[논문]1차 미분 근사를 이용한 MLS차분법의 동적해석

김경환; 윤영철; 이상호

doi:10.7734/coseik.2018.31.6.331

1차 미분 근사를 이용한 MLS차분법의 동적해석
Dynamic Analysis of MLS Difference Method using First Order Differential Approximation 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.31 no.6, 2018년, pp.331 - 337

김경환 (연세대학교 토목환경공학과) , 윤영철 (명지전문대학 토목과) , 이상호 (연세대학교 토목환경공학과)

초록
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본 논문은 MLS(moving least squares) 차분법의 1차 미분 근사함수를 바탕으로 시간에 따른 수치해석이 가능한 해석기법을 제시한다. 오직 1차 미분 근사함수로만 지배방정식을 이산화했으며, 근사함수를 조립하는 형태로 전체 시스템 방정식을 구성하여 차분법으로 이산화된 운동방정식이 유한요소법(finite element method)과 유사한 모습을 갖게 되었다. 운동방정식을 시간적분하기 위해서 중앙차분법(central difference method)을 사용하였다. 유한요소 알고리즘을 통해서 MLS 차분법과 유한요소법의 고유진동 해석을 수행하였으며, 두 해석결과를 비교하였다. 또한, 동적해석 결과를 기존의 2차 미분 근사함수를 활용한 해석결과와 함께 도시함으로써 제안된 수치기법의 정확성을 검증하였다. 1차 미분 근사함수를 조립하는 과정에서 해석결과의 떨림현상이 억제되었으며 상대적으로 균일한 응력분포를 구할 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents dynamic algorithm of the MLS(moving least squares) difference method using first order differential Approximation. The governing equations are only discretized by the first order MLS derivative approximation. The system equation consists of an assembly of the approximate function, so the shape of system equation is similar to FEM(finite element method). The CDM(central difference method) is used for time integration of dynamic equilibrium equation. The natural frequency analyses of the MLS difference method and FEM are performed, and two analysis results are compared. Also, the accuracy of the proposed numerical method is verified by displaying the dynamic analysis results together with the results by the existing second order differential approximation. In the process of assembling the first order MLS derivative approximation, the oscillation error was suppressed and the stress distribution was interpreted as relatively uniform.

주제어

AI 본문요약
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가설 설정

MLS 차분법은 Taylor 전개를 바탕으로 이동최소제곱법을 이용하여 형상함수를 도출하기 때문에 미분근사식의 유도과정이 간편하다. Yoon 등(2014)에 의하여 상세한 유도과정이 제시 되어 있으나, 본 논문에서는 2차원 상태를 가정하여 간략하게 1차 미분근사식을 유도해 본다. x = (x,y)는 임의의 점을 나타내며 x₀ = (x₀,y₀)는 기준점을 의미한다.
평면변형률 상태를 가정하였으며, 탄성계수는 E=1.0×105N/m2, 포아송비 V=0.25, 밀도 Ρ=1.0kg/m3, 시간간격은 ∆t=2.0×10-4s로 적용했다.
해석대상의 재료 물성치는 밀도 Ρ=1.0kg/m3, 탄성 계수E=3.0×107N/m2로 가정하였고, 시간간격은 ∆T=2.0×10-4s로 설정하였다.

제안 방법

1차 미분 근사함수로만 구성된 MLS 차분 알고리즘을 동적 해석 문제에 적용할 수 있는지 확인하기 위해 Fig. 4와 같은 캔틸레버보 문제를 해석하였다. 2차원 캔틸레버 보는 알려진 이론해가 존재하지 않기 때문에, 해석결과의 정확성을 확인하여 위하여 포아송비를 0으로 하고 1차원 고정단 빔 문제의 이론해 (Clough et al.
4와 같은 캔틸레버보 문제를 해석하였다. 2차원 캔틸레버 보는 알려진 이론해가 존재하지 않기 때문에, 해석결과의 정확성을 확인하여 위하여 포아송비를 0으로 하고 1차원 고정단 빔 문제의 이론해 (Clough et al., 1975)와 비교하였다. 또한, 2차 미분 근사 함수와 1차 미분 근사함수를 모두 사용하여 두 해석결과의 특징을 분석하였다.
내부와 경계의 모든 지배방정식을 1차 미분 근사함수를 이용하여 이산화 하였다. 그러나 하나의 시스템 방정식을 구성 하기 위해서는 운동방정식에 남아 있는 가속도 항을 변위로 치환해 주어야 한다.
다양한 해석 결과를 확인하기 위하여 Fig. 7과 같이 세 면이 롤러로 고정되어 있는 직사각형 조각 문제를 해석하였다 (Dominguez, 1993). 총 231개의 절점으로 해석 대상을 모사 하였으며, 외력P=1kN는 등분포의 형태로 시간에 따라 일정 하게 적용하였다.
, 1975)와 비교하였다. 또한, 2차 미분 근사 함수와 1차 미분 근사함수를 모두 사용하여 두 해석결과의 특징을 분석하였다. 외력 P=1kN은 등분포의 형태로 시간에 따라서 일정하게 적용하였으며, 전체 85개의 절점으로 모델링 하였다.
본 논문에서는 MLS 차분법의 1차 미분 근사함수만을 이용하여 운동방정식을 이산화하고 동적해석을 수행하였다. 운동 방정식을 이산화하는 과정에서 시간적분 방법으로 중앙차분법을 활용하였으며, 해석결과의 정확성을 확인하기 위해 1차 미분 근사함수를 사용한 해석결과를 2차 미분 근사함수의 해석결과 뿐만 아니라 수치예제의 이론해도 함께 비교하였다.
본 논문에서는 MLS 차분법의 1차 미분 근사함수만을 이용해서 운동방정식을 이산화하고 동적문제를 해석한다. 기본적 으로 MLS 차분법은 지배방정식을 강형식 형태로 절점 정보를 이용해서 수치해석을 할 수 있기 때문에 약형식을 사용하는 수치방법들에 비교하여 해석량이 적은 편이다.
본 장에서는 Taylor 전개의 1차 미분식만을 이용하여 MLS 차분법의 미분근사식을 유도한 후, 2차 미분이 필요한 강형식 지배방정식을 1차 미분근사식으로 이산화하는 과정을 소개 한다. 이 과정에서 운동방정식을 변위화시키기 위해 중앙차분법을 활용하여 시간적분을 하였다.
또한, 2차 미분 근사 함수와 1차 미분 근사함수를 모두 사용하여 두 해석결과의 특징을 분석하였다. 외력 P=1kN은 등분포의 형태로 시간에 따라서 일정하게 적용하였으며, 전체 85개의 절점으로 모델링 하였다. 해석대상의 재료 물성치는 밀도 Ρ=1.
우선, 앞서 제시한 K와 M의 특징을 살펴보기 위하여 Fig. 1과 같은 1차원 단순보의 고유진동을 계산하였다. 단순보를 총 101개의 절점으로 모사하였으며, 재료의 물성치는 밀도 Ρ=7.
본 논문에서는 MLS 차분법의 1차 미분 근사함수만을 이용하여 운동방정식을 이산화하고 동적해석을 수행하였다. 운동 방정식을 이산화하는 과정에서 시간적분 방법으로 중앙차분법을 활용하였으며, 해석결과의 정확성을 확인하기 위해 1차 미분 근사함수를 사용한 해석결과를 2차 미분 근사함수의 해석결과 뿐만 아니라 수치예제의 이론해도 함께 비교하였다.
이 장에서는 1차원 단순보의 고유진동을 계산하여 MLS 차분법과 유한요소법을 비교한 후, 2차원 문제들을 MLS 차분 법으로 동적해석하여 이론값과 비교하는 과정을 통해 본 논문에서 제시하는 알고리즘의 정확성을 살펴본다.

대상 데이터

단순보를 총 101개의 절점으로 모사하였으며, 재료의 물성치는 밀도 Ρ=7.24×10-4kg/m3, 탄성계수E = 3.0×107N/m2를 적용하였다.
7과 같이 세 면이 롤러로 고정되어 있는 직사각형 조각 문제를 해석하였다 (Dominguez, 1993). 총 231개의 절점으로 해석 대상을 모사 하였으며, 외력P=1kN는 등분포의 형태로 시간에 따라 일정 하게 적용하였다. 평면변형률 상태를 가정하였으며, 탄성계수는 E=1.

이론/모형

그러나 하나의 시스템 방정식을 구성 하기 위해서는 운동방정식에 남아 있는 가속도 항을 변위로 치환해 주어야 한다. 가속도 항을 변위로 바꾸기 위해서는 시간 적분이 필요한데, 본 논문에서는 가장 널리 사용되고 있는 중앙 차분법을 활용하였다. 중앙차분법의 가속도 식은 아래와 같다
또한, 1차 미분 근사함수를 사용할 경우, 차분법 형태로 정리되었던 기존의 수치방법들을 요소법 형태로 재정의할 수 있기 때문에 요소법의 알고리즘을 그대로 활용할 수 있다. 시간에 따른 해석을 위해서 중앙차분법(central difference method)으로 수치적분하며, 본 논문에서 제시 하는 알고리즘의 정확성을 검증하기 위해 유한요소법의 해석 결과와 기존의 2차 미분 근사함수를 활용한 해석결과를 활용한다.
본 장에서는 Taylor 전개의 1차 미분식만을 이용하여 MLS 차분법의 미분근사식을 유도한 후, 2차 미분이 필요한 강형식 지배방정식을 1차 미분근사식으로 이산화하는 과정을 소개 한다. 이 과정에서 운동방정식을 변위화시키기 위해 중앙차분법을 활용하여 시간적분을 하였다.
이렇게 되면 K와 M을 이용해서 모드해석을 수 행할 수 있다. 차분법의 경우 모드해석을 수행하기 위해서는 복잡한 수식을 다뤄야 했지만 본 논문에서 제시하는 방법은 유한요소에서 사용하는 간단한 매트릭스 방법을 이용하여 해석 할 수 있다.
본 논문에서처럼 차분법을 유한요소법과 유사한 형태로 정리하게 되면 유한요소법에서 사용하는 다양한 해석 방법을 차분법에 도입할 수 있게 된다. 한 예로 본 논문에서 MLS 차분법으로 해석대상의 고유진동 해석을 수행할 때, 유한요소법에서 사용하는 해석방법을 그대로 활용하였다. 또한, 1차 미분 근사함수의 이용은 비선형 해석에 서도 유한요소의 알고리즘을 그래도 활용할 수 있게 해준다 (Yoon, 2016).

성능/효과

그러나 1차 미분 근사 함수만으로 지배방정식을 이산화하게 되면 유한요소법과 비슷한 형태로 정리가 가능하며, 수식적 표현이 간단해졌다. 또한, 2차 미분 근사함수를 사용하면서 발생하는 해석결과의 떨림현상을 1차 미분 근사함수를 사용하면서 억제시킬 수 있었으며, 추가적으로 해석대상의 응력분포를 비교적 고르게 해석할 수 있었다.
응력은 변위를 공간으로 한번 미분한 값으로 변형률과 같은 차원을 갖는다. 앞선 예제의 속도 결과와 마찬 가지로 1차 미분 근사함수를 사용하였을 때, 응력 결과의 떨림 현상이 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 시간뿐만 아니라 공간으로 변위를 미분할 때도 1차 미분 근사함수 사용의 특징이 잘 나타나고 있다

후속연구

그렇기 때문에 해석의 안정성 및 다양한 해석으로의 응용성이 높아 현재까지 상용프로그램의 주된 해석 방법으로 사용되고 있다. 본 논문에서처럼 차분법을 유한요소법과 유사한 형태로 정리하게 되면 유한요소법에서 사용하는 다양한 해석 방법을 차분법에 도입할 수 있게 된다. 한 예로 본 논문에서 MLS 차분법으로 해석대상의 고유진동 해석을 수행할 때, 유한요소법에서 사용하는 해석방법을 그대로 활용하였다.
또한, 1차 미분 근사함수의 이용은 비선형 해석에 서도 유한요소의 알고리즘을 그래도 활용할 수 있게 해준다 (Yoon, 2016). 추후에 본 논문의 알고리즘이 다양한 해석에 대한 MLS 차분법의 확장성을 높이는데 도움이 될 것으로 기대 된다

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한요소법의 이점은?	그러나 컴퓨터를 이용한 수치해석에 있어서 미분을 계산하기 어렵기 때문에 최대한 미분하는 횟수를 줄이는 방향으로 알고리즘이 발전하였다. 유한요소법(finite element method)은 이러한 문제를 해결하기 위하여 해석영역을 일정한 크기의 요소(mesh)로 나누어 적분계산 함으로써 지배방정식의 미분계산을 한 번으로 줄였다. 이 획기적인 방법으로 인해 수치해석 알고리즘이 크게 발전하였지만 해석 대상이 복잡해질수록 요소 때문에 많은 문제점들이 발생하였다.
	유한요소법이 갖는 한계는?	유한요소법(finite element method)은 이러한 문제를 해결하기 위하여 해석영역을 일정한 크기의 요소(mesh)로 나누어 적분계산 함으로써 지배방정식의 미분계산을 한 번으로 줄였다. 이 획기적인 방법으로 인해 수치해석 알고리즘이 크게 발전하였지만 해석 대상이 복잡해질수록 요소 때문에 많은 문제점들이 발생하였다. 복잡한 형상을 요소로 표현하는데 많은 시간과 노력이 필요했으며, 해석 과정에서 해석 대상의 형상이 변화할 경우 그 변화를 표현하기 매우 어려웠다.
	컴퓨터를 이용한 수치해석에서 알고리즘의 발전 방향은?	일반적인 고체역학 문제의 지배방정식은 변위에 대한 공간 2차 미분을 포함한다. 그러나 컴퓨터를 이용한 수치해석에 있어서 미분을 계산하기 어렵기 때문에 최대한 미분하는 횟수를 줄이는 방향으로 알고리즘이 발전하였다. 유한요소법(finite element method)은 이러한 문제를 해결하기 위하여 해석영역을 일정한 크기의 요소(mesh)로 나누어 적분계산 함으로써 지배방정식의 미분계산을 한 번으로 줄였다.

참고문헌 (16)

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