교과서 문제해결에 포함된 가추의 유형 - 중학교 2학년과 3학년 수학 교과서를 중심으로- An Analysis of Problems of Mathematics Textbooks in regards of the Types of Abductions to be used to solve원문보기
본 연구는 가추(abduction)를 창의적 개연추론의 핵심이라고 생각하여 학교수학에서도 그 가치를 높게 평가하고 적극적으로 지도되기를 기대하는 데에서 출발한다. 수학의 모든 문제해결에서 가추가 사용될 수밖에 없음에 유의하여, 중학교 수학교과서의 문제들이 얼마나 가추의 활용을 다양하게 강조하고 있는지를 살펴보려고 하였다. 이를 위해 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011) 등이 제안한 가추의 유형과 거의 유사하지만 분류가 더 선명하게 이루어 질 수 있도록 분류 틀을 수정하여 재구성하였다. 또 그에 따라 우리나라 교과서의 문항들에서 문제해결을 위해 어떤 유형의 가추들이 사용되는 지 조사해 보았다. 그 결과 확정적-선택형 문항이 약 64%, 가변적-선택형 문항이 약 28%로서 선택형만 약 92%나 됨을 알 수 있었다. 결국 창작형 또는 혼합형은 모두 8%에 불과함을 알 수 있었다. 새로운 개념, 원리, 법칙을 배울 때 접하는 최초의 교재가 교과서라는 점을 고려할 때, 교과서는 창의력 계발보다 먼저 이들 원리, 개념, 법칙을 모방적으로 습득하는 데 초점이 놓여야 한다는 주장도 설득력이 있다. 그러나 창의력 계발이 21세기 교육의 중심과제임을 고려할 때 창작형 가추가 불과 8%의 문항에서만 요구되는 것은 너무 적은 것은 아닌지 함께 고민할 필요가 있다는 것이 연구자의 주장이다.
본 연구는 가추(abduction)를 창의적 개연추론의 핵심이라고 생각하여 학교수학에서도 그 가치를 높게 평가하고 적극적으로 지도되기를 기대하는 데에서 출발한다. 수학의 모든 문제해결에서 가추가 사용될 수밖에 없음에 유의하여, 중학교 수학교과서의 문제들이 얼마나 가추의 활용을 다양하게 강조하고 있는지를 살펴보려고 하였다. 이를 위해 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011) 등이 제안한 가추의 유형과 거의 유사하지만 분류가 더 선명하게 이루어 질 수 있도록 분류 틀을 수정하여 재구성하였다. 또 그에 따라 우리나라 교과서의 문항들에서 문제해결을 위해 어떤 유형의 가추들이 사용되는 지 조사해 보았다. 그 결과 확정적-선택형 문항이 약 64%, 가변적-선택형 문항이 약 28%로서 선택형만 약 92%나 됨을 알 수 있었다. 결국 창작형 또는 혼합형은 모두 8%에 불과함을 알 수 있었다. 새로운 개념, 원리, 법칙을 배울 때 접하는 최초의 교재가 교과서라는 점을 고려할 때, 교과서는 창의력 계발보다 먼저 이들 원리, 개념, 법칙을 모방적으로 습득하는 데 초점이 놓여야 한다는 주장도 설득력이 있다. 그러나 창의력 계발이 21세기 교육의 중심과제임을 고려할 때 창작형 가추가 불과 8%의 문항에서만 요구되는 것은 너무 적은 것은 아닌지 함께 고민할 필요가 있다는 것이 연구자의 주장이다.
This research assumes that abduction is so important as much as all the creative plausible reasoning to be based upon. We expect it to be deeply appreciated and be taught positively in school mathematics. We are noticing that every problem solving process must contain some steps of abduction and thu...
This research assumes that abduction is so important as much as all the creative plausible reasoning to be based upon. We expect it to be deeply appreciated and be taught positively in school mathematics. We are noticing that every problem solving process must contain some steps of abduction and thus, we believe that those who are afraid of abduction cannot solve any newly faced problem. Upon these thoughts, we are looking into the middle school mathematics textbooks to see that how strongly various abductions are emphasized to solve problems in it. We modified types of abduction those were suggested by Eco(1983) or by Bettina Pedemonte, David Reid (2011) and investigated those books to see if, we may regard, various types of abduction be intended to be used to solve their problems. As a result of it, we found that more than 92% of the problems were not supposed to use creative abduction necessarily to solve it. And we interpret this as most authors of the textbooks have emphasis more on the capturing and understanding of basic knowledge of school mathematics rather than the creative reasoning through them. And we believe this need innovation, otherwise strong debates are necessary among the professionals of it.
This research assumes that abduction is so important as much as all the creative plausible reasoning to be based upon. We expect it to be deeply appreciated and be taught positively in school mathematics. We are noticing that every problem solving process must contain some steps of abduction and thus, we believe that those who are afraid of abduction cannot solve any newly faced problem. Upon these thoughts, we are looking into the middle school mathematics textbooks to see that how strongly various abductions are emphasized to solve problems in it. We modified types of abduction those were suggested by Eco(1983) or by Bettina Pedemonte, David Reid (2011) and investigated those books to see if, we may regard, various types of abduction be intended to be used to solve their problems. As a result of it, we found that more than 92% of the problems were not supposed to use creative abduction necessarily to solve it. And we interpret this as most authors of the textbooks have emphasis more on the capturing and understanding of basic knowledge of school mathematics rather than the creative reasoning through them. And we believe this need innovation, otherwise strong debates are necessary among the professionals of it.
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문제 정의
Eco(1983)와 Pedemont & Reid(2011)는 창작형 가추를 확정적 가추나 가변적 가추와 구분하였으나, 본 연구는 선택형 가추를 확정적-선택형 가추와 가변적-선택형 가추로 나누었으므로 창작형 가추 역시 확정적-창작형 가추와 가변적 창작형 가추로 분리하여, 문항이 다양한 창작형 가추를 유도하는지 확인하고자 한다.
그러므로 본 연구는 현행 교과서의 문항들을 분석함으로써, 학생들이 교과서의 문항을 통해 문제해결력을 기르려 할 때, 창작형 가추적 사고를 얼마나 자주 사용하게 될지 알아보려는 것이다.
또한 한 문항에 대해 여러 학습자가 다르게 생각하고 다른 방법으로 해결할 수 있는 문항은 할 수 있는 모든 생각을 포함하여 문항을 분류하기 위해 노력하였다. 총 403 문항을 3명의 판단자가 각각 분류한 후, 연구자가 그 결과를 취합하여 분석하는 형태로 이루어졌다.
본 연구는 먼저 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011)의 연구를 바탕으로 하여, 가추의 종류를 문제해결 상황에 맞게 분류할 새로운 틀을 구성하고, 현행 수학 교과서의 각각의 문항마다 문제해결을 위해 사용할 대표적 가추의 종류를 이 기준에 따라 분류, 조사하고자 한다.
앞의 그런 형식의 추론을 가추라고 하는데, Charles Sanders Peirce(James Hoopes 엮음, 1992; 김동식, 이유선 역, 2008)에 의해 구체화 되었다. 본고에서 가추란 바로 그가 생각한 그 개념이기 때문에 그의 견해를 살펴보기로 한다.
분석 과정에서는 교과서의 각각의 문항들을 해결하기 위해 학생이 어떤 가추적 사고를 하게 될지 문항 별로 예측해보고, 그런 사고의 역할을 검토해 보고자 한다.
제안 방법
‘가추적 사고의 분류’를 기준으로 현행 교과서를 효과적으로 분석하기 위해, 전체 문항의 유형분포를 분석한 뒤, 교과서별, 단원별로 분석을 하고, 가추적 사고의 다섯 가지 유형별 특징을 분석한다.
Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011)의 연구를 바탕으로 문제해결에서 사용되는 가추적 사고의 분류법을 조정하여, 이것을 기준으로 현행 교과서의 문항들을 분석한다.
그리고 문제 해결과정의 각 단계마다 다양한 가추적 사고가 있을 수 있지만, 본 연구는 처음 문제를 접하고 문제를 이해하여 ‘계획 수립 단계’ 중에 일어나는 가추적 사고만을, 앞의 이론적 배경 II-3절에서의 논의에 따라, 그 문항에 필요한 가추적 사고라고 판단하였다.
1. 연구 대상
대표적인 논증 중심의 단원이라고 할 수 있는 중2 도형의 닮음 단원과 중등학교 대수의 핵심이라 할 수 있는 문자와 식 단원 중에서 숙달된 조작 중심의 중3 문자와 식 단원을 분석하였다.
또, 본 연구는 문제해결과정에서 중요한 역할을 하는 가추적 사고가 현행 교과서 문항에서는 어떻게 나타나고 있는지 알아보고자, 먼저 교과서의 분석틀인 ‘가추적 사고의 분류’를 Eco(1983)와 Pedemonte & Reid(2011)의 가추 분류를 재구성하여, 확정적-선택형 가추, 가변적-선택형 가추, 확정적-창작형 가추, 가변적-창작형 가추, 가변적-혼합형 가추의 다섯 유형으로 구성하였다.
이 때, 알고 있던 여러 종류의 수학적 지식은 근본적인 원리가 상이해야한다. 또한 문제 계획단계에서의 가추적 사고를 확인하는 것이므로, 떠오른 여러 생각 중 결과적으로 문제해결에 도움을 주지 않는 생각이 포함되어도 가변적-선택형 가추로 분류한다.
또한 이와 같은 가추의 분류가 선명하게 각각의 특징을 드러내지 못한다고 생각하여, 정해진 기준에 따라 분류를 단순하게 하되 서로 다른 분류들을 서로 교차시키는 방식을 통해 분류가 선명해 지도록 하였다.
문항 분류의 객관성 확보를 위해, 연구자 외 2명, 모두 3명의 판단자가 각각 문항을 분석하고 그 의견을 종합하여 분석하였다.
본 연구는 문제해결과정 중 ‘계획 작성’의 단계에서 문제해결을 위한 가설을 추리하는 가추적 사고의 필요성을 제시하며, 모든 문제해결과정에는 가추적 사고가 일어남을 선행 연구 결과를 근거로 하여 주장하였다.
총 403 문항을 3명의 판단자가 각각 분류한 후, 연구자가 그 결과를 취합하여 분석하는 형태로 이루어졌다. 세 판단자가 각각 분류한 유형별 수치를 평균을 내어 살펴보되, 효과적인 결과 분석을 위해 분류된 가추 유형의 수치를 전체 문항, 교과서별 문항, 단원별 문항 순으로 비교 분석하고, 각 가추 유형으로 분류된 문항들의 특징을 살펴보았다.
또한 한 문항에 대해 여러 학습자가 다르게 생각하고 다른 방법으로 해결할 수 있는 문항은 할 수 있는 모든 생각을 포함하여 문항을 분류하기 위해 노력하였다. 총 403 문항을 3명의 판단자가 각각 분류한 후, 연구자가 그 결과를 취합하여 분석하는 형태로 이루어졌다. 세 판단자가 각각 분류한 유형별 수치를 평균을 내어 살펴보되, 효과적인 결과 분석을 위해 분류된 가추 유형의 수치를 전체 문항, 교과서별 문항, 단원별 문항 순으로 비교 분석하고, 각 가추 유형으로 분류된 문항들의 특징을 살펴보았다.
출판사의 교과서를 임의로 선정하였다. 학년별 세 출판사의 수학책과 수학 익힘책의 모든 문항들, 즉 총 403문항을 분석하였는데, 같은 조건에서 같은 것을 묻는 문항은 중복되지 않도록 한번만 분석하였다.
대상 데이터
중학교 2학년 총 27종 교과서와 중학교 3학년 총 24종 교과서 중에서 3개10) 출판사의 교과서를 임의로 선정하였다. 학년별 세 출판사의 수학책과 수학 익힘책의 모든 문항들, 즉 총 403문항을 분석하였는데, 같은 조건에서 같은 것을 묻는 문항은 중복되지 않도록 한번만 분석하였다.
성능/효과
‘도형의 닮음’ 단원에서도 ‘닮음의 활용’ 단원에서만 비교적 많이 확인할 수 있었다.
가변적-창작형 가추 문항은 전체적으로도 매우 적은 비율이지만, ‘문자와 식’ 단원에서는 거의 0%로 나타났다.
각 교과서에 수록된 문항을 분석한 결과, 확정적-창작형 가추 문항과 가변적-창작형 가추 문항을 합한 창작형 가추 문항은 적은 비율이지만 다른 유형에 비해 교과서별 격차가 큰데, 2학년 교과서가 3학년 교과서에 비해 많이 나타났다. 가변적-혼합형 가추 문항은 모든 교과서에서 미미한 비율로 나타났다.
각 교과서에 수록된 문항을 분석한 결과, 확정적-창작형 가추 문항과 가변적-창작형 가추 문항을 합한 창작형 가추 문항은 적은 비율이지만 다른 유형에 비해 교과서별 격차가 큰데, 2학년 교과서가 3학년 교과서에 비해 많이 나타났다. 가변적-혼합형 가추 문항은 모든 교과서에서 미미한 비율로 나타났다.
구성된 ‘가추적 사고의 분류’를 분석틀로 하여 현행 교과서 3종의 중학교 2학년 ‘도형의 닮음’ 단원과 중학교 3학년 ‘문자와 식’ 단원을 연구자 외 2명의 판단자가 분석한 결과, 대부분의 문항이 선택형 가추를 사용할 수 있도록 구성되어있음을 볼 수 있었다. 교과서별로 비교하자면, 3학년 교과서들은 선택형 문항이 거의 100%를 차지하였고, 창작형 가추 문항은 2학년 교과서가 3학년 교과서에 비해 많이 나타났다. 이러한 차이는 기하영역과 대수영역이라는 단원에 따른 문항 차이로 볼 수 있는데, 단원에 따라 문항의 가추 유형이 지나치게 편중되어, 기하영역 단원에서는 가변적-선택형 가추를 통해 문제 상황에 따라 다양한 원리를 비교하여 지식을 확립하는 경험의 부족이 염려되고, 대수영역 단원에서는 창작형 가추 문항이 거의 없음에 따라 다항식을 다양한 상황에 적용할 수 있음을 학습하는 경험이 부족할까 염려된다.
구성된 ‘가추적 사고의 분류’를 분석틀로 하여 현행 교과서 3종의 중학교 2학년 ‘도형의 닮음’ 단원과 중학교 3학년 ‘문자와 식’ 단원을 연구자 외 2명의 판단자가 분석한 결과, 대부분의 문항이 선택형 가추를 사용할 수 있도록 구성되어있음을 볼 수 있었다.
다섯째, 가변적-혼합형 가추(Under-mixed abduction)는 이미 학습한 수학 규칙 중 주어진 문제를 해결할 수 있는 관련된 규칙이 떠오르고, 또한 그 규칙과는 다른 원리의 새로운 규칙을 생각해낸 경우인데, 문제에 따라 알고 있던 규칙과 새롭게 생각해낸 규칙을 같이 사용하여 문제해결을 꾀할 수도 있을 것이다. 이 유형은 Eco(1983)나 Pedemonte & Reid(2011)의 가추 분류에서 언급되지 않은 유형으로, 선택형 가추와 창작형 가추가 결합된 가추 유형이다.
단원별 수록된 문항을 분석한 결과 각 단원의 대부분을 차지한 선택형 가추 문항의 경우 ‘도형의 닮음’ 단원과 ‘닮음의 활용’ 단원은 확정적-선택형 가추 문항이 그 중 대부분이었으나 ‘인수분해’ 단원과 ‘이차방정식’ 단원은 확정적-선택형 가추 문항과 가변적-선택형 가추 문항이 비슷한 비율을 보였다.
또한 ‘논술&서술’ 문항은 주어진 문제를 해결하는 방법을 언어로 설명하고자 해결방법을 논리적으로 구성하기 위해 문제를 다양한 측면에서 살펴봄으로써 다른 문항에 비해 가변적-선택형 가추를 비교적 많이 사용할 수 있게 하는 것으로 분석되었다.
7%를 차지하였다. 또한 확정적-창작형 가추를 사용할 수 있는 문항이 평균 20.3문항으로 5.0%를 차지하였고, 가변적-창작형 가추를 사용할 수 있는 문항이 평균 5.3문항으로 1.3%, 가변적-혼합형 가추를 사용할 수 있는 문항은 평균 5.7문항으로 1.4%를 차지하여, 비슷한 비율을 보였다.
1. 분석 대상 전체의 가추 유형 분포
분석 대상이 되는 403문항을 분석한 결과, 문제해결을 위해 확정적-선택형 가추를 사용할 수 있는 문항이 평균 260문항으로 64.5%를 차지하여 가장 큰 비율을 보였고, 가변적-선택형 가추를 사용할 수 있는 문항이 평균 111.7문항으로 27.7%를 차지하였다. 또한 확정적-창작형 가추를 사용할 수 있는 문항이 평균 20.
이 결과는 ‘도형의 닮음’ 단원에서는 도형을 변형하고 보조선을 긋는 등 다양한 창조적 방법을 생각할 수 있는 문항이 많이 제시되는 반면, ‘문자와 식’ 단원은 창조적인 생각을 하기 어려운 문항이 많이 제시된다는 것을 보여준다.
이 결과를 선택형 가추와 창작형 가추, 혼합형 가추의 세 유형으로 비교하면, 선택형 가추 문항이 92.2%, 창작형 가추 문항이 6.4%, 혼합형 가추 문항이 1.4%로 90%가 넘는 문항이 모두 선택형 가추를 사용할 수 있는 문항으로 구성되어 있음을 볼 수 있다.
전체 문항의 1.4%를 차지하는 가변적-혼합형 가추 문항은 “복잡한 문항에서 보조선을 긋는 등의 창작형 가추를 한 뒤 도형의 성질을 이용하는 등의 선택형 가추를 하는 경우, 창작형 가추로 문제를 해결하는 방법도 존재하고 선택형 가추로 문제를 해결하는 방법도 존재하는 경우, 창작형 가추와 선택형 가추를 연속적으로 사용하는 방법이 여러 가지인 경우” 등의 문항이 나타나, 수적으로는 적지만 다양한 경우가 나타났다.
전체 문항의 27.7%를 차지한 가변적-선택형 가추 문항은, 교과서 내에 문항이 놓인 취치로 미루어 볼 때, 저자가 “한 주제에 관한 여러 원리가 소개된 후 문제해결자가 그 원리들 중 문제해결을 위해 사용할 원리를 선택하는 연습”을 의도한 것처럼 추측되는 형태가 많았다.
전체 문항의 5.0%를 차지하는 확정적-창작형 가추 문항은 “주어진 문제 상황 그대로는 해결하기 어려운 문제의 도형을 변형하거나 문제의 규칙을 스스로 발견하여 해결하는 경우”가 대부분이었다.
전체 문항의 64.5%를 차지한 확정적-선택형 가추 문항은, 문항의 교과서 내에서 놓인 위치로 미루어 볼 때, 대개 “먼저 원리를 설명하고 이 원리의 바른 적용을 훈련시키는 목적으로 제시되는 경우”가 많았다.
확정적-창작형 가추 문항은 3학년 ‘문자와 식’ 단원에 비해 2학년 ‘도형의 닮음’ 단원에서 4배가 넘는 수로 많이 나타났다.
후속연구
둘째, 연구자는 본 연구를 수행하는 과정에서, 기초 지식을 확립하는 단계에서는 확정적-선택형 가추, 확립된 여러 기초 지식을 바르게 선택하여 적용해 보는 단계에서는 가변적-선택형 가추, 기초지식이 충분히 숙달되어 이들 지식을 문항에 부합되도록 변형하여 활용할 수 있는 단계에서는 확정적-창작형 가추, 가변적-창작형 가추, 가변적-혼합형 가추 등이 사용 적절하다는 느낌을 갖게 되었는데, 이런 연구자의 추측에 대한 확인 연구가 더 필요하다.
따라서 가변적-선택형 가추 문항은 문제해결자가 학습한 여러 원리 중 문제해결을 위해 사용할 원리를 선택하는 형태로 나타나, 이 유형의 문항을 통해 문제해결자는 여러 원리 사이의 관계와 각 원리의 선행조건을 명확히 이해하는 데 도움이 될 것이라고 예상되며, 학습자의 기초지식은 상호 연결성이 더해져 더 탄탄해질 것이 기대된다
많은 교과서 중에서 일부 교과서만을 분석한 것이기 때문에 본 연구의 분석 결과를 일반화하기에는 한계가 있다.
’ 라는 가설을 설정9)하여, 문제에 대한 계획을 작성하게 하는 사고이다. 문제해결자는 학습한 사전 지식 중 문제 상황에 적합한 지식이 있는지 없는지에 따라 다른 가추법을 사용하여 문제를 해결할 것이며 또한 사전지식을 근거하여 선택한 규칙 혹은 만들어낸 규칙의 적합성을 비판적으로 판단할 것이다.
이것은 학교 현장에서 가추적 사고법 지도의 다양한 방법들 중에서 극히 일부를 살피는 것에 불과하지만, 추가의 다른 후속 연구 결과를 기대하면서 우선 교과서를 분석하는 것으로부터 본 연구를 시작하려는 것이다.
첫째, 현행 교과서에는 확정적-선택형 가추 문항이 대부분이므로, 가추의 다양한 경험을 학생들에게 제공하기 원한다면, 가추적 사고 유형이 더 다양하게 문항들을 제시할 필요가 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Gagne는 문제 해결을 무엇이라 하였는가?
Gagne 등(1993, 이용남 외 공역, 2005)은 문제 해결이란, 앞서 배운 원리를 이용하여 새로운 문제 상황을 해결하는 것이라고 정의하였고, Polya(1957, 우정호 역, 2005)는 간단하게 풀리지 않는 문제 상황을 해결하기 위해 적절한 방법을 찾는 것으로 정의하였다. 수학을 배우는 과정의 학생들에게, 모든 수학적 문제해결의 과정은 추측, 그 중에서도 특히 가추에서부터 시작된다고 할 수 있다.
중학교 수학 교과서의 문제들이 얼마나 가추의 활용을 다양하게 강조하고 있는지를 살펴보고 우리나라 교과서의 문항들에서 문제해결을 위해 어떤 유형의 가추들이 사용되는 지 조사해 본 결과는?
또 그에 따라 우리나라 교과서의 문항들에서 문제해결을 위해 어떤 유형의 가추들이 사용되는 지 조사해 보았다. 그 결과 확정적-선택형 문항이 약 64%, 가변적-선택형 문항이 약 28%로서 선택형만 약 92%나 됨을 알 수 있었다. 결국 창작형 또는 혼합형은 모두 8%에 불과함을 알 수 있었다. 새로운 개념, 원리, 법칙을 배울 때 접하는 최초의 교재가 교과서라는 점을 고려할 때, 교과서는 창의력 계발보다 먼저 이들 원리, 개념, 법칙을 모방적으로 습득하는 데 초점이 놓여야 한다는 주장도 설득력이 있다.
Polya는 문제 해결을 무엇이라고 정의하였는가?
Gagne 등(1993, 이용남 외 공역, 2005)은 문제 해결이란, 앞서 배운 원리를 이용하여 새로운 문제 상황을 해결하는 것이라고 정의하였고, Polya(1957, 우정호 역, 2005)는 간단하게 풀리지 않는 문제 상황을 해결하기 위해 적절한 방법을 찾는 것으로 정의하였다. 수학을 배우는 과정의 학생들에게, 모든 수학적 문제해결의 과정은 추측, 그 중에서도 특히 가추에서부터 시작된다고 할 수 있다.
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