율이 46%로 가장 높았고, 비교반의 경우에는 시험에서 좋은 성적을 얻기 위함이라는 응답의 비율이 67%로 가장 높았다. 증명을 공부하고 싶지 않은 이유가 무엇인지를 묻는 문항에서는 실험반의 경우 증명 학습이 어렵고 머리가 아프다는 응답(46%)이 가장 높게 나타났고, 재미가 없다는 응답(23%)이 그 뒤를 따랐다.
- 실험반의 평균(10.4)이 비교반의 평균(7.3)보다 높게 나타났고, t-검정 결과, 유의수준 0.05를 기준으로 유의확률 p=0.010로서 p<0.05이므로두 집단 간의 평균 차는 통계적으로 유의미하다는 것을 확인할 수 있었다.
- 실험처치 전에 실험반과 비교반의 학습 능력을 비교하기 위하여 사전 증명 능력 검사를 t-검정으로 분석한 결과 , 유의수준 0.05를 기준으로 유의확률 p=0.988 로서 p>0.05이므로 사전 증명 능력에 관해서 두 집단 간에는 유의미한 차이가 없었다.
- 실험처치 후 사후 증명 능력 검사에서 실험반의 평균은 40점 만점에 22.5 점, 비교반의 평균은 17.7점으로 실험반의 평균이 비교반의 평균보다 4.8점 높았다. 실험반과 비교반의 평균의 차이가 통계적으로 유의미한지를 판단하기 위해서 독립표본 t-검정을 실시하였다.
- 이 결과는 안내된 재발명 방법을 적용한 증명 지도 방안이 전통적인 증명 지도 방안보다 학생들의 증명 학습 태도에 더 긍정적인 효과가 있음을 보여주고 있다.
- 05이므로두 집단 간의 평균 차는 통계적으로 유의미하다는 것을 확인할 수 있었다. 즉, 실험반 학생들의 증명 학습에 대한 태도가 비교반 학생들의 태도보다 더 긍적적임을 알 수 있었다.
- 05이므로 사전 증명 능력에 관해서 두 집단 간에는 유의미한 차이가 없었다. 즉, 실험반과 비교반은 사전 증명 능력에 있어서 동질집단임을 확인할 수 있었다.
- 각각의 문항에 대한 학생들의 반응을 분석한 결과, 두 집단의 학생들이 증명 학습을 바라보는 태도 또는 증명 학습에 대한 견해에 있어서 비슷한 부분도 있었지만 상이한 면도 많이 발견되었다. 증명 지도 방식이 학생들의 증명 학습에 대한 신념 또는 태도에 큰 영향을 미칠 수 있음을 알 수 있었다.
- 증명의 난이도 영역의 문항 중 증명이 어렵다고 느낀 이유가 무엇인지 묻는 문항에서는 실험반의 경우 열심히 공부하지 않았기 때문이라는 응답과 그림을 그려서 설명하면 쉽지만 글로 쓰는 것이 어렵기 때문이라는 응답의 비율(각 33%)이 가장 높게 나타났고, 비교반에서는 그림을 그려서 설명하면 쉽지만 글로 쓰는 것이 어렵기 때문이라는 응답(27%)이 가장 높게 나왔고, 외워야 할 용어나 규칙이 많아서라는 응답(23%)의 비율이 그 뒤를 따랐다.
- 증명의 선호도 영역의 문항 중 증명이 재미있는 이유에 대해서 묻는 문항에는 실험반(57%)과 비교반(33%) 모두에서 증명자체가 새롭고 신기하기 때문이라는 응답이 가장 높은 비율을 차지하였다. 반면, 증명이 재미없는 이유로는 두 집단 모두 과정이 복잡하기 때문이라는 응답이 가장 많았다(실험반: 62%, 비교반 71%).
- 증명의 이해도 영역 중 증명을 잘 이해하지 못한 이유가 무엇인지를 묻는 문항에 실험반에서는 증명 수업에 열심히 참여하지 않았기 때문이라는 응답이 56%로 가장 높은 비율을 차지하였고, 반면 비교반에서는 내용 자체가 너무 어렵다는 응답이 41%로 가장 높게 나타났고, 증명 수업에 열심히 참여하지 않았기 때문이라는 응답은 35%로 그 뒤를 따랐다.
- 첫째, 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안이 전통적인 증명 지도 방안보다 학생들의 증명 학습에 더 효과적이었다. 사전 증명 능력 검사에서 동질집단이었던 두 집단이 사후 증명 능력 검사에서는 통계적으로 유의미한 차이가 발견되었다.
- 이는 안내된 재발명 원리를 적용한 증명 지도 방안이, 즉, 교사가 증명 과정을 직접적으로 제시하기 이전에 학생 스스로 증명 과정을 써보고, 자신의 증명 과정을 스스로 수정⋅보완하는 과정을 거쳐 증명의 완성도를 높여가는 경험이 학생들의 증명 능력의 발달 및 주어진 증명 과제를 포기하지 않고 스스로 해보려는 태도에 더 긍정적인 역할을 한 것으로 보인다. 특히 14번 문항의 경우, 실험반의 무응답 비율은 다른 문항과 비교했을 때, 큰 차이가 없었으나, 비교반에서 이 문항에 대한 무응답의 비율이 다른 문항에서보다 현저히 높게 나타났다. 그 이유로 14번 문항이 증명 과정에 핵심적인 힌트를 제공할 수 있는 그림을 포함하고 있지 않다는 것으로 분석되었다.
- 그러나 비교반의 경우 교사가 증명 과정을 제시하기 전에 학생들 스스로 증명을 써 보는 경험이 상대적으로 부족하여 증명을 시도조차 못 하는 학생들이 많았던 것 같다. 특히, 14번 문항의 경우, 비교반 학생들의 무응답 비율이 다른 문항에서 보다 현저하게 높게 나타났는데, 그 이유로 14번 문항이 증명 과정에 핵심적인 힌트를 제공할 수 있는 그림을 포함하고 있지 않다는 것으로 분석되었다. 비교반 학생들은 수업 시간에 가정과 결론이 주어지지 않은 상태에서 직접 증명을 써 보는 활동이 거의 없었고, 교과서에서 제시되는 문제에는 보조선이 그려진 그림이 항상 있었기 때문에 이 문항에 더 많은 어려움을 느낀 것 같다.
- 특히, 비교반의 경우 결론을 이용한 오류가 실험반보다 상대적으로 높게 나타났다. 도형에 집착하여 생기는 오류(유형 B)는 실험반과 비교반 모두에서 12-(1)문항에서 가장 많이 나타났다.
후속연구
- 모든 영역에서 실험반 학생들이 비교반 학생들보다 더 긍정적인 반응을 보여주었다. 그러나 두 집단의 각 영역별 평균 점수가 낮은 것으로 보아 증명 지도의 대안적인 방법에 대한 후속 연구가 필요함 알 수 있다. 특히, 증명의 난이도 영역에서 두 집단 모두 척도 점수의 평균이 2점 이하로 나타났는데, 이는 학생들이 전반적으로 증명에 대해서 어렵게 느끼는 것으로 해석되어, 증명 지도 시 학생의 논리적 사고 수준 등을 고려하여 그에 적절한 증명 지도가 이루어져야 함을 시사한다.
- 넷째, 학생들 스스로 증명할 명제에 대해서 오랫동안 숙고해 봄으로써 증명 과정을 실제로 경험하도록 지도할 필요가 있다.
- 둘째, 학생에게 가정만을 제시하여 가정으로부터 성립될 수 있는 여러 가지 결론을 스스로 추측하게 하는 재발견의 맥락과 학생 스스로 자신의 추측이 옳은지 틀린지를 조사하는 정당화의 맥락을 통합하여 증명을 지도할 필요가 있다.
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