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문제 정의
- 본 대상물은 원가절감 및 경량화를 위해 무게를 최소화하는 동시에 사양을 만족하기 위해 처짐 값 또한 최소화할 수 있는 다중목적함수 문제이다. 설계 변수에 대해서는 평균분석을 통해 특정 성능에 대한 민감도를 파악하였으며, 중심합성계획법(CCD)과 D-최적계획법(D-optimal)을 통해 실험계획을 세운 후, 2차 다항식으로 표현되는 반응표면모델을 생성하였다.
- 본 연구를 통해 다목적 함수를 가진 자전거 프레임의 최적설계를 수행하였다. 민감도 분석을 통해 영향 인자를 판별하고 중심합성계획법과 D-최적계획법을 이용하여 수립한 실험계획을 기반으로 반응표면 모델을 생성하였다.
제안 방법
- 또한 무게와 처짐의 최소화라는 다중목적함수의 문제이므로 비 지배 분류 유전알고리즘 (NSGA-II)을 사용하여 최적화한 후, 해석을 통한 검증이 이루어진다. 검증에는 상용프로그램인 아바쿠스를 사용하여 수행하였으며 두 가지 실험계획법을 통한 해를 비교한 후 적절한 해를 선택하도록 한다.
- 중심합성계획법은 다른 실험계획법과 달리 요인 배치법에 있어 중심점과 축 점을 추가하여 적은 횟수로 회귀계수를 추정할 수 있었으며, D-최적계획법은 XTX의 행렬식(determinant)을 최대로 하는 실험 점 조합을 설계 변수 범위 내에서 불규칙 적으로 찾아 중심합성계획법에 비해 실험횟수를 줄일 수 있었다. 그 후 비 지배 분류 유전알고리즘을 적용하여 최적화를 진행하여 파레토 해집합을 얻을 수 있었다. 이러한 해집합은 설계자가 원하는 부분을 고려하여 해를 선택할 수 있도록 해준다.
- 경량화된 자전거 프레임은 안전성과 내구성이 결여되는 문제가 생길 수 있으므로 설계 된 자전거 프레임에 대한 검증을 위해 구조해석을 하는 것이 중요하다[3]. 따라서 본 연구에서는 탑 튜브, 시트튜브, 체인 스테이, 시트 스테이의 두께에 따른 운전자 하중을 고려한 구조해석을 통해 최적화를 진행하였으며 알루미늄 합금으로 된 자전거 프레임 모델을 이용하였다.
- 본 대상물은 원가절감 및 경량화를 위해 무게를 최소화하는 동시에 사양을 만족하기 위해 처짐 값 또한 최소화할 수 있는 다중목적함수 문제이다. 설계 변수에 대해서는 평균분석을 통해 특정 성능에 대한 민감도를 파악하였으며, 중심합성계획법(CCD)과 D-최적계획법(D-optimal)을 통해 실험계획을 세운 후, 2차 다항식으로 표현되는 반응표면모델을 생성하였다. 또한 무게와 처짐의 최소화라는 다중목적함수의 문제이므로 비 지배 분류 유전알고리즘 (NSGA-II)을 사용하여 최적화한 후, 해석을 통한 검증이 이루어진다.
- 자전거 프레임의 기초 모델은 Fig. 1에 나타나 있으며 CATIA를 이용하여 설계를 하였다. 자건거의 튜브는 헤드튜브, 시트튜브, 탑튜브, 다운튜브, 바텀 브라켓, 시트 스테이, 체인 스테이 등 총 7개 부분으로 나뉘어 있으며, 본 실험에서는 수직하중에 관련된 4개의 프레임을 파라미터로 구성하였다.
- 자전거에 가해지는 하중은 시트 로드 1,500 N으로 충분한 크기를 고려하였으며, 해석 조건으로는 Fig. 1에 표시된 부분에 대하여 x, y, z 방향으로의 이동에 대해 구속해 주었다.
- 파레토 해와 실제 CAE 결과를 비교해 보았으며, 파레토해 집합 중 처짐 기준으로 최고, 중간, 최하에 해당하는 경우의 설계 파라미터들을 취하여 CAE 해석을 수행하였다. Table 5와 Table 6은 중심합성계획법과 D-최적계획법에 대한 결과를 나타낸다.
- XTX의 행렬식(determinant)을 최대로 하는 실험점 조합 행렬 X를 찾는 것 이며, 실험 횟수를 줄여 효율적인 연구를 진행 할 수 있으나 불연속적인 부분이 발생하는 단점이 있다. 하지만 본 실험에서는 중심합성계획법과 D-최적계획법 중 어떠한 실험 계획법이 정확한 반응표면을 만들어 최적 해를 도출하는 것을 알기 위해 실험 횟수를 동등하게 하여 수행하였다. 이에 대한 해석 결과값은 Table 4에 나타내었다.
대상 데이터
- 유한요소 해석은 아바쿠스를 사용하였으며 격자요소(mesh element)의 형상은 tetramesh이고, 요소(element)의 개수는 241,545개, 절점(nodes)은 1,068개가 사용되었다. 물성치는 알루미늄을 사용하였으며 격자(mesh) 처리 후의 형상은 Fig. 3에 해석 결과는 Table 3에 나타내었다.
- 유한요소 해석은 아바쿠스를 사용하였으며 격자요소(mesh element)의 형상은 tetramesh이고, 요소(element)의 개수는 241,545개, 절점(nodes)은 1,068개가 사용되었다. 물성치는 알루미늄을 사용하였으며 격자(mesh) 처리 후의 형상은 Fig.
- 1에 나타나 있으며 CATIA를 이용하여 설계를 하였다. 자건거의 튜브는 헤드튜브, 시트튜브, 탑튜브, 다운튜브, 바텀 브라켓, 시트 스테이, 체인 스테이 등 총 7개 부분으로 나뉘어 있으며, 본 실험에서는 수직하중에 관련된 4개의 프레임을 파라미터로 구성하였다. 각각 파라미터 x1, x2, x3, x4는 시트 스테이, 체인스테이, 시트튜브, 탑 튜브 의 두께이다.
데이터처리
- 설계 파라미터의 민감도를 평가하기 위해 평균분석(ANOM)을 수행하였고[6], 결과는 Fig. 2에 나타내었다. 그래프의 기울기가 클수록 민감한 파라미터이며, 이를 통해 설계 변수 x3인 시트튜브 부분이 stress와 deflection에 가장 큰 영향을 미치는 것을 알 수 있었다.
- 위의 근사 방정식의 정확도를 확인하기 위해 중심합성계획법에서 수행한 각 실험값, 즉 설계 파라미터를 위의 근사 방정식에 재대입하여 실제 CAE 결과값과 비교하였으며 Fig. 4와 Fig. 5에 나타내었다.
이론/모형
- 다목적 함수의 최적화를 위해 비 지배 분류 유전알고리즘을 적용하여 최적화를 수행한다[10]. 인구수는 300, 세대수는 50, 100, 150으로 증가시키면서 수행하였다.
- 본 연구를 통해 다목적 함수를 가진 자전거 프레임의 최적설계를 수행하였다. 민감도 분석을 통해 영향 인자를 판별하고 중심합성계획법과 D-최적계획법을 이용하여 수립한 실험계획을 기반으로 반응표면 모델을 생성하였다. 중심합성계획법은 다른 실험계획법과 달리 요인 배치법에 있어 중심점과 축 점을 추가하여 적은 횟수로 회귀계수를 추정할 수 있었으며, D-최적계획법은 XTX의 행렬식(determinant)을 최대로 하는 실험 점 조합을 설계 변수 범위 내에서 불규칙 적으로 찾아 중심합성계획법에 비해 실험횟수를 줄일 수 있었다.
- 반응표면법은 반응변수와 두 개 이상의 요인들 간의 관계를 파악하는데 사용된다. 본 연구에선 이차 다항식 모델을 사용하였다[9]. 중심합성계획법을 통해 얻은 질량, 응력, 처짐에 관련된 데이터를 이용하여 반응표면을 생성하여 얻은 결과는 다음과 같다.
- 중심합성계획법을 사용하여 근사모델을 생성하였다[7]. 총 실험 횟수는 설계변수 k개인 문제에 대하여 다음과 같은 값을 가진다.
- 직교배열표를 이용하여 실험계획을 수립한다[4,5]. 각 설계 파라미터의 수준별 값은 설계조건의 범위에 따라 Table 1과 같이 설정하였으며 실험에 대한 결과는 무게, 응력, 처짐으로 설정하였으며 Table 2에 그 결과를 나타내었다.
성능/효과
- 2에 나타내었다. 그래프의 기울기가 클수록 민감한 파라미터이며, 이를 통해 설계 변수 x3인 시트튜브 부분이 stress와 deflection에 가장 큰 영향을 미치는 것을 알 수 있었다. 만약 설계 변수가 많은 경우라면 영향이 적은 파라미터에 대해 고려하지 않아도 된다.
- 이러한 해집합은 설계자가 원하는 부분을 고려하여 해를 선택할 수 있도록 해준다. 두 가지 실험계획법을 이용하여 반응표면 모델에 대한 비교도 진행하였으며 D-최적계획법보다 중심합성계획법이 조금 더 넓은 범위의 해집합을 나타내는 것을 확인할 수 있었다.
- Table 5와 Table 6은 중심합성계획법과 D-최적계획법에 대한 결과를 나타낸다. 두 결과를 비교하였을 때 오차 범위는 10% 이내로 유사한 결과를 도출할 수 있음을 확인하였다. 또한 결과 값에 대한 응력 값 검증을 위해 아바쿠스 해석을 통해 21.
- 두 결과를 비교하였을 때 오차 범위는 10% 이내로 유사한 결과를 도출할 수 있음을 확인하였다. 또한 결과 값에 대한 응력 값 검증을 위해 아바쿠스 해석을 통해 21.86, 34.63, 46.25, 22.12, 29.66, 36.16이라는 응력 값을 얻어 제약조건을 만족하는 것을 확인했다.
- 민감도 분석을 통해 영향 인자를 판별하고 중심합성계획법과 D-최적계획법을 이용하여 수립한 실험계획을 기반으로 반응표면 모델을 생성하였다. 중심합성계획법은 다른 실험계획법과 달리 요인 배치법에 있어 중심점과 축 점을 추가하여 적은 횟수로 회귀계수를 추정할 수 있었으며, D-최적계획법은 XTX의 행렬식(determinant)을 최대로 하는 실험 점 조합을 설계 변수 범위 내에서 불규칙 적으로 찾아 중심합성계획법에 비해 실험횟수를 줄일 수 있었다. 그 후 비 지배 분류 유전알고리즘을 적용하여 최적화를 진행하여 파레토 해집합을 얻을 수 있었다.
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