[논문]수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발 연구: 중학교 1학년 함수 영역을 중심으로

허난; 김수철

doi:10.7858/eamj.2020.030

수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발 연구: 중학교 1학년 함수 영역을 중심으로
Development of Mathematics Assessment and Correction Materials according to Mathematics Learning Hierarchy: Focused on the Function for 7th Grade 원문보기

East Asian mathematical journal, v.36 no.4, 2020년, pp.437 - 454

허난 (Kyonggi University) , 김수철 (Daegu Catholic University)

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The purpose of this study is to develop a mathematical assessment and correction materials according to the mathematics learning hierarchy. The scope of the study is set to 'function' in 7th grade of middle school. The researchers developed a draft of the mathematical assessment and correction materials based on the mathematics learning hierarchy through the pilot test and the expert review. Using the results of the expert review, the researchers modified and supplemented the math assessment and correction materials to produce the final version. The mathematics assessment and correction material developed in this study is expected to build an effective guidance system for students with mathematics deficits. In addition, by presenting a mathematical assessment and correction materials to the teachers in the field, it is possible to reduce the effort for the management of underachievers and to provide guidance for the education of students with a lack of math learning.

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문제 정의

개발된 평가ㆍ보정자료의 내용타당도를 높이기 위하여 보다 엄격한 기준이 되는 Lynn(1986)의 내용타당도 지수를 활용하여 개발된 자료의 내용타당도를 검증하고자하였다. 따라서 전체 4점 척도 중 3점(적절하다) 혹은 4점(매우 적절하다)에 표시한 검토자 수를 전체 인원수로 나눠서 산출한 결과 값, 즉 CVI=1이 되는 경우에 대하여 내용타당도가 적절한 것으로 판단하고 그 외에는 수정·보완이 필요한 것으로 판단하였다.
따라서 본 연구에서는 실제 교육현장에서 활용 가능한 수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발하고자 한다.
이를 위하여 학습 위계를 세분화하고 이에 따라 학습 위계에 따른 평가도구 개발하여 수학 학습 위계에 따른 학습 결과에 대한 평가에서 학습을 위한, 학습으로서의 평가로 그 패러다임을 확장하고자 한다. 또한 맞춤형 보정자료를 개발함으로써 학생들의 수학 학습 결손을 미연에 방지하고 학습자의 수학 학습 결손을 보정하여 교육 현장에서 수학 학습 결손 학생들을 위한 효과적인 지도 체계 구축하는데 기여하고자 한다.
재평가지는 학습 결손의 대상자가 보정교육을 실시한 후 학습목표 도달여부를 재확인하기 위해 개발되었다. 또한 형성평가와 재평가 점수의 비교를 통해 보정자료의 효과를 검증하기 위한 목적도 지니고 있다. 따라서 재평가는 학습목표, 성취기준, 문항유형, 문항 수 등이 형성평가와 동일하게 개발되었다.
본 연구에서는 수학 학습 결손 학생들의 수학 학습 결손을 해소하고 효과적인 지도 체계 구축하기 위해 중학교 1학년 함수 영역을 중심으로 수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발하였다.
본 연구에서는 수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 모델을 개발하기 위하여 교육현장에서 학생들이 어려워하는 수학 개념인 ‘함수’영역을 중심으로 학습 요소의 위계를 세분화하고 중학교 수학과 평가도구 및 보정자료를 개발하였다.
최종본은 중학교 6차시 내용을 개발하였다. 본 절에서는 그 중 3차시에 해당하는 평가도구 및 보정자료 등을 제시하였다.
따라서 본 연구에서는 실제 교육현장에서 활용 가능한 수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발하고자 한다. 이를 위하여 학습 위계를 세분화하고 이에 따라 학습 위계에 따른 평가도구 개발하여 수학 학습 위계에 따른 학습 결과에 대한 평가에서 학습을 위한, 학습으로서의 평가로 그 패러다임을 확장하고자 한다. 또한 맞춤형 보정자료를 개발함으로써 학생들의 수학 학습 결손을 미연에 방지하고 학습자의 수학 학습 결손을 보정하여 교육 현장에서 수학 학습 결손 학생들을 위한 효과적인 지도 체계 구축하는데 기여하고자 한다.
(2012)은 수학 개념의 진단체계를 개발하려는 목적으로 인공지능과 진단에 있어서 높은 인식률을 지닌 베이지안 네트워크를 도입하고 전산화된 평가의 연역적 방법들을 적용하여 연구를 수행하였다. 학생들이 수학학습에서 직면하는 어려움을 이해함으로써 즉각적인 보정수단들을 시행하는 데 도움을 주려는 목적을 지니고 연구를 시행하였으며, 연구에서 입증된 전산화된 진단평가는 학생들이 범하는 실수 유형들을 진단할 수 있었다. 이는 학생들이 자신들의 개념적 오류들을 깨닫도록 하는데 있어 도움을 줄 뿐만 아니라 교사들이 학생들이 범하는 실수 유형들을 파악함으로써 집단 보정 교수를 시행하는데 도움이 된다는 것을 시사하고 있다.
학습목표 및 성취기준은 중학교 교사 4인 및 수학교육 전공 교수 2인의 지속적인 논의를 통하여 학습요소를 최대한 세분화하여 제시하며, 성취기준을 보다 구체적으로 작성하고자 하였다. 예를 들어 교육과정 상의 중학교 1학년의 3차시의 학습목표는 ‘다양한 상황이나 속력과 거리, 속력과 시간 같은 실생활의 예를 통해 정비례, 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

제안 방법

김명화(2012)는 기초학력 진단평가를 통해 학생들의 보정학습에 도움이 될 수 있는 필수 학습요소별 진단정보 제공 가능성을 탐색하였다. 기초수학 영역의 9개 필수 학습요소를 인지속성으로 하여 문항 반응과 인지요소의 관계를 토대로 한 인지진단 모델을 적용하고 학생의 숙달 요소별 보정학습이 필요함을 제시하였다.
그리고 가이드라인에는 어떠한 방법과 활동을 통해 학생의 이해를 높일 수 있는지도 구체적으로 기술되어 있다. 또한 보정자료에는 문제와 보정개념을 함께 제시함으로써 학생들이 자기주도적으로 문제를 해결할 수 있도록 제작하였다.
또한 진단도구의 초안으로 작성된 문항에 대한 내용타당도 검사를 통해 CVI값이 1이 되지 않는 문항의 항목에 대한 검토의견을 반영하고 이를 토대로 수정· 보완하여 진단도구 최종본을 완성하였다.
또한 현장 교사들의 수학 평가·보정 자료의 활용에 대한 이해를 돕기 위해 함수 영역의 각 차시별 학습요소 및 위계표, 학습목표, 성취기준, 지도상의 유의점 등을 세부적으로 작성하였으며 보정자료에 대한 교사 가이드라인을 제작하였다.
문제기반 학습 모델에 의한 수학 문제해결 성취의 진단평가와 보정지도 결과의 분석 연구(Hikmasari, Kartono, & Mariani, 2017)에서는 진단평가와 보정지도에 의한 문제기반 학습 모델을 사용한 학습자의 문제해결 능력이 자격시험 점수의 75% 이상을 달성하였음을 보여준다. 문제기반 학습 모델에 의한 학습 자료를 받은 후에 기준성취를 보이지 않은 학습자에 대해 진단평가와 보정지도 과정이 수행되었다. 보정 교육 실시 후 총괄평가를 실시한 후에 연구 학급 참가자의 대부분이 명시된 최소 점수 기준보다 더 좋은 점수를 얻었음을 보여주어 진단평가와 보정지도 결과가 효과적임을 시사하고 있다.
보정자료의 초안으로 작성된 문항에 대한 내용타당도 검사를 통해 CVI값이 1이 되지 않는 문항의 항목에 대한 검토의견을 반영하고 이를 토대로 수정· 보완하여 보정자료 최종본을 완성하였다.
본 연구에서의 진단 및 보정자료 문항의 내용타당도 검증을 위해 수학교육학 전공자인 전문가 3인의 합의를 통해 Lynn(1986)의 문항내용 내용타당도 지수(I-CVI) 및 척도 내용타당도 지수(S-CVI)를 활용한 진단 및 보정자료 문항의 내용타당도 점검표를 [표 1]과 같이 작성하였으며 각 항목별 평가는 4점 척도로 설정하였다.
수학 평가·보정 자료 초안을 개발한 다음, 파일럿 테스트와 전문가 검토를 거쳐 평가·보정 자료를 수정 또는 보완하는 과정을 거쳤다.
수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발을 위하여 2015 개정 중학교 수학과 교육과정 함수 영역의 성취기준을 활용하여 중학교 1학년 수준의 학습요소를 추출하고, 그 학습요소에 대한 하위 학습요소를 초등학교 수준까지 추출하는 과정을 통해 학습요소를 세분화하고 위계표를 평가·보정 자료 개발을 위한 기준으로 설정하였다.
수학과 보정학습이 필요한 학생들을 선별하기 위해 ‘기초학력 진단평가 도구’를 개발하였으며, 선별된 학생들을 대상으로 해당 단계에 대한 단계(단원)별 진단평가를 실시하여 보정학습이 필요한 학생 들에게 보정학습을 실시하고 보정학습을 마친 학생들은 학업성취 확인과 보정학습 프로그램의 효과를 점검하기 위해 ‘단원평가’를 실시하였다.
이를 토대로 각 학습요소별로 문항 및 보정자료를 개발하였다. 연구 개발은 중학교 1학년 함수 영역의 학습 위계에 따른 평가도구 및 보정 자료가 개발되었으며, 평가도구로는 형성평가, 학습요소별 진단도구, 재평가의 세 종류의 평가지가 개발되었다. 또한 현장 교사들의 수학 평가·보정 자료의 활용에 대한 이해를 돕기 위해 함수 영역의 각 차시별 학습요소 및 위계표, 학습목표, 성취기준, 지도상의 유의점 등을 세부적으로 작성하였으며 보정자료에 대한 교사 가이드라인을 제작하였다.
위와 같은 형성평가지 제공에 앞서서 1차시 분량 수업의 학습요소와 학습요소 위계표, 학습목표와 성취기준, 지도상의 유의점 등을 현장 교사에게 제공할 필요가 있다고 판단하여 이를 함께 개발하였다.
고등학교 학생들의 보정 수학교육에서 디지털 노트북의 적용에 대한 연구(Chang, 2015)는 고등학교 학생들의 대수 학습 진행을 기록하고 분석하기 위해 디지털 노트북을 사용하였다. 이 연구에서는 고등학교 학생들의 대수적 실수 유형의 분석 후, 교사는 전통적인 강의 그룹과 온라인 자기주도학습 그룹을 포함하는 보정지도 교육과정을 설계하였다. 보정 지도 결과, 강의에 의한 지도는 실시간 상호작용과 학생과 교사 사이의 질문과 대답을 촉진하여 강의 그룹 학생들의 수준이 온라인 자기주도학습 그룹의 학생들과 비교하여 의미 있게 향상되었다.
이러한 과정을 거쳐 생성된 학습요소 위계표를 평가·보정 자료 개발을 위한 기준으로 설정하고, 각 학습요소별로 문항 및 보정자료를 개발하였다.
수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발을 위하여 2015 개정 중학교 수학과 교육과정 함수 영역의 성취기준을 활용하여 중학교 1학년 수준의 학습요소를 추출하고, 그 학습요소에 대한 하위 학습요소를 초등학교 수준까지 추출하는 과정을 통해 학습요소를 세분화하고 위계표를 평가·보정 자료 개발을 위한 기준으로 설정하였다. 이를 토대로 각 학습요소별로 문항 및 보정자료를 개발하였다. 연구 개발은 중학교 1학년 함수 영역의 학습 위계에 따른 평가도구 및 보정 자료가 개발되었으며, 평가도구로는 형성평가, 학습요소별 진단도구, 재평가의 세 종류의 평가지가 개발되었다.
따라서 재평가는 학습목표, 성취기준, 문항유형, 문항 수 등이 형성평가와 동일하게 개발되었다. 재평가의 각 문항은 초안으로 작성된 문항에 대한 내용타당도 검사를 통해 CVI값이 1이 되지 않는 문항의 항목에 대한 검토의견을 반영하고 이를 토대로 재평가 최종본을 완성하였다.
지도상의 유의점 또한 기본적으로는 교육과정에 있는 지도상의 유의점을 활용하였으며 보다 구체적으로 제시해야 할 내용이 있다면 이를 세분화하여 제시하였다.
또한 수학 학습 위계에 따른 보정자료는 진단도구와 세트로 제작되었다. 최종본은 중학교 6차시 내용을 개발하였다. 본 절에서는 그 중 3차시에 해당하는 평가도구 및 보정자료 등을 제시하였다.
평가도구로는 형성평가, 학습요소별 진단도구, 재평가의 세 종류의 평가지를 개발하였으며 함수 영역의 각 차시별 학습요소 및 위계표, 학습목표, 성취기준, 지도상의 유의점 등을 추가적으로 개발하였는데 이는 현장 교사들의 수학 평가·보정 자료의 활용에 대한 이해를 돕기 위한 것이다.
학습 평가지 제공을 위해 차시별 학습요소 위계표를 작성하여 파일럿 테스트의 결과를 통해 중학교 교사 4인과 초등학교 교사 5인 및 수학교육 전공 교수 2인의 논의를 통해 평가보정자료의 학습요소 위계표([그림 3])를 작성하였다. 학습요소 위계표에는 형성평가 1～3번 문항에 포함된 학습요소 및 하위 학습요소를 제시하였다.
형성평가의 각 문항은 초안으로 작성된 문항에 대한 내용타당도 검사를 통해 CVI값이 1이 되지 않는 문항의 항목에 대한 검토의견을 반영하고 이를 토대로 수정· 보완하여 최종본을 완성하였다.

대상 데이터

따라서 수학 학습 위계의 세분화 및 재구조화의 대상은 중학교 함수 영역과 연계된 중학교 ‘함수’단원 전체와 고등학교 1학년 ‘함수’단원, 초등학교 ‘규칙과 대응’, ‘비례식과 비례배분’, ‘비와 비율’, ‘자료의 정리’ 단원을 그 대상으로 하였다.
본 연구에서의 수학 평가·보정자료의 개발을 위해 중학교 1학년 ‘함수’ 영역을 설정하였다.

이론/모형

수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 자료 개발을 위하여 먼저 학습 위계를 세분화하였다. 학습 위계의 세분화는 2015 개정 중학교 수학과 교육과정(교육부, 2015) 함수 영역의 성취기준을 활용하여 중학교 1학년 수준의 학습요소를 추출하고, 그 학습요소에 대한 하위 학습요소를 초등학교 수준까지 추출하여 표로 작성하였다. 이러한 과정을 거쳐 생성된 학습요소 위계표를 평가·보정 자료 개발을 위한 기준으로 설정하고, 각 학습요소별로 문항 및 보정자료를 개발하였다.

성능/효과

이 연구에서는 고등학교 학생들의 대수적 실수 유형의 분석 후, 교사는 전통적인 강의 그룹과 온라인 자기주도학습 그룹을 포함하는 보정지도 교육과정을 설계하였다. 보정 지도 결과, 강의에 의한 지도는 실시간 상호작용과 학생과 교사 사이의 질문과 대답을 촉진하여 강의 그룹 학생들의 수준이 온라인 자기주도학습 그룹의 학생들과 비교하여 의미 있게 향상되었다. 온라인 자기주도학습 그룹은 접근이 편리하고 시간과 공간의 제약을 받지 않는 이점이 있으며 학생들은 학습에서 주도적이었다.

후속연구

따라서 본 연구의 결과물인 수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 모델을 기반으로 다른 수학과 영역에서 활용 가능한 평가도구와 보정자료를 개발하고 실제 수업에 적용하는 연구는 계속적으로 수행될 필요가 있다.
또한 실제 수학교육 현장에서 적용 가능하도록 교수·학습 내용 및 방법을 구체화하고 학생들로 하여금 동기유발 및 개념의 내면화가 이루어질 수 있도록 보정자료를 제시할 필요가 있다.
수학 학습 위계에 따른 수학 평가·보정 프로그램을 교육 현장에 투입함으로써 초·중등 수학 교실에서 학생들의 학습 결손 상태를 즉각적으로 진단하고 처방할 수 있기 때문에 수포자를 예방하고 수학 기초 학력의 향상도 기대할 수 있다. 또한 현재 교육 현장에서 방과 후 학교 프로그램으로 진행하고 있는 수학 부진아 지도에 대안적인 프로그램으로 활용할 수도 있을 뿐 아니라 현장의 수학교사들에게 교과 부진학생 관리 및 수학 학습 지도에 대한 시사점을 제공해 줄 것이다.
본 연구에서 개발한 자료는 수학 학습요소를 위계에 따라 세분화하여 평가·보정 자료로서 학습 결손 정도에 따라 맞춤형 보정 자료를 제공하여 수학 학습 결손 학생들을 위한 효과적인 지도 체계를 구축할 수 있을 것으로 기대한다.
본 연구의 범위가 ‘함수’ 영역으로 제한되었으나 후속 연구에서는 다른 영역에 대한 수학 학습 위계의 세분화 및 재구조화, 다른 영역에 대한 수학 평가·보정 자료의 개발 등이 수행될 필요가 있다.

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용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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