[논문]초등학교 수학에서 공간 방향에 대한 교육과정과 교과서 비교

정영옥

초등학교 수학에서 공간 방향에 대한 교육과정과 교과서 비교
A Comparative Study on Mathematics Curriculums and Textbooks of Spatial Orientation in Elementary School Mathematics

학교수학 = School Mathematics, v.19 no.4, 2017년, pp.663 - 690

초록
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본 연구는 초등학교 수학에서 공간 감각 중 공간 방향 요인과 요소를 살펴보고, 이를 바탕으로 우리나라, 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 핀란드, 독일, 미국의 교육과정과 교과서에서 다루고 있는 공간 방향과 관련된 내용을 비교 분석함으로써 앞으로 우리나라 초등학교 수학에서 공간 방향 지도를 위한 시사점을 제공하는 데 목적이 있다. 이를 위해 이론적 고찰을 통해 공간 방향 요인과 요소를 알아보고, 이를 기초로 지도 학년과 학년별 내용, 위치, 방향, 좌표, 경로, 거리의 공간 방향 요소와 요소별 내용과 현실 맥락을 중심으로 국가별 교육과정과 교과서를 분석하였다. 이론적 고찰과 교과서 비교 분석 결과 공간 방향 지도를 위한 시사점으로 교육과정에 공간 방향 내용과 기간 확장 및 고학년의 공간 방향 지도 강화, 공간 방향 내용 요소에 대한 기본적인 경험 제공, 학생들 주변의 친숙하고 현실적인 맥락 활용을 제안하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The aim of this study is to look into the meaning and sub-factors of spatial orientation, compare and analyze mathematics curriculums and textbooks of several countries with respect to spatial orientation and offer suggestions to improve teaching spatial orientation in elementary school mathematics in Korea. In order to attain these purposes, this study examined the meaning and sub-factors of spatial orientation through the theoretical consideration regarding various studies on spatial sense. Based on such examination, this study compared and analyzed mathematics curriculums and textbooks used in South Korea, Singapore, Japan, China, Hong Kong, Finland, United States of America, and Germany with respect to contents of mathematics curriculum and textbooks in grades, sub-factors of spatial orientation, and contexts for spatial orientation. In the light of such theoretical consideration and analytical results, this study provided suggestions for improving teaching spatial orientation in elementary schools in Korea as follows: extending content of spatial orientation in mathematics curriculum, emphasizing spatial orientation across the several grades, especially in the upper grades, providing opportunities to learn the sub-factors of location, direction, coordinates, route, and distance variously, and utilizing various familiar and realistic contexts in the world around students.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

공간 방향에 관한 선행 연구는 공간 감각에 관한 선행 연구들에서 일부 찾아볼 수 있는데, 본 연구에서는 공간 감각에 관련된 연구를 크게 학생들의 공간 감각 관련 지도 내용 분석에 대한 연구, 공간 감각 능력 실태 조사에 대한 연구, 공간 감각 신장을 위한 프로그램 효과에 대한 연구들로 구분하여 살펴보고자 한다.
공간 감각에 대한 연구의 대부분은 공간 시각화에 초점을 맞추고 있으며, 위에서 살펴본 공간 방향을 고려한 연구의 경우에도 구조 감각과 관련된 연구는 있지만, 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각과 관련된 위치, 방향, 좌표, 경로, 거리의 공간 방향 내용 요소에 대해서는 많이 다루고 있지 않다. 따라서 본 연구에서는 2015 교육과정에 새롭게 도입된 위치와 방향을 포함한 공간 방향과 관련해서 다른 나라 교육과정과 교과서에서는 어떤 내용들을 포함하여 다루고 있는지 살펴봄으로써 앞으로의 교육과정과 교과서 개발을 위한 기초를 마련하고자 한다.
따라서 본 연구에서는 공간 감각과 공간 방향에 대한 이론적 고찰과 우리나라, 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 핀란드, 독일, 미국의 교육과정과 교과서에서 다루고 있는 공간 방향과 관련된 내용을 비교 분석함으로써 우리나라 초등학교 수학에서 공간 방향 지도를 위한 시사점을 제안하고자 한다.
또한 미국의 경우 CCSM(CCSSI, 2010)에서는 K학년에 모양 인식과 기술-주변의 대상 들의 상대적 위치를 위, 아래, 옆, 앞, 뒤, 가까이와 같은 용어로 기술, 5학년에 좌표평면에 점 나타내기를 활용한 문제해결, 6학년에 다각형을 좌표평면 위에 표현하기가 포함되어 있으며, 이는 NCTM(2007) 규준과 비교해 보면, 공간 방향에 대한 내용이 다소 간략해진 듯하나 문제해결이라는 표현이 매우 광범위한 뜻을 내포하고 있기 때문에 구체적인 내용을 교육과정에서 파악하기는 어려운 점이 있다. 따라서 본 연구에서는 공간 방향과 관련해서 좀 더 명확하게 기술하고 있고, 분석할 교과서 또한 NCTM을 근거로 만들어진 교과서이기 때문에 NCTM에서 제안한 내용을 분석하였다.
이는 공간의 대상을 위, 앞, 옆이나 동서남북 등 다양한 위치나 방향에서 바라본 모양을 인식하는 능력을 의미하는 것으로, 정영옥(2017)에서 살펴볼 수 있는 바와 같이 입체도형의 공간감각, 즉 쌓기나무로 쌓은 모양이나 공간의 대상을 위, 앞, 옆 등 다양한 방향에서 본 모양을 다룰 때 더 필요한 능력이고, 다른 나라 교과서에서는 우리나라의 입체도형의 공간감각과 관련된 단원들에서 다루어지고 있음을 알 수 있다. 따라서 본 연구에서는 공간 방향의 요인 중 구조 감각을 제외하고, 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각을 중심으로 생각하고자 한다. 또한 방향 감각에서는 전후, 좌우, 상하와 관련된 위치, 동서남북의 4방위나 8방위와 관련된 방향, 좌표 감각에서는 지도 체계와 좌표 체계에서의 좌표와 이동 경로, 거리 감각에서는 지도 체계와 좌표 체계에서의 거리와 축척에 초점을 맞추고, 이런 공간 방향 내용 요소를 위치, 방향, 좌표, 경로, 거리로 간략히 표현하여, 이 요소들을 중심으로 우리나라, 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 핀란드, 미국, 독일 교과서를 분석하고자 한다.
교육과정 비교 분석을 통해 국가별로 공간 방향과 관련된 개략적인 내용을 파악할 수는 있지만, 실제적으로 어느 학년에 어떤 내용을 어떤 활동을 통해 지도하고 있는지에 대해서는 알 수 없다. 따라서 이 절에서는 국가별 교과서의 공간 방향 관련 지도 학년과 학년별 단원의 공간 방향 관련 내용들을 간략하게 개관하고, 공간 방향 관련 요소들을 비교 분석하고자 한다.
’ 등의 설명과 함께 방위를 알 수 있는 방법을 논의하고, 운동장에 그려진 방위표시를 살펴보고, 그림 장면에 있는 바람, 강, 트럭이 가는 방향에 대해 알아보고, 자신들의 학교에 대한 스케치와 방위를 다룬다. 또한 [그림 IV-15]와 같이 NeuSchwanstein성의 평면도와 방위, 여러 방향에서 찍은 사진들을 제시하고 어느 방향에서 찍은 것인지 알아본다.
본 연구는 공간 방향에 대한 이론적 고찰과 더불어 실제 외국 교육과정과 교과서에서 다루고 있는 공간 방향의 내용들을 분석함으로써 우리나라의 공간 방향 지도를 위한 구체적인 시사점을 제공하는 것을 목표로 하고 있다. 이런 목표를 달성하기 위한 분석 관점으로 첫째, 공간 방향과 관련해서 교육과정과 교과서의 지도 학년(군)과 학년별 내용을 개관하고, 둘째, 공간 방향 요인과 관련해서 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각 요인의 공간 방향 내용 요소별 교육과정과 교과서 내용을 분석하고, 셋째, 교과서에서 다루고 있는 공간 방향 내용 요소를 학습하는 데 사용되는 현실 맥락을 분석한다.
공간 감각의 요인은 연구자들마다 분류하는 방식이 다르지만, McGee(1979)는 이전의 공간 감각과 관련된 요인 분석 연구들을 종합하면서, 공간 감각은 공간 방향과 공간 시각화의 서로 다른 두 가지 능력으로 구성된다는 점을 주장하였다. 본 연구에서는 McGee의 관점을 따라 공간 감각을 공간 시각화와 공간 방향으로 구분하고, 국내외의 연구자들을 중심으로 공간 방향의 의미와 하위요인에 대해 살펴보고 종합하고자 한다.
본 연구에서는 공간 감각에서 공간 시각화와 공간 방향의 의미와 하위 요인을 살펴보고, 이를 바탕으로 한국, 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 핀란드, 미국, 독일의 공간 방향 관련 교육과정과 교과서를 비교 분석하여, 우리나라의 공간 방향 지도를 위한 시사점을 제공하고자 하였다.
본 연구에서는 여러 연구자들의 관점을 바탕으로 공간 방향을 공간에서 자기 자신과 여러 가지 대상의 상대적 위치와 거리 관계를 이해하고, 공간에서 위치, 방향, 거리를 알고 공간에서 이동해 가는 경로를 아는 능력(조영선·정영옥, 2012; Clements, 1999; McGee, 1979; Tatre, 1990b)으로 정의하고자 한다.
본 연구에서는 외국의 교육과정과 교과서에서 공간 방향과 관련된 내용을 다루는 학년과 학년별 구체적인 내용 요소는 무엇인지를 알아보기 위해 7개 국가를 선정하였다. 동양권에서는 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 서양권에서는 핀란드, 미국, 독일을 선정하였다.
본 연구에서는 위에서 살펴본 연구자들의 의견을 종합하여, 공간 방향의 하위 요인을 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각, 구조 감각으로 구분하고자 한다. 본 연구에서 구분한 하위 요인별로 여러 연구자들의 요인을 재분류하면 <표 II-1>과 같다.
이 절에서는 앞에서 살펴본 전반적인 내용을 바탕으로 좀 더 구체적으로 국가별로 다루고 있는 공간 방향 내용 요소별로 방향 감각의 위치, 방향, 좌표 감각의 좌표와 경로 및 거리 감각의 거리와 관련하여 어떤 내용과 맥락을 다루고 있는지 비교 분석하고자 한다. 이 때 좌표 감각과 거리 감각에 해당하는 좌표, 경로, 거리 요소는 교과서에서 한 맥락 내에서 함께 다루어지는 경우가 많기 때문에, 본 연구에서도 함께 분석하고자 한다.
이 절에서는 앞에서 살펴본 전반적인 내용을 바탕으로 좀 더 구체적으로 국가별로 다루고 있는 공간 방향 내용 요소별로 방향 감각의 위치, 방향, 좌표 감각의 좌표와 경로 및 거리 감각의 거리와 관련하여 어떤 내용과 맥락을 다루고 있는지 비교 분석하고자 한다. 이 때 좌표 감각과 거리 감각에 해당하는 좌표, 경로, 거리 요소는 교과서에서 한 맥락 내에서 함께 다루어지는 경우가 많기 때문에, 본 연구에서도 함께 분석하고자 한다.

제안 방법

’ 등의 설명과 함께 방위를 알 수 있는 방법을 논의하고, 운동장에 그려진 방위표시를 살펴보고, 그림 장면에 있는 바람, 강, 트럭이 가는 방향에 대해 알아보고, 자신들의 학교에 대한 스케치와 방위를 다룬다.
4학년 2학기 단위와 좌표 단원에서 1-4분면을 도입하고, 좌표를 연결하여 모양 그리기, 동물원 지도나 지역 지도에서 좌표를 다룬다. 5학년 1학기 도형 단원에서 방향과 관련해서 8방위가 표시된 각도기를 사용해서 방향을 바꿀 때 시계 방향과 시계 반대 방향의 회전각 구하기를 다룬다. 5학년 2학기 자료의 해석과 확률 단원에서 좌표와 관련해서 좌표평면에서 좌표 구하기, 모양과 도형 그리기, 좌표평면 이동을 다룬다.
5학년 1학기 도형 단원에서 방향과 관련해서 8방위가 표시된 각도기를 사용해서 방향을 바꿀 때 시계 방향과 시계 반대 방향의 회전각 구하기를 다룬다. 5학년 2학기 자료의 해석과 확률 단원에서 좌표와 관련해서 좌표평면에서 좌표 구하기, 모양과 도형 그리기, 좌표평면 이동을 다룬다. 6학년 2학기 시간과 비율 단원에서 축척이 표시된 지도에서 여러 지점들 간의 최단 경로와 실제 거리를 다룬다.
공간 방향을 앞의 이론적 배경에서 살펴본 바와 같이 공간에서 자기 자신과 여러 가지 대상의 상대적 위치와 거리 관계를 이해하고, 공간에서 위치, 방향, 거리를 알고 공간에서 이동해 가는 방법을 아는 능력이라고 할 때, 공간 방향을 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각, 구조 감각으로 구분하였다. 앞에서 기술한 바와 같이 구조 감각은 방향 감각과는 관련이 있으나 오히려 공간 시각화를 중심으로 하는 입체도형의 공간 감각과 관련된 활동에 많이 필요한 능력이기 때문에 구조 감각은 제외하고, 방향 감각에서는 위치와 방향, 좌표 감각에서는 좌표와 경로, 거리 감각에서는 거리를 분석할 요소로 추출하였다.
교육과정과 교과서를 분석하기 위한 틀로 지도 학년과 학년별 내용, 공간 방향 내용 요소로 방향 감각에서 위치와 방향, 좌표 감각에서 좌표와 경로, 거리 감각에서는 거리, 공간 방향 내용 요소별 현실 맥락을 고려하였다.
이 때 좌표 감각과 거리 감각은 모두 지도 체계와 좌표 체계와 관련되지만, 좌표 감각은 좌표를 이용하여 방향이나 위치 및 이동 경로를 아는 능력 이고, 거리 감각은 지도 위의 두 지점 사이의 거리와 축척을 이용한 실제 거리에 초점이 맞추어 진다. 또한 교과서를 개발할 때는 교육과정에 제시된 공간 방향 관련 내용 요소들을 어떤 맥락을 통해 도입하고 발달시켜 나가는지가 매우 중요하기 때문에 공간 방향 요소별로 어떤 맥락들을 사용하는지 분석하고, 특징적인 맥락을 구체적으로 예시하였다. 또한 맥락을 분석할 때, 좌표 감각과 거리 감각의 좌표, 경로, 거리는 한 맥락에 이 요소들이 함께 다루어지는 경우가 많아서 묶어서 분석하였다.
독일은 지도체계를 강조하는데, [그림 IV-23]과 같이 도시 그림지도를 1학년에서 4학년까지 계속 다루면서 건물의 위치, 건물 사이의 모든 가능한 경로와 최단 경로 및 거리를 점점 더 심화 하고 확대하며, [그림 IV-24]와 같이 고속도로와 주요 도시 사이의 거리가 표시된 독일 지도에서 도시의 위치, 도시 사이의 여러 경로와 최단 경로 및 거리를 지속적으로 다룬다. 또한 도시 지도에서 건물의 위치, 건물에 갈 수 있는 길 찾기, 사진을 찍은 위치를 찾아보고, 학생들이 사는 도시의 지도를 보고 위치와 경로를 다루게 하며, 실제 독일 지도에서 NeuSchwanstein성의 위치를 찾아본다.
또한 맥락을 분석할 때, 좌표 감각과 거리 감각의 좌표, 경로, 거리는 한 맥락에 이 요소들이 함께 다루어지는 경우가 많아서 묶어서 분석하였다.
따라서 본 연구에서는 공간 방향의 요인 중 구조 감각을 제외하고, 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각을 중심으로 생각하고자 한다. 또한 방향 감각에서는 전후, 좌우, 상하와 관련된 위치, 동서남북의 4방위나 8방위와 관련된 방향, 좌표 감각에서는 지도 체계와 좌표 체계에서의 좌표와 이동 경로, 거리 감각에서는 지도 체계와 좌표 체계에서의 거리와 축척에 초점을 맞추고, 이런 공간 방향 내용 요소를 위치, 방향, 좌표, 경로, 거리로 간략히 표현하여, 이 요소들을 중심으로 우리나라, 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 핀란드, 미국, 독일 교과서를 분석하고자 한다.
또한 분석 결과의 타당도를 높이기 위해 각 교과서의 구체적인 활동들의 목록에서 1차 분석, 의 국가별 내용을 요약하면서 2차 분석, 국가별 내용을 기술하면서 3차 분석을 실시하여 서로 대조하고 보완하였다.
이와 같이 미국은 실제적인 지도를 강조하고, 평면좌표에서의 모양과 도형 그리기 및 변환을 강조한다. 또한 한 가지 상황에서 위치, 방향, 좌표, 경로, 거리를 복합적으로 다룬다.
공간 방향을 앞의 이론적 배경에서 살펴본 바와 같이 공간에서 자기 자신과 여러 가지 대상의 상대적 위치와 거리 관계를 이해하고, 공간에서 위치, 방향, 거리를 알고 공간에서 이동해 가는 방법을 아는 능력이라고 할 때, 공간 방향을 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각, 구조 감각으로 구분하였다. 앞에서 기술한 바와 같이 구조 감각은 방향 감각과는 관련이 있으나 오히려 공간 시각화를 중심으로 하는 입체도형의 공간 감각과 관련된 활동에 많이 필요한 능력이기 때문에 구조 감각은 제외하고, 방향 감각에서는 위치와 방향, 좌표 감각에서는 좌표와 경로, 거리 감각에서는 거리를 분석할 요소로 추출하였다. 이 때 좌표 감각과 거리 감각은 모두 지도 체계와 좌표 체계와 관련되지만, 좌표 감각은 좌표를 이용하여 방향이나 위치 및 이동 경로를 아는 능력 이고, 거리 감각은 지도 위의 두 지점 사이의 거리와 축척을 이용한 실제 거리에 초점이 맞추어 진다.
이런 관점을 기초로, 공간 방향을 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각, 구조 감각으로 구분하였다. 이 때 구조 감각은 공간 시각화 능력과 관련해서 입체도형의 공간 감각과 더욱 밀접한 관련이 있기 때문에, 본 연구에서는 공간 방향 중 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각을 중심으로 살펴보았다.
공간 방향 관련 국가별 수학 교육과정에서 제시된 지도 학년과 구체적인 내용을 살펴보면, <표 IV-1>과 같다. 이 때 미국의 경우에는 공간 방향과 관련해서 CCSM(CCSSI, 2010)에서는 5, 6 학년에 제시하고 있으나, 본 연구에서 분석할 교과서는 NCTM(2007) 규준에서 제시하고 있는 내용을 반영하고 있으므로, 교육과정을 비교할 때, NCTM 규준의 내용을 제시하였다. 또한 국가에 따라서는 교육과정이 학년별로 제시되어 있지 않고, 학년군으로 제시되어 있다.
공간 방향은 공간 감각의 한 하위 요인으로 공간에서 자기 자신과 여러 가지 대상의 상대적 위치와 거리 관계를 이해하고, 공간에서 위치, 방향, 거리를 알고 이동해 가는 방법을 아는 능력을 의미한다. 이런 관점을 기초로, 공간 방향을 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각, 구조 감각으로 구분하였다. 이 때 구조 감각은 공간 시각화 능력과 관련해서 입체도형의 공간 감각과 더욱 밀접한 관련이 있기 때문에, 본 연구에서는 공간 방향 중 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각을 중심으로 살펴보았다.
본 연구는 공간 방향에 대한 이론적 고찰과 더불어 실제 외국 교육과정과 교과서에서 다루고 있는 공간 방향의 내용들을 분석함으로써 우리나라의 공간 방향 지도를 위한 구체적인 시사점을 제공하는 것을 목표로 하고 있다. 이런 목표를 달성하기 위한 분석 관점으로 첫째, 공간 방향과 관련해서 교육과정과 교과서의 지도 학년(군)과 학년별 내용을 개관하고, 둘째, 공간 방향 요인과 관련해서 방향 감각, 좌표 감각, 거리 감각 요인의 공간 방향 내용 요소별 교육과정과 교과서 내용을 분석하고, 셋째, 교과서에서 다루고 있는 공간 방향 내용 요소를 학습하는 데 사용되는 현실 맥락을 분석한다. 이와 같은 분석 관점을 기반으로 교육과정과 교과서 분석틀을 제시하면 <표 III-4>와 같다.
지금까지 공간 방향과 관련해서 여러 나라의 교육과정과 교과서를 비교 분석하여 몇 가지의 방향을 제안하였다. 이런 방향이 좀 더 구체화되기 위해서는 학생들의 공간 방향에 대한 실태 조사와 더불어 직접적인 교수실험을 통해 학생들에게 공간 방향 능력을 신장하는 데 도움이 되는 다양한 내용 요소들과 적절한 맥락을 선정하는 노력이 필요할 것으로 생각된다.
중국은 1학년부터 6학년에 이르기까지 지도체계, 평면좌표, 각좌표와 같은 다양한 좌표체계를 다루는데, 우선 꿀벌과 과일이 그려진 그림지도에서 이동 경로를 다루고, 학교, 마을, 동물원 지도 등 다양한 그림지도와 중국 지도에서 이동 경로를 다루며, [그림 IV-18]과 같이 교실의 책상 배열, 영화관 좌석 배열 등을 통해 평면좌표를 도입하고 위치와 이동 경로를 다루고, 좌표평면에서 도형의 좌표나 모양 그리기를 다룬다. 태풍에 대한 일기예보를 통해 축척이 표시된 그림지도 에서 각도와 거리로 위치를 나타내는 각좌표를 도입하고, [그림 IV-19]와 같이 태풍의 이동 경로와 거리를 알아보며, 마을이나 학교, 버스노선 안내도 등과 같은 축척이 표시된 그림지도에서 각좌표를 이용하여 위치를 나타내고, 이동 경로와 거리를 알아본다.

대상 데이터

본 연구에서는 외국의 교육과정과 교과서에서 공간 방향과 관련된 내용을 다루는 학년과 학년별 구체적인 내용 요소는 무엇인지를 알아보기 위해 7개 국가를 선정하였다. 동양권에서는 싱가포르, 일본, 중국, 홍콩, 서양권에서는 핀란드, 미국, 독일을 선정하였다. 각 국가의 최근 TIMSS와 PISA의 성취도 순위를 살펴보면 <표 III-1>과 같다(구자옥ㆍ김성숙ㆍ이혜원ㆍ조성민ㆍ박혜영, 2016; 김경희ㆍ시기라ㆍ김미영ㆍ옥현진ㆍ임해미 외, 2010; 김수진ㆍ박지현ㆍ김현경ㆍ진의남ㆍ이명진ㆍ김지영 외, 2012; 상경아ㆍ곽영순ㆍ박지현ㆍ박상욱, 2016; 송미영ㆍ임해미ㆍ최혁준ㆍ박혜영ㆍ손수경, 2013; 이미경ㆍ조지민ㆍ박선화ㆍ김경희ㆍ시기자ㆍ최성연 외, 2005; Lee, Sohn, & No,　2008).
, 2007), 독일은 Das Zahlenbuch(Wittmann & Müller, 2014)와 Das Mathematikbuch(Affolter, Amstad, Doebeli, Wieland, 2008)이다. 이 때 각 교과서는 우리나라를 제외하면 여러 종류의 교과서가 있지만, 많은 학교에서 사용하고 있거나 공간 방향의 내용을 잘 반영한 교과서를 선정하였다. 국가별 분석 대상 교과서를 정리하면 <표 III-3>과 같다.

성능/효과

둘째, 공간 방향 관련 단원의 내용에 대한 개관과 공간 방향 요소별로 교과서를 비교 분석한 결과, 우리나라를 제외한 대부분의 국가에서는 위치, 방향, 좌표, 경로를 대부분 다루고 있었고, 중국, 핀란드, 미국, 독일은 거리도 다루고 있음을 알 수 있었다. 한편 각 요소별로 다루는 내용에서도 약간씩 차이가 있었는데, 위치의 경우에도 상하, 좌우, 전후 외에도 사이, 맞은편 등을 다루는 국가도 있었고, 방향의 경우에도 4방위, 8방위 외에 30° 와 같은 각도를 포함하는 국가도 있었다.
한편, 교과서를 비교 분석한 결과, 실제로 공간 방향을 지도하고 있는 학년은 한국은 2학년, 싱가포르는 4학년, 일본은 1, 3, 4학년, 중국은 1, 3, 5, 6학년, 홍콩은 2, 5학년, 핀란드는 2, 4, 5, 6학년, 미국은 3, 4, 5, 6학년, 독일은 1, 2, 3, 4, 5학년에서 다루고 있었으며, 중국, 핀란드, 미국, 독일은 다루는 내용 요소와 분량도 많은 것을 알 수 있었다. 또한 대부분의 나라에서 교과서에서 다루고 있는 공간 방향 내용 요소가 교육과정에서 제시하고 있는 공간 방향 내용보다 더 많았고, 특히 고학년에서 더 많은 내용을 다룬다는 것을 알 수 있었다. 그러나 우리나라의 경우본 연구에서 분석한 다른 국가들과는 달리 저학년인 2학년에 위, 앞, 옆과 같은 위치와 관련된 용어 외에는 공간 방향과 관련된 내용을 다루지 않고 있다.
첫째, 교육과정을 비교 분석한 결과, 한국은 1-2학년군, 싱가포르는 4학년, 일본은 1학년과 4 학년, 중국과 홍콩은 1-3, 4-6학년, 핀란드는 1-2 학년, 3-5학년군, 미국은 1-2, 3-5, 6-8학년, 독일은 1-2, 3-4, 5-6학년과 같이 모든 학년(군) 전반에 공간 방향의 내용이 포함되어 있었다. 또한 우리나라의 경우는 위치만을 포함하고 있고, 각국가별로 다루고 있는 공간 방향 요소는 다소 차이가 있지만, 우리나라를 제외한 대부분의 국가는 위치 외에도 방향과 좌표 등 다양한 공간 방향 내용 요소를 다루고 있음을 알 수 있었다. 한편, 교과서를 비교 분석한 결과, 실제로 공간 방향을 지도하고 있는 학년은 한국은 2학년, 싱가포르는 4학년, 일본은 1, 3, 4학년, 중국은 1, 3, 5, 6학년, 홍콩은 2, 5학년, 핀란드는 2, 4, 5, 6학년, 미국은 3, 4, 5, 6학년, 독일은 1, 2, 3, 4, 5학년에서 다루고 있었으며, 중국, 핀란드, 미국, 독일은 다루는 내용 요소와 분량도 많은 것을 알 수 있었다.
셋째, 공간 방향 요소별로 다루는 내용과 맥락을 비교 분석한 결과 우리나라는 쌓기나무 맥락을 중심으로 지도하고 있지만, 다른 나라의 경우 위치와 관련해서는 주변의 사물이나 학생들 자신이나 집이나 학교와 학교 주변의 맥락, 방향과 관련해서는 학교, 동물원이나 놀이터의 평면도나 간단한 마을 지도나 실제 지도 맥락, 좌표, 경로, 거리와 관련해서는 물체나 사람, 동물들의 격자 배열이나 마을이나 동물원의 그림지도로부터 축척이 표시된 도시, 지역, 국가, 세계 지도에 이르기까지 다양한 현실적 맥락을 사용하고 있었다. 즉, 학생이나 동물들의 배열, 학교, 마을, 도시, 국가의 그림지도나 실제 지도 등을 사용한 다양한 현실 맥락에서 공간 방향을 지도하고 있음을알 수 있었다.
셋째, 공간 방향 요소별로 다루는 내용과 맥락을 비교 분석한 결과 우리나라는 쌓기나무 맥락을 중심으로 지도하고 있지만, 다른 나라의 경우 위치와 관련해서는 주변의 사물이나 학생들 자신이나 집이나 학교와 학교 주변의 맥락, 방향과 관련해서는 학교, 동물원이나 놀이터의 평면도나 간단한 마을 지도나 실제 지도 맥락, 좌표, 경로, 거리와 관련해서는 물체나 사람, 동물들의 격자 배열이나 마을이나 동물원의 그림지도로부터 축척이 표시된 도시, 지역, 국가, 세계 지도에 이르기까지 다양한 현실적 맥락을 사용하고 있었다. 즉, 학생이나 동물들의 배열, 학교, 마을, 도시, 국가의 그림지도나 실제 지도 등을 사용한 다양한 현실 맥락에서 공간 방향을 지도하고 있음을알 수 있었다. 윤명숙(2006)은 현실 맥락을 고려한 공간 감각 프로그램의 효과를 분석하면서 현실 맥락의 사용이 전반적인 공간 감각, 특히 공간 방향 능력에 효과적임을 주장하였다.
첫째, 교육과정을 비교 분석한 결과, 한국은 1-2학년군, 싱가포르는 4학년, 일본은 1학년과 4 학년, 중국과 홍콩은 1-3, 4-6학년, 핀란드는 1-2 학년, 3-5학년군, 미국은 1-2, 3-5, 6-8학년, 독일은 1-2, 3-4, 5-6학년과 같이 모든 학년(군) 전반에 공간 방향의 내용이 포함되어 있었다. 또한 우리나라의 경우는 위치만을 포함하고 있고, 각국가별로 다루고 있는 공간 방향 요소는 다소 차이가 있지만, 우리나라를 제외한 대부분의 국가는 위치 외에도 방향과 좌표 등 다양한 공간 방향 내용 요소를 다루고 있음을 알 수 있었다.

후속연구

장혜원(2016)은 위치와 방향을 도입한 이유로 첫째, 우리나라의 경우 2차 교육과정까지는 실생활 맥락에서 방위를 포함한 위치와 방향을 지도하였다는 점, 둘째, 위치와 방향을 다루고 있는 누리 과정과의 연계가 필요하다는 점, 셋째, 학생들이 쌓기나무의 위치를 설명하는 데 어려움을 겪는다는 점을 들고 있다. 그러나 공간 감각을 강조하는 최근 수학교육의 동향을 고려할 때, 쌓기나무에 한정된 위치와 방향을 다룰 것이 아니라 공간 감각의 두 요인 중 하나인 공간 방향 요인을 고려하여 어떤 내용들을 다루어야 할지에 대한 좀 더 많은 논의가 필요하다.
지금까지 공간 방향과 관련해서 여러 나라의 교육과정과 교과서를 비교 분석하여 몇 가지의 방향을 제안하였다. 이런 방향이 좀 더 구체화되기 위해서는 학생들의 공간 방향에 대한 실태 조사와 더불어 직접적인 교수실험을 통해 학생들에게 공간 방향 능력을 신장하는 데 도움이 되는 다양한 내용 요소들과 적절한 맥락을 선정하는 노력이 필요할 것으로 생각된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	공간 감각은 무엇인가?	공간 감각은 “자기 주위의 상황과 물체에 대한 직관적인 느낌”(NCTM, 1992, p. 75)이라 할 수 있으며, McGee(1979)에 의하면 공간 감각은 공간 시각화와 공간 방향으로 구성된다.
	공간 감각을 구성하는 공간 시각화와 공간 방향은 무엇인가?	75)이라 할 수 있으며, McGee(1979)에 의하면 공간 감각은 공간 시각화와 공간 방향으로 구성된다. 공간 시각화는 공간의 대상, 관계, 변환에 대한 정신적 표상을 구성하고 조작하는 능력(조영선ㆍ정영옥, 2012; Clements, 1999)을 의미하고, 공간 방향은 공간에서의 위치, 방향, 거리나 이동 경로를 아는 능력(조영선ㆍ정영옥, 2012; Clements, 1999)을 의미한다. NCTM(2007)에서는 기하 영역의 기하 규준에서 첫째, 2차원과 3차원 도형의 특징과 성질을 분석하고, 기하 관계에 대해 수학적으로 논쟁할 수 있으며, 둘째, 좌표 기하와 다른 표현 체계를 이용하여 위치를 확인하고 공간적 관계를 기술할 수 있고, 셋째, 수학적 상황을 분석하기 위해 변환을 적용하고 대칭을 활용할 수 있고, 넷째, 문제를 해결하기 위해 시각화, 공간적 추론, 기하 모델링을 활용할 수 있어야 함을 강조하면서 공간 감각의 내용을 포함시키고 있다.
	기하를 가르칠 때의 두 가지 관점은 무엇인가?	공간 감각은 제 7차 교육과정에서 처음 도입된 도형 영역의 내용이다. 기하를 가르치는 데는 두 가지 관점이 있는데, 하나는 기하를 공간에 대한 탐색으로 보는 것이고, 다른 하나는 기하를 논리적 체계로 보는 것이다(Hershkowitz, 1990). 논리적 체계는 공간에 대한 탐색을 통해 얻은 결과물이고, 공간에 대한 탐색은 이러한 논리적 체계를 통해 좀 더 깊이 있게 이루어질 수 있으므로, 두 측면은 서로 밀접한 관련이 있다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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