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문제 정의
- 문제 만들기에 관한 연구는 문제 만들기와 문제해결력, 수학적 능력과 관련된 효과를 입증하는 연구가 대부분이고 학생들 다수를 대상으로 그 실태를 파악하는 연구가 부족한 실정이다. 따라서 본 연구는 5학년 학생들의 문제 만들기 반응 분석을 통해 그 실태를 조사, 분석하여 문제 해결력 신장을 위한 문제 만들기 학습지도에 시사점을 얻고자 한다.
- 본 연구는 초등학교 5학년 학생들의 문제 만들기 반응을 분석하는 것을 목적으로 하며, 연구의 절차는 다음과 같다.
- 학생들이 만든 문제의 복잡성을 알아보기 위해, 언어적 복잡성과 수학적 복잡성의 측면에서 알아보았다. 문제의 언어적 복잡성을 살펴보기 위해, 학생들이 만든 문제의 진술 구조에 따라 과제 제시형, 비교 제시형, 조건 제시형으로 분류하였으며 그 결과는 다음 <표 Ⅲ-2>와 같다.
제안 방법
- 둘째, 문헌검토를 바탕으로 예비 검사 도구를 작성하였으며, 예비검사결과를 바탕으로 수정, 보완하여 본 검사 도구를 개발하였다.
- 둘째, 학생들의 반응을 문제의 복잡성 측면에서 살펴보았다. 문제의 복잡성은 다양한 측면에서 분석될 수 있는데 Silver & Cai(2005)의 연구를 참고하여 언어적 복잡성과 수학적 복잡성의 측면에서 살펴보았으며, 언어적 복잡성을 알아보기 위해서 Mayer(1947)와 Silver & Cai(1996)의 연구를 참고하여 학생들과 교사들이 만든 문제의 진술 구조를 과제 제시형(assignment proposition), 비교 제시형(relational proposition), 조건 제시형(conditional proposition)으로 분류하였고 수학적 복잡성을 알아보기 위하여 Marshall(1995)의 분류를 바탕으로 학생들이 만든 문제의 의미 관계수를 살펴보았다.
- 문제만들기와 관련된 선행연구, 2007 개정교육 과정과 제 7차 교육과정을 분석하여 문제 만들기 유형을 분류하였다. 문헌연구(교육과학기술부, 2008b; 교육과학기술부, 2010b; 교육과학기술부, 2010c; Barlow & Cates, 2006; Silver & Cai, 2005)를 바탕으로 각 유형에 맞는 문항을 선정하여 연구자가 검사 도구를 작성하고 문제 만들기 유형별로 각 1문항씩 총 6문항을 개발하여 학생들이 다양한 문제를 만들 수 있는지 알아보기 위해 각 문항 당 2개 이상의 문제를 만들도록 구성하였다.
- 문제의 복잡성은 다양한 측면에서 분석될 수 있는데 Silver & Cai(2005)의 연구를 참고하여 언어적 복잡성과 수학적 복잡성의 측면에서 살펴보았으며, 언어적 복잡성을 알아보기 위해서 Mayer(1947)와 Silver & Cai(1996)의 연구를 참고하여 학생들과 교사들이 만든 문제의 진술 구조를 과제 제시형(assignment proposition), 비교 제시형(relational proposition), 조건 제시형(conditional proposition)으로 분류하였고 수학적 복잡성을 알아보기 위하여 Marshall(1995)의 분류를 바탕으로 학생들이 만든 문제의 의미 관계수를 살펴보았다.
- 문제의 언어적 복잡성을 살펴보기 위해, 학생들이 만든 문제의 진술 구조에 따라 과제 제시형, 비교 제시형, 조건 제시형으로 분류하였으며 그 결과는 다음 와 같다.
- 문헌연구(교육과학기술부, 2008b; 교육과학기술부, 2010b; 교육과학기술부, 2010c; Barlow & Cates, 2006; Silver & Cai, 2005)를 바탕으로 각 유형에 맞는 문항을 선정하여 연구자가 검사 도구를 작성하고 문제 만들기 유형별로 각 1문항씩 총 6문항을 개발하여 학생들이 다양한 문제를 만들 수 있는지 알아보기 위해 각 문항 당 2개 이상의 문제를 만들도록 구성하였다.
- 문헌연구(교육과학기술부, 2008b; 교육과학기술부, 2010b; 교육과학기술부, 2010c; Barlow & Cates, 2006; Silver & Cai, 2005)를 바탕으로 각 유형에 맞는 문항을 선정하여 연구자가 검사 도구를 작성하고 문제 만들기 유형별로 각 1문항씩 총 6문항을 개발하여 학생들이 다양한 문제를 만들 수 있는지 알아보기 위해 각 문항 당 2개 이상의 문제를 만들도록 구성하였다. 본 연구에서 사용한 검사도구의 타당도를 높이기 위하여 전문가 1인과 동료교사들의 검토를 받았으며 예비검사를 실시하여 검사 도구를 수정, 보완하였다.
- 본 연구에서는 선행 연구와 교육과정 분석 내용을 종합하여, 문제 만들기의 유형을 그림이나 그래프를 보고 문제 만들기, 식에 알맞은 문제 만들기, 수학 기호를 이용하여 문제 만들기, 자료를 이용하여 문제 만들기, 문제의 조건(숫자, 상황)을 바꿔 새로운 문제 만들기, 문제를 재구성하여 새로운 문제 만들기로 분류하기로 한다.
- 셋째, 수거된 본 검사지의 내용을 바탕으로 학생들의 문제 만들기 반응을 분석하였고, 문제 만들기 학습지도에 시사점을 도출하였다.
- 셋째, 학생들이 만든 문제의 일반적인 반응 유형과 오류 유형, 그에 따른 빈도를 분석하였다.
- 첫째, 학생들의 반응을 문제의 완성도 측면에서 살펴보았다. 임문규(2001)의 연구를 바탕으로 (A)완전한 문제, (B)문법적인 오류가 조금 있지만 의미가 이해되는 문제, (C)의미가 이해되지 않거나 틀린 문제, (D)아예 만들지 않았거나 미완성인 문제로 분류하였다.
- 4%의 의미 있는 문제를 만들었으며 주어진 문제를 재구성하여 새로운 문제를 만드는 유형에서 60%의 의미 있는 문제를 구성하였다. 주어진 문제의 조건을 바꿔 새로운 문제 만들기 유형과 자료를 이용하여 문제 만들기 유형에서 각각 52.5%와 50.8%의 의미 있는 문제를 만들었다. 하지만 식에 알맞은 문제 만들기 유형과 수학기호를 이용하여 문제 만들기 유형에서 각각 39.
- 첫째, 문헌 검토를 통해 문제 만들기의 의미와 유형을 제 7차 교육과정과 2007 개정교육과정을 통해 분석하였다.
- 첫째, 학생들의 반응을 문제의 완성도 측면에서 살펴보았다. 임문규(2001)의 연구를 바탕으로 (A)완전한 문제, (B)문법적인 오류가 조금 있지만 의미가 이해되는 문제, (C)의미가 이해되지 않거나 틀린 문제, (D)아예 만들지 않았거나 미완성인 문제로 분류하였다.
- 초등학교 5학년 학생들의 문제 만들기 실태를 알아보기 위해 검사 도구를 통해 학생들의 반응을 알아보았다. 각 문항에 대한 학생들의 반응을 다음의 세 가지 측면에서 분석하였다.
대상 데이터
- 부산시에 소재한 300개 초등학교를 5개의 교육구청별로 나눈 다음, 각 교육구청별로 단순무작위표집으로 5개 학교를 표집하였다. 그리고 표집이 된 학교에서 5학년 1개 학급을 추출하여 표본으로 선정하였다. 회수된 설문지를 기준으로 학생 294명을 연구대상으로 하였고 검사에 응답하지 않은 학생 13명은 분석대상에 제외하였다.
- 부산시에 소재한 300개 초등학교를 5개의 교육구청별로 나눈 다음, 각 교육구청별로 단순무작위표집으로 5개 학교를 표집하였다. 그리고 표집이 된 학교에서 5학년 1개 학급을 추출하여 표본으로 선정하였다.
- 그리고 표집이 된 학교에서 5학년 1개 학급을 추출하여 표본으로 선정하였다. 회수된 설문지를 기준으로 학생 294명을 연구대상으로 하였고 검사에 응답하지 않은 학생 13명은 분석대상에 제외하였다.
성능/효과
- 위의 <표 Ⅲ-2>를 보면 대부분의 유형에서 과제 제시형 문제가 가장 많이 나타났으며 다음으로 조건 제시형, 비교 제시형 문제의 순으로 나타났다. 그리고 그래프를 보고 문제 만들기, 문제의 조건을 바꿔 새로운 문제 만들기, 문제를 재구성하여 새로운 문제 만들기 유형에서 학생들이 만든 문제의 90%이상이 과제 제시형 문제였으며, 식에 알맞은 문제 만들기, 수학기호를 이용하여 문제 만들기, 자료를 이용하여 문제 만들기 유형에서 조건 제시형 문제가 차지하는 비율이 20%이상이었다. 대부분의 유형에서 비교 제시형 문제가 차지하는 비율이 가장 낮았으며, 1%에 미치지 못 하는 경우가 4개 유형이나 되었다.
- 다섯째, 2007 개정교육과정 5학년 규칙성과 문제해결영역에, 주어진 문제에서 필요한 정보나 부족한 정보를 찾는 내용이 추가된 것은 본 연구의 결과에 비춰볼 때 학생들과 교사들이 간과할 수 있는 부분을 보완해 줄 수 있는 효과적인 개정 방향이라고 볼 수 있다. 관련 내용을 학습한 후 충분히 이해하는지에 대한 확인으로 문제 만들기를 활용할 수 있을 것이다.
- 둘째, 학생들이 만든 문제의 언어적 복잡성을 분석하기 위하여 문제의 진술형태를 살펴본 결과, 학생들은 대부분의 유형에서 전체의 70%가넘는 문제를 과제 제시형문제로 만들었으며 그 중 3개 유형에서는 과제 제시형 문제가 차지하는 비율이 90%를 넘었다.
- 수학기호를 이용하여 문제 만들기 유형의 경우 주어진 연산기호가 3개였기 때문에 학생들이 만든 문제에서도 3개의 의미관계를 갖는 문제가 가장 많은 것으로 분석할 수 있다. 문제의 조건을 바꾸거나 재구성하여 새로운 문제를 만드는 유형에서도 주어진 문제가 갖는 의미 관계수가 각각 2개, 1개로, 학생들이 만든 문제에서 가장 많이 나타난 의미 관계수와 같은 결과임을 알 수 있었다. 또한, 다른 유형에 비해 자료를 이용하여 문제 만들기 유형에서 학생들이 만든 문제의 수학적 복잡성이 매우 다양하게 나타남을 알 수 있는데, 이는 제시된 문제나 연산에 대한 제한이 거의 없어 학생들이 다양하게 문제를 만들 수 있었기 때문으로 분석할 수 있다.
- 셋째, 문제의 조건을 바꾸거나 재구성하여 새로운 문제를 만들 때, 좀 더 복잡하게 만드는 경우가 많았다. 본 연구에서의 수학적 복잡성은 학생들이 만든 문제 중 의미 있게 만든 문제를 대상으로 분석한 것으로 선행연구와 비슷한 맥락의 결과로 볼 수 있다.
- 여섯째, 학생들은 각 문제 만들기 유형별로 자신이 만들 수 있는 문제를 2개 이상 만들었고 그 반응을 대상으로 문제의 완성도와 복잡성, 학생들이 만든 일반적인 문제의 유형, 문제에서 나타난 오류 유형을 분석해 본 결과 학생들의 수학적 개념 이해 정도 및 오류 유형을 알 수 있었다. 문제 만들기는 충분한 수학적 개념이 뒷받침 되어야 하며, 그렇지 않으면 미완성 문제나 틀린 문제를 만들면 된다.
- 주어진 혼합계산식 ‘30÷(2+3)=6’에 알맞은 문장제를 만드는 유형에서 학생들이 만든 문제의 98%가 결과 미지수형태의 문제였으며, 초기 값 미지수형태의 문제가 2%, 변화 미지수형태의 문제는 한 문제도 없었다.
- 학생들이 만든 문제 중 75%정도의 문제가 숫자를 바꿔 만든 문제였으며, 60%정도는 상황을 바꿔 만든 문제였다. 즉, 학생들은 상황을 바꾸는 것보다는 숫자를 바꿔 새로운 문제 만들기를 더 선호한다는 것을 알 수 있었다.
- 첫째, 학생들이 만든 문제의 완성도를 분석해본 결과, 식에 알맞은 문제 만들기와 수학기호를 이용한 문제 만들기를 같은 유형으로 보았을 때, 각 문제 만들기 유형별로 의미 있는 문제가 차지하는 비중이 최대 40%까지 차이가 났다. 즉, 학생들은 문제 만들기 유형에 따라 느끼는 곤란도가 달랐다.
- 학생들은 곱셈이 덧셈이나 뺄셈의 앞에 위치한 경우 58%의 정답률을 보였으나 곱셈이 덧셈이나 뺄셈 중간, 혹은 덧셈이나 뺄셈 뒤에 위치한 경우 5%의 정답률을 보였다. 이는 혼합계산을 할 때, 곱셈을 먼저 계산한 후 덧셈이나 뺄셈을 해야 함에도 불구하고 연산이 제시되어 있는 순서에 따라 계산을 하기 때문에, 학생들이 혼합계산의 계산순서에 대해 충분히 이해하고 있지 못한 결과로 분석할 수 있다.
후속연구
- 다섯째, 2007 개정교육과정 5학년 규칙성과 문제해결영역에, 주어진 문제에서 필요한 정보나 부족한 정보를 찾는 내용이 추가된 것은 본 연구의 결과에 비춰볼 때 학생들과 교사들이 간과할 수 있는 부분을 보완해 줄 수 있는 효과적인 개정 방향이라고 볼 수 있다. 관련 내용을 학습한 후 충분히 이해하는지에 대한 확인으로 문제 만들기를 활용할 수 있을 것이다.
- 넷째, 2007 개정교육과정에서 새로이 도입된 수학기호를 이용한 문제 만들기 유형은 학생들이 스스로 수와 연산기호 및 연산기호의 순서를 정하여 식을 만들고 그 식에 알맞은 문제를 만드는 과정을 통해, 처음에는 다소 어려움을 겪을수 있지만 결국에는 학생들의 사고력을 신장시킬 수 있는 한 방안이 될 수 있을 것이다. 또한, 학생들은 자신의 수준에 알맞은 수와 연산기호 및 연산기호의 순서를 선택하여 식을 만들 수 있으므로 각 학생들의 수준에 맞는 수준별 수업으로 나아가는 길이 될 것이며, 이는 2007 개정 교육과정의 기본 방향과 일치하는 것이다(교육과학기술부, 2008a).
- 학생들이 만든 문제가 언어적으로 복잡해야 좋은 문제를 만들 었다고 볼 수 있는 것은 아니다. 하지만 간단한 문제 만들기를 쉽게 해결하거나 보다 높은 수준의 문제를 만들 수 있는 학생들에게 다양한 진술 형태의 문제나 언어적으로 더 복잡한 문제를 만들어보게 함으로써 다양한 문제유형을 접하게할 수 있고 학생들의 수학적 능력을 향상시킬수 있는 방법이 될 수 있을 것이다.
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