[논문]단위 조정에 따른 초등학생의 분수 개념 이해 분석

유진영; 신재홍

doi:10.7468/jksmec.2020.23.2.87

단위 조정에 따른 초등학생의 분수 개념 이해 분석
A Fourth Grade Student's Units Coordination for Fractions 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series C : Education of primary school mathematics, v.23 no.2, 2020년, pp.87 - 116

유진영 (한국교원대학교 대학원) , 신재홍 (한국교원대학교)

초록
AI-Helper

본 연구의 목적은 학생의 단위 조정 능력이 분수 개념 이해와 어떻게 관련되는지 탐구하는 데 있다. 이를 위해 초등학교 4학년 학생을 대상으로 4개월(2019.3.~2019.6.)에 걸쳐 교수 실험을 진행하였고 본 논문에서는 학생의 분수 개념 이해와 관련된 스킴과 조작이 교수 실험 동안 어떻게 변화하였는지에 대한 상세한 분석을 제시하였다. 학생의 단위 조정 조작은 분수 개념을 이해하는 능력과 밀접한 연관이 있는 것으로 나타났는데, 수업 초반에 부분 분수 스킴의 학생은 분수를 2수준 단위를 가지고 조작함으로써 분수를 또 다른 종류의 자연수로 인식하였다. 학생은 진분수와 전체 1을 단위 분수의 배수로 동시에 인식하면서 분수를 자연수와 명확히 구분하였다. 역 부분 분수 스킴의 학생은 1보다 큰 자연수를 내재화된 3수준 단위로, 자연수 아닌 가분수를 활동 중에 3수준 단위로 구성하였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 결론 및 교수학적 시사점을 제시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is to explore how units-coordination ability is related to understanding fraction concepts. For this purpose, a teaching experiment was conducted with one fourth grade student, Eunseo for four months(2019.3. ~ 2019.6.). We analyzed in details how Eunseo's units-coordinating operations related to her understanding of fraction changed during the teaching experiment. At an early stage, Eunseo with a partitive fraction scheme recognized fractions as another kind of natural numbers by manipulating fractions within a two-levels-of-units structure. As she simultaneously recognized proper fraction and a referent whole unit as a multiple of the unit fraction, she became to distinguish fractions from natural numbers in manipulating proper fractions. Eunseo with a reversible partitive fraction scheme constructed a natural number greater than 1, as having an interiorized three-levels-of-units structure and established an improper fraction with three levels of units in activity. Based on the results of this study, conclusions and pedagogical implications were presented.

주제어

표/그림 (19)

$[그림 1] 양으로서의 <TEX>$\frac{1}{4}$</TEX>에 대한 이해(Simon, 2006, p. 368) [Fig. 1] Understanding of <TEX>$\frac{1}{4}$</TEX> as a quantity(Simon, 2006, p. 368)$ 그림 [그림 1] 양으로서의 $\frac{1}{4}$에 대한 이해(Simon, 2006, p. 368) [Fig. 1] Understanding of $\frac{1}{4}$ as a quantity(Simon, 2006, p. 368)
$[그림 2] <TEX>$\frac{3}{5}$</TEX>을 인식하는 데 수반되는 2수준 단위 구조 [Fig. 2] Two-levels-of-units structure involved in conceiving <TEX>$\frac{3}{5}$</TEX>$ 그림 [그림 2] $\frac{3}{5}$을 인식하는 데 수반되는 2수준 단위 구조 [Fig. 2] Two-levels-of-units structure involved in conceiving $\frac{3}{5}$
$[그림 3] 부분 분수 스킴 학생의 <TEX>$\frac{7}{5}$</TEX>에 대한 이해 [Fig. 3] Understanding <TEX>$\frac{7}{5}$</TEX> of a student with a partitive fraction scheme$ 그림 [그림 3] 부분 분수 스킴 학생의 $\frac{7}{5}$에 대한 이해 [Fig. 3] Understanding $\frac{7}{5}$ of a student with a partitive fraction scheme
$[그림 4] <TEX>$\frac{3}{5}$</TEX>에서 전체를 복원하는 데 포함되는 3수준 단위 구조(Boyce & Norton, 2016, p. 13) [Fig. 4] Three-levels-of-units structure involved in reconstructing the whole from <TEX>$\frac{3}{5}$</TEX> (Boyce & Norton, 2016, p. 13)$ 그림 [그림 4] $\frac{3}{5}$에서 전체를 복원하는 데 포함되는 3수준 단위 구조(Boyce & Norton, 2016, p. 13) [Fig. 4] Three-levels-of-units structure involved in reconstructing the whole from $\frac{3}{5}$ (Boyce & Norton, 2016, p. 13)
$[그림 5] <TEX>$\frac{7}{5}$</TEX>을 인식하는 데 수반되는 3수준 단위 구조(Boyce & Norton, 2016, p. 14) [Fig. 5] Three-levels-of-units structure involved in conceiving <TEX>$\frac{7}{5}$</TEX> (Boyce & Norton, 2016, p. 14)$ 그림 [그림 5] $\frac{7}{5}$을 인식하는 데 수반되는 3수준 단위 구조(Boyce & Norton, 2016, p. 14) [Fig. 5] Three-levels-of-units structure involved in conceiving $\frac{7}{5}$ (Boyce & Norton, 2016, p. 14)
표 [표 1] 본 연구에 사용된 과제 [Table 1] Tasks used for this study
$[그림 6] <TEX>$\frac{12}{8}$</TEX>에 대한 은서의 첫 번째 그림 [Fig. 6] Eunseo's first drawing of twelve-eighths$ 그림 [그림 6] $\frac{12}{8}$에 대한 은서의 첫 번째 그림 [Fig. 6] Eunseo's first drawing of twelve-eighths
$[그림 7](왼쪽)(오른쪽) <TEX>$\frac{12}{8}$</TEX>에 대한 은서의 두 번째 그림 [Fig. 7](left)(right) Eunseo's second drawing of twelve-eighths$ 그림 [그림 7](왼쪽)(오른쪽) $\frac{12}{8}$에 대한 은서의 두 번째 그림 [Fig. 7](left)(right) Eunseo's second drawing of twelve-eighths
$[그림 8] <TEX>$\frac{12}{8}$</TEX>에 대한 은서의 세 번째 그림 [Fig. 8] Eunseo's third drawing of twelve-eighths$ 그림 [그림 8] $\frac{12}{8}$에 대한 은서의 세 번째 그림 [Fig. 8] Eunseo's third drawing of twelve-eighths
$[그림 9] <TEX>$\frac{12}{8}$</TEX>에 대한 은서의 식 표현 [Fig. 9] Eunseo's numerical expression of twelve-eighths$ 그림 [그림 9] $\frac{12}{8}$에 대한 은서의 식 표현 [Fig. 9] Eunseo's numerical expression of twelve-eighths
그림 [그림 10] 은서의 그림 [Fig. 10] Eunseo's drawing
그림 [그림 11] 은서의 식 표현 [Fig. 11] Eunseo's numerical expression
$[그림 12] 식 '<TEX>$\frac{1}{12}{\times}12=\frac{12}{12}$</TEX>'에 대한 은서의 설명 [Fig. 12] Eunseo’s explanation about the numerical expression, <TEX>$\frac{1}{12}{\times}12=\frac{12}{12}$</TEX>$ 그림 [그림 12] 식 '$\frac{1}{12}{\times}12=\frac{12}{12}$'에 대한 은서의 설명 [Fig. 12] Eunseo’s explanation about the numerical expression, $\frac{1}{12}{\times}12=\frac{12}{12}$
$[그림 13](왼쪽)(오른쪽) 은서의 <TEX>$\frac{5}{5}$</TEX>막대와 <TEX>$\frac{10}{5}$</TEX>막대 그림 [Fig. 13](left)(right) Eunseo's drawing of five fifth bar and ten fifth bar$ 그림 [그림 13](왼쪽)(오른쪽) 은서의 $\frac{5}{5}$막대와 $\frac{10}{5}$막대 그림 [Fig. 13](left)(right) Eunseo's drawing of five fifth bar and ten fifth bar
$[그림 14] <TEX>$\frac{10}{5}$</TEX>에 대한 은서의 식 표현 [Fig. 14] Eunseo's numerical expression of ten-fifths$ 그림 [그림 14] $\frac{10}{5}$에 대한 은서의 식 표현 [Fig. 14] Eunseo's numerical expression of ten-fifths
$[그림 15] 식 '<TEX>$\frac{1}{5}{\times}10=\frac{10}{5}$</TEX>'에 대한 은서의 설명 [Fig. 15] Eunseo’s explanation about the numerical expression, <TEX>$\frac{1}{5}{\times}10=\frac{10}{5}$</TEX>$ 그림 [그림 15] 식 '$\frac{1}{5}{\times}10=\frac{10}{5}$'에 대한 은서의 설명 [Fig. 15] Eunseo’s explanation about the numerical expression, $\frac{1}{5}{\times}10=\frac{10}{5}$
그림 [그림 16] 은서의 8등분 막대 그림 [Fig. 16] Eunseo's drawing of eight equal parts bar
$[그림 17] <TEX>$\frac{5}{3}$</TEX>에 대한 은서의 첫 번째 그림 [Fig. 17] Eunseo's first drawing of five-thirds$ 그림 [그림 17] $\frac{5}{3}$에 대한 은서의 첫 번째 그림 [Fig. 17] Eunseo's first drawing of five-thirds
$[그림 18] <TEX>$\frac{5}{3}$</TEX>에 대한 은서의 두 번째 그림 [Fig. 18] Eunseo's second drawing of five-thirds$ 그림 [그림 18] $\frac{5}{3}$에 대한 은서의 두 번째 그림 [Fig. 18] Eunseo's second drawing of five-thirds

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	분수 개념이란?	분수 개념이란 인지 주체가 분수를 수학적으로 어떻게 이해하고 있는지에 대한 정신적 표상 (re-presentation)이다. 부분-전체 개념은 우리나라 및 여러 나라 교과서의 분수 도입 상황에서 가장 기초적인 분수 이해의 출발점이다(이대현, 2018).
	진분수를 이해하는데 매우 유용한 것은?	진분수를 이해하는 데 부분-전체 개념은 매우 유용하다. 그러나 예를 들어 가분수를 부분-전체 개념으로 이해할 때 ‘4개 중의 5개’는 말이 되지 않는 상황이므로 이후 새롭게 도입되는 다른 분수 개념으로 조정해야 한다.
	부분-전체 개념은 무엇인가?	부분-전체 개념은 우리나라 및 여러 나라 교과서의 분수 도입 상황에서 가장 기초적인 분수 이해의 출발점이다(이대현, 2018). 이 개념은 어떤 대상을 전체로 간주하고 동일한 크기를 가지는 부분으로 등분할하는 상황에서 전체에 대한 부분인 ‘m 개 중의 n개’ 구조로 분수를 이해하는 것이다. 학생의 분수 개념이 계속 성숙해 가더라도 부분-전체 개념은항상 분수 개념의 한 부분으로 남아 있다는 점에서 중요한 기저이다(Hackenberg, Norton, & Wright, 2019).

참고문헌 (45)

Kang, H. K. (2013). An analysis on aspects of concepts and models of fraction appeared in Korea elementary mathematics textbook. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 17(3), 431-455.
Ministry of Education (2015). Mathematics curriculum. Notification of the Ministry of Education No. 2015-74. [Vol. 8]
Kim, S. H., Shin, J. H. & Lee, S. J. (2019). Algebraic representations of middle school students with different fraction knowledge. Journal of Educational Research in Mathematic, 29(4), 625-654.

상세보기
Lee, D. H. (2018). A comparative analysis on the fraction contents of Korean, Japanese, Singaporean, American, and Finnish mathematics textbooks. J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. C: Education of Primary School Mathematics, 21(2), 111-130.
Lee, J. Y., & Pang, J. S. (2014). Sixth grade students' understanding on unit as a foundation of multiple interpretations of fraction. Journal of Educational Research in Mathematic, 24(1), 83-102.
Lee, J. Y. (2019). A study on introducing fractions in mathematics textbooks: Focused on stages of units coordination. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 23(3), 323-345.
Jeong, E. S. (2006). An educational analysis on fraction concept. School Mathematics, 8(2), 123-138.
Choi, K. B. (2015). A comparative study of elementary school mathematics textbooks of Korea(2007 Curriculums) and America(Harcourt Math). Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 19(1), 17-37.
Baturo, A. R. (2004). Empowering Andrea to help year 5 students construct fraction understanding. Proceedings of the Annual Meeting of the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 95-102). Bergen, Norway: Bergen University College.
Boulet, G. (1998). Didactical implications of children's difficulties in learning the fraction concept. Focus on Learning Problems in Mathematics, 20(4), 19-34.

상세보기
Boyce, S., & Norton, A. (2016). Co-construction of fraction schemes and units coordinating structure. Journal of Mathematical Behavior, 41, 10-25.

상세보기
Common Core State Standards Initiative. (2010). Common Core State Standards for Mathematics. Retrieved from http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf.
Hackenberg, A. J. (2005). Construction of algebraic reasoning and mathematical caring relations. Unpublished doctoral dissertation, University of Georgia, Athens, GA.
Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47.

상세보기
Hackenberg, A. J. (2010). Students' reasoning with reversible multiplicative relationships. Cognition and Instruction, 28(4), 383-432.

상세보기
Hackenberg, A. J. (2013). The fractional knowledge and algebraic reasoning of students with the first multiplicative concept. Journal of Mathematical Behavior, 32(3), 538-563.

상세보기
Hackenberg, A. J., Norton, A., & Wright, R. J. (2019). 학생의 분수 지식 수준 평가와 지도(이수진 역). 서울:경문사. (원저 2016년 출판)
Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. (2009). Students' whole number multiplicative concepts: A critical constructive resource for fraction composition schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(1), 1-18.

상세보기
Izsak, A., Tillema, E. S., & Tunc-Pekkan, Z. (2008). Teaching and learning fraction addition on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 39(1), 33-62.

상세보기
Kieren, T. E. (1980). The rational number construct-Its elements and mechanisms. In T. E. Kieren (Ed.), Recent research on number learning (pp. 125-149). Columbus: ERIC/SMEAC.
Lamon, S. J. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Mack, N. K. (2001). Building on informal knowledge through instruction in a complex content domain: Partitioning, units, and understanding multiplication of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 267-296.

상세보기
McCloskey, A. V., & Norton, A. H. (2008). Modeling students' mathematics using Steffe's fraction schemes. Teaching Children Mathematics (August 2008), 15(1), 48-54.

상세보기
Norton, A. (2008). Josh's operational conjectures: Abductions of a splitting operation and the construction of new fractional schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 401-430.

상세보기
Norton, A., & Boyce, S. (2015). Provoking the construction of a structure for coordinating n+1 levels of units. Journal of Mathematical Behavior, 40, 211-232.

상세보기
Norton, A., & Wilkins, J. (2009). A quantitative analysis of children's splitting operations and fraction schemes. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47.
Norton, A., & Wilkins, J. (2010). Students' partitive reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 29(4), 181-194.

상세보기
Olive, J. (1999). From fractions to rational numbers of arithemetic: A reorganization hypothesis. Mathematical Thinking and Learning, 1(4), 279-314.

상세보기
Olive, J., & Vomvoridi, E. (2006). Making sense of instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior, 25(1), 18-45.

상세보기
Olive, J., & Steffe, L. P. (2002). The construction of an iterative fractional scheme: The case of Joe. Journal of Mathematical Behavior, 20(4), 413-437.
Piaget, J. (1970). Genetic epistemology(E. Duckworth, Trans.). New York, NY: W.W. Norton.
Shin, J. H. (2010). Students' construction of fractional knowledge through modification of their generalized number sequence (GNS). Unpublished doctoral dissertation, The University of Georgia, Athens, GA.
Shin, J., & Lee, S. J. (2018). The alignment of student fraction learning with textbooks in Korea and the United States. Journal of Mathematical Behavior, 51, 129-149.

상세보기
Simon, M. A. (2006). Key developmental understandings in mathematics: A direction for investigating and establishing learning goals. Mathematical Thinking and Learning, 8(4), 359-371.

상세보기
Steffe, L. P. (1992). Schemes of action and operation involving composite units. Learning and Individual Differences, 4(3), 259-309.

상세보기
Steffe, L. P. (2002). A new hypothesis concerning children's fractional knowledge. Journal of Mathematical Behavior, 20(3), 267-307.
Steffe, L. P. (2003). Fractional commensurate, composition, and adding schemes learning trajectories of Jason and Laura: Grade 5. Journal of Mathematical Behavior, 22(3), 237-295.

상세보기
Steffe, L. P., & Kieren, T. (1994). Radical constructivism and mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25(6), 711-733.

상세보기
Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children's fractional knowledge. New York, NY: Springer.
Steffe, L. P., & Thompson, P. (2000). Teaching experiment methodology: Underlying principles and essential elements. In A. E. Kelly, & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 267-306). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Thompson, P. W. (2008). Conceptual analysis of mathematical ideas: Some spadework at the foundations of mathematics education. In O. Figueras, J. L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano & A. Sepulveda (Eds.), Plenary Paper presented at the Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 31-49). Morelia, Mexico: PME.
Thompson, P. W., & Saldanha, L. A. (2003). Fractions and multiplicative reasoning. In J. Kilpatrick, W. G. Martin & D. Schifter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Tzur, R. (1999). An integrated study of children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 390-416.

상세보기
Tzur, R. (2004). Teachers' and students' joint production of a reversible fraction conception. Journal of Mathematical Behavior, 23(1), 93-114.

상세보기
von Glasersfeld, E. (1995). Radical constructivism: A way of knowing and learning (Vol. 6). London: Falmer.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증