본 연구에서는 지난 5, 6, 7차 교육과정 교과서의 비와 비율 관련 용어 정의의 변천과정을 검토하고, 이를 바탕으로 2007 개정 교과서의 정의에서 개선된 사항은 무엇이고 여전히 남아있는 문제는 무엇인지 살펴본다. 그리고 비율, 비의 값, 백분율의 관계를 재설정함으로써 그 용어들에 대한 대안적 정의를 제안한다. 마지막으로 비와 비율 관련 용어 정의와 관련된 이러한 문제는 동치류로서의 비의 수학적 속성을 충분히 다루지 않은 채로 비율 관련 용어를 도입하고 있는 교과서의 내용 전개 자체에 내재하고 있음을 지적한다.
본 연구에서는 지난 5, 6, 7차 교육과정 교과서의 비와 비율 관련 용어 정의의 변천과정을 검토하고, 이를 바탕으로 2007 개정 교과서의 정의에서 개선된 사항은 무엇이고 여전히 남아있는 문제는 무엇인지 살펴본다. 그리고 비율, 비의 값, 백분율의 관계를 재설정함으로써 그 용어들에 대한 대안적 정의를 제안한다. 마지막으로 비와 비율 관련 용어 정의와 관련된 이러한 문제는 동치류로서의 비의 수학적 속성을 충분히 다루지 않은 채로 비율 관련 용어를 도입하고 있는 교과서의 내용 전개 자체에 내재하고 있음을 지적한다.
In this study I examine the definitions of terms related to ratio and rate from 5, 6, 7th revised elementary school math textbooks to discuss the improvements and the remained problems in 2007 curriculum textbook. Next, I make the alternative definitions of the terms, 'biyoul', the value of 'bi', an...
In this study I examine the definitions of terms related to ratio and rate from 5, 6, 7th revised elementary school math textbooks to discuss the improvements and the remained problems in 2007 curriculum textbook. Next, I make the alternative definitions of the terms, 'biyoul', the value of 'bi', and 'baekboonyul' by re-establishing the relations between them. Finally, I point out that those problems are intrinsic to the attempt of the textbook to introduce the terms related to ratio with little consideration for the mathematical meaning of ratio as a equivalence class.
In this study I examine the definitions of terms related to ratio and rate from 5, 6, 7th revised elementary school math textbooks to discuss the improvements and the remained problems in 2007 curriculum textbook. Next, I make the alternative definitions of the terms, 'biyoul', the value of 'bi', and 'baekboonyul' by re-establishing the relations between them. Finally, I point out that those problems are intrinsic to the attempt of the textbook to introduce the terms related to ratio with little consideration for the mathematical meaning of ratio as a equivalence class.
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문제 정의
마지막으로 백분율에 대해서 살펴보자. 2007개정 교과서는 예를 들어 ‘85%’와 같이 기존의 %로 나타내는 표현뿐 아니라, ‘#과 같이 분모가 100인 분수 표현 또한 백분율로서 받아들이고 있다(그림 Ⅱ-4).
마지막으로 백분율의 정의를 살펴보자. 7차 교과서에는 “기준량을 100으로 할 때의 비율을 백분율이라 하고, 기호 %를 써서 나타냅니다.
마지막으로, 백분율의 정의에 대해 살펴보자. 변화된 부분도 있었지만, 앞서 지적한 백분율 정의에 존재했던 문제점은 ‘기준량을 100으로 할 때 비교하는 양 …의 비율’이란 표현에 그대로 남아있다.
본 연구는 기존의 초등학교 교과서에서 비, 비율, 비의 값의 정의에 내재한 문제점이 무엇인지 그 정의 자체의 논리적 타당성에 중점을 두어 살펴보고, 그 결과를 바탕으로 2007 개정 교육과정 교과서에서 개선된 점은 무엇이며 남아있는 문제점은 무엇인지 확인한다. 그리고 비율과 비의 값이라는 두 용어의 관계를 다시 설정함으로써 하나의 대안적인 정의 방법을 제안한다.
이상의 연구들이 논의한 결과는 2007 개정 교과서에서 일부 반영된 것으로 보인다. 우선,비의 정의에 대해 살펴보자. 2007 개정 교과서에서는 비의 도입에 앞서 표를 활용하여 두 양 사이의 규칙성을 찾는 활동을 제시하고 있다(그림 Ⅱ-1).
이제 지금까지의 고찰을 바탕으로 2007 개정 교과서의 변화 내용에 대해 고찰하고자 한다.
가설 설정
첫째, 비율, 비의 값, 백분율의 정의에 논리상의 문제점이 있다는 것. 둘째, 그 세 개념 사이의 관계가 모호하다는 것. 이어서 2007 개정 교과서의 변화 내용에 대해 고찰한 후, 다음 장에서는 이 두 문제의 해결에 초점을 둔 하나의 대안을 모색할 것이다.
박교식(2010)은 우리나라, 일본, 중국에서 다루어지는 비율과 비의 값, 북한에서 다루어지는 비의 값에 대한 조사를 바탕으로 비율과 비의 값의 가능한 정의를 목록화하고 그 중 가장 적합한 정의가 무엇인지 판단한다. 비율에 대해서는 우선 두 양이 아닌 두 수에 대한 비율은 생각하지 않고, 비교하는 양과 기준량의 단위가 같은 경우에만 비율이라는 용어를 사용하는 것으로 한정하자고 제안한다. 그리고 그 정의로 세 가지를 들고 그 중 “비교량이 기준량의 몇 배인가를 나타내는 수를 비율이라고 한다.
제안 방법
그리고 비율과 비의 값이라는 두 용어의 관계를 다시 설정함으로써 하나의 대안적인 정의 방법을 제안한다.
2007 개정 교과서에서 변화된 내용을 정확하게 평가하기 위해서는 직전의 7차 교과서에서 용어 사용이 어떠했는지 정밀히 검토할 필요가 있다. 따라서 우선 7차 교과서에서 비, 비율,비의 값, 백분율 등의 용어를 어떻게 사용했으며 그에 내재한 논리상의 문제는 무엇이었는지를 살펴볼 것이다. 한편, 5, 6차 교육과정 교과서는 이 관점에서 상당히 다른 정의를 제시하고 있다.
”를 사용할 것을 제안한다. 비의 값의 정의로는 다섯 가지를 들고 그 중 비의 값이라는 개념이 비에서 비롯한 것임을 분명히 해 준다는 점에서 비 A : B 의 값을 A/B라고 하자는 정의를 제안한다. 그러나 이 값의 의미를 해석하는 순간 비의 값과 비율의 독립적인 존립은 불가능하며, 이런 점에서 비의 값이 실질적으로 기준량을 1로 하는 비율과 동일하다고 인정하는 것을 고려할 수 있다고 밝히고 있다.
또한 교과서에서 다루고 있는 비는 고정된 두 양 사이에 존재하는 곱셈적 관계를 인지하는 초보적 수준으로서, 상황을 조직하는 비례적 관점과 안목을 갖게 해 주지 못한다고 비판하였다. 이에 대한 개선을 위해 현실주의 수학교육에 바탕을 둔 Wiskobas 프로그램을 고찰하여, 비례적 추론을 개발하기 위한 프로그램의 조기 도입, 직관적이고 개념적인 비 개념 도입, 문맥 문제와 실생활 관련 문제 개발, 시각적 모델 사용의 필요성을 제기하였다.
성능/효과
5, 6차 교육과정에서 비율과 백분율은 각각 ‘기준량을 1로 보았을 때’, ‘기준량을 100으로 보았을 때’ 라는 특수한 경우의 비교하는 양이라는 점에서 동등한 관계에서 제시되었으며, 비의 값은 이에 앞서 비의 승법적 비교에서 도출되는 값으로서 별개로 제시되었다.
마지막으로 제언하자면, 비와 비율과 관련된 용어를 검토할 때, 이전 교육과정에서 고민하여 결정했을 것으로 보이는 사항들이 그 후속 교육과정의 교과서에 충실히 반영되지 못하는 모습을 발견할 수 있었다. 새 교육과정의 큰 틀에 맞추어 교과서의 구성이 바뀌는 것은 당연하고, 일부 내용에 대해서는 큰 변화도 올 수 있겠지만, 용어의 정의 및 배치와 같은 교과서의 섬세한 부분에서 이전 교과서에 담긴 고민과 배려를 계승하고 발전시키는 것도 새 교과서 작성에 있어서의 중요한 고려사항이라 생각된다.
후속연구
2007 개정 교육과정 교과서에서는 ‘비의 값’ 이 삭제되었고, 따라서 이상의 연구 결과들이 일정 수준 반영되었다고 볼 수 있다. 그러나 2007 개정 교과서에서도 문제는 일부 남아 있는 것으로 보이며, 이를 완전히 이해하기 위해서는 기존 교과서에 대한 약간의 추가적인 논의가 필요해 보인다.
그리고 비율과 비의 값이라는 두 용어의 관계를 다시 설정함으로써 하나의 대안적인 정의 방법을 제안한다. 마지막으로, 이상의 논의에 계속 걸쳐있었던 바, 비와 비율 관련 정의에 있어서 동치류로서의 비의 수학적 속성의 중요성을 살펴볼 것이다.
본 연구는 2007 개정 교육과정 교과서가 사용되고 있는 시점에서 비와 비율 관련 용어에 대한 기존의 논의들을 보완하고, 2009 개정 교육과정 교과서에서 비와 비율 관련 용어를 제시하는 바람직한 방법을 모색하는데 참고가 될 수 있을 것이다.
특히 그 논의에서 ‘곱의 관점에서의 비교’와 ‘동치류’ 라는 비의 두 수학적 속성을 용어의 정의에 어떻게 반영할 것인지, 그리고 비의 속성에 대한 탐구와 용어의 제시 순서는 어떻게 되어야 할지를 신중히 고려해야 할 것이다.
한편, 전반적으로 역대 교과서에서 비의 동치관계는 ‘비와 비율’ 단원의 뒤에 나오는 ‘비례식’ 단원에서 비의 전항과 후항에 같은 값을 곱할 때 비의 값이 같음을 관찰하면서 도입되는데, 비와 비율과 관련된 용어를 동치류로서의 비라는 비의 본질적인 속성의 전달에 앞서 제시하는 이러한 순서에 대해서도 진지한 논의가 필요할 것으로 보인다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
비와 비율이 초등학생에게 어렵게 느껴지는 이유로 무엇이 제기되는가?
비와 비율은 초등학교 수학의 가장 중요한 주제 중 하나이다. 두 양 사이의 관계로 정의되는 추상적인 수학적 개념으로서의 비 개념 자체에 내재한 어려움도 있지만, 비와 비율과 관련된 용어의 복잡함은 학생의 개념 이해와 교사의 명료한 설명에 어려움을 보태는 중요한 요인으로 지적받아왔다.
비의 값과 비율을 구별하여 제시하려면 무엇을 함께 고려하면 좋은가?
비의 값과 비율을 구별하여 제시하는 의의는 백분율을 함께 고려하면 분명해진다. 5, 6차 교육과정에서 비율과 백분율은 각각 ‘기준량을 1로 보았을 때’, ‘기준량을 100으로 보았을 때’ 라는 특수한 경우의 비교하는 양이라는 점에서 동등한 관계에서 제시되었으며, 비의 값은 이에 앞서 비의 승법적 비교에서 도출되는 값으로서 별개로 제시되었다.
박교식(2010)의 비율과 비의 값의 가능한 정의를 목록화 함으로써 비율에 대해 어떻게 정의를 내리는가?
박교식(2010)은 우리나라, 일본, 중국에서 다루어지는 비율과 비의 값, 북한에서 다루어지는 비의 값에 대한 조사를 바탕으로 비율과 비의 값의 가능한 정의를 목록화하고 그 중 가장 적합한 정의가 무엇인지 판단한다. 비율에 대해서는 우선 두 양이 아닌 두 수에 대한 비율은 생각하지 않고, 비교하는 양과 기준량의 단위가 같은 경우에만 비율이라는 용어를 사용하는 것으로 한정하자고 제안한다. 그리고 그 정의로 세 가지를 들고 그 중 “비교량이 기준량의 몇 배인가를 나타내는 수를 비율이라고 한다.”를 사용할 것을 제안한다. 비의 값의 정의로는 다섯 가지를 들고 그 중 비의 값이라는 개념이 비에서 비롯한 것임을 분명히 해 준다는 점에서 비 A : B 의 값을 A/B라고 하자는 정의를 제안한다. 그러나 이 값의 의미를 해석하는 순간 비의 값과 비율의 독립적인 존립은 불가능하며, 이런 점에서 비의 값이 실질적으로 기준량을 1로 하는 비율과 동일하다고 인정하는 것을 고려할 수 있다고 밝히고 있다.
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