본 연구는 초등학생들이 수 개념과 관련하여 수직선을 어떻게 이해하고 사용하는지, 또 그 학습의 어려움은 무엇인지 파악하고자 하였다. 이를 위하여 수직선 은유가 수 개념과 어떻게 관련되는지 살펴보았고, 프로이덴탈의 수 개념지도론에서 수직선의 역할에 대하여 고찰하였다. 실제 초등학생들의 수직선에 대한 이해와 사용의 어려움을 파악하기 위해 실시한 검사는 수직선에 주어진 위치에서 적절한 수를 대응시키는 문항과 학년별로 수직선이 활용되는 관련 단원 내용을 묻는 문항으로 이루어졌다. 같은 내용과 구조의 문항이지만 수직선으로 표현된 것은 해결하지 못하면서 수 트랙이나 다른 그림으로 표현된 것은 해결하는 학생들이 다수 관찰되었고, 본 연구에서는 이러한 현상의 의미를 해석하고자 하였다. 또한 다양한 교수-학습 자료(수 트랙, 그림, 빈 수직선, 이중 수직선등)를 활용하여 수직선 이해의 어려움을 보완하고 관련 수 개념 학습을 돕는 방안을 제안하였다.
본 연구는 초등학생들이 수 개념과 관련하여 수직선을 어떻게 이해하고 사용하는지, 또 그 학습의 어려움은 무엇인지 파악하고자 하였다. 이를 위하여 수직선 은유가 수 개념과 어떻게 관련되는지 살펴보았고, 프로이덴탈의 수 개념지도론에서 수직선의 역할에 대하여 고찰하였다. 실제 초등학생들의 수직선에 대한 이해와 사용의 어려움을 파악하기 위해 실시한 검사는 수직선에 주어진 위치에서 적절한 수를 대응시키는 문항과 학년별로 수직선이 활용되는 관련 단원 내용을 묻는 문항으로 이루어졌다. 같은 내용과 구조의 문항이지만 수직선으로 표현된 것은 해결하지 못하면서 수 트랙이나 다른 그림으로 표현된 것은 해결하는 학생들이 다수 관찰되었고, 본 연구에서는 이러한 현상의 의미를 해석하고자 하였다. 또한 다양한 교수-학습 자료(수 트랙, 그림, 빈 수직선, 이중 수직선등)를 활용하여 수직선 이해의 어려움을 보완하고 관련 수 개념 학습을 돕는 방안을 제안하였다.
The purpose of this study is to investigate how elementary school students understand and use the number line relating number concept and what is the main problem in the learning process. For the efficient achievement of this purpose, we investigated how the number line metaphor is related to the nu...
The purpose of this study is to investigate how elementary school students understand and use the number line relating number concept and what is the main problem in the learning process. For the efficient achievement of this purpose, we investigated how the number line metaphor is related to the number concept and considered the role of the number line on Freudenthal's number concept teaching theory. The test conducted to find the degree of understanding and difficulty on using the number line by actual elementary school students consisted of two questions ; to find appropriate number corresponding to the given number on the number line and to identify contents of chapters about the use of number line on each grade. It was found that many students couldn't solve the problem represented by the number line though they could solve the problem represented by other ways such as number track and pictures. The only difference between the two problems was the way of representation, and they had same contents and structure. This study tried to figure out the meaning of this phenomenon. Also, by using various teaching-learning method (number track, pictures, empty number line, and double number line etc.), this study was aimed to provide the way to help learning 'related number concept' and to solve the difficulty on understanding the number line.
The purpose of this study is to investigate how elementary school students understand and use the number line relating number concept and what is the main problem in the learning process. For the efficient achievement of this purpose, we investigated how the number line metaphor is related to the number concept and considered the role of the number line on Freudenthal's number concept teaching theory. The test conducted to find the degree of understanding and difficulty on using the number line by actual elementary school students consisted of two questions ; to find appropriate number corresponding to the given number on the number line and to identify contents of chapters about the use of number line on each grade. It was found that many students couldn't solve the problem represented by the number line though they could solve the problem represented by other ways such as number track and pictures. The only difference between the two problems was the way of representation, and they had same contents and structure. This study tried to figure out the meaning of this phenomenon. Also, by using various teaching-learning method (number track, pictures, empty number line, and double number line etc.), this study was aimed to provide the way to help learning 'related number concept' and to solve the difficulty on understanding the number line.
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문제 정의
초등학생들의 수직선 이해에 대한 검사는 학년별로 수직선이 사용되는 내용을 묻는 문항으로 이루어졌다. 같은 구조와 내용의 문항이지만 수 트랙이나 그림으로 표현된 것은 해결하면서 수직선으로 표현된 것은 해결하지 못하는 학생들이 다수 관찰되었고, 본 연구에서는 이러한 현상의 의미를 해석하고자 하였다.
또한 수직선에 대해 낮은 이해를 하는 학생들의 수 개념과 수와 연산의 학습 구조에 대한 이해를 통하여 수 개념을 제대로 이해하고 수 체계를 형성하는데 도움이 되는 연구도 필요하다. 그래서 본 연구에서는 초등학생의 수직선에 대한 이해를 분석하고 수직선 사용의 어려움을 밝히고자 한다.
본 연구는 수 개념 학습에서 수직선을 배우는 초등학생이 수직선에 대한 이해와 사용을 어떻게 어려워하는지 밝히고자 한다. 이를 위하여 경기도의 한 중소도시에 위치한 A초등학교 1학년에서 6학년 학생 171명을 연구 대상으로 선정하였다.
본 연구는 초등학생들이 수 개념과 관련하여 수직선을 어떻게 이해하고 사용하는지, 또 그 학습의 어려움은 무엇인지 파악하고자 하였다. 이를 위하여 수직선 은유가 수 개념과 어떻게 관련되는지 살펴보았고, 프로이덴탈의 수 개념 지도론에서 수직선의 역할에 대하여 고찰하였다.
프로이덴탈의 교수학적, 현상학의 측면에서 수 개념을 다섯 가지 형태로 정리하였다(Gravemeijer, 1994). 이 연구에서는 수 개념 중에서 수직선과 관련이 깊은 개수와 셈수를 중심으로 살펴보고자 한다.
가설 설정
25 : 수직선에서 세어 보니 285가 들어가는 것 같았어요.
38 : 두 문제가 서로 다른 문제인 것 같아서 다르게 생각했어요. 수직선에 나타내는 것은 자로 재어본 것을 생각해서 1칸, 2칸, 3칸으로 나타내었고, 막대 그림에서는 분수를 생각해서 나타내었어요.
제안 방법
또한 1차 검사에서는 오류를 보였지만 2차 검사에서는 정확하게 해결한 1∼6학년 12명과 면담을 실시하였다.
또한 1차 검사에서는 오류를 보였지만 2차 검사에서는 정확하게 해결한 1∼6학년 12명과 면담을 실시하였다. 면담 방법은 면담에 참여한 12명의 검사 실시 결과에 대한 배경적 지식, 해결 방법 등에 대한 연구자와 직접 면담을 통해 의견을 듣고 수 트랙과 그림 표현 문제와 수직선 표현 문제의 차이가 나는 현상의 의미를 해석하고자 하였다.
모든 학년에서 수와 연산 영역과 관련된 단원을 학습한 이후의 시기인 2015년 9월에 1, 2차 검사를 차례로 실시하였다. 1차 검사에서는 수직선에 주어진 위치에서 적절한 수를 대응시키는 두 문항6)을 모든 학년에 공통으로 제시하였고, 학년별로 관련 내용을 수 트랙이나 그림으로 표현하여 문제를 해결하는 문항을 두 문항씩 제시하였다.
연구 결과는 [표 IV-1]의 검사 결과 중에서 수직선에 주어진 위치에서 적절한 수를 대응시키는 문항과 수 트랙이나 그림 표현은 해결하였지만, 수직선 표현은 해결하지 못한 학생들을 중심으로 분석하였다.
본 연구는 초등학생들이 수 개념과 관련하여 수직선을 어떻게 이해하고 사용하는지, 또 그 학습의 어려움은 무엇인지 파악하고자 하였다. 이를 위하여 수직선 은유가 수 개념과 어떻게 관련되는지 살펴보았고, 프로이덴탈의 수 개념 지도론에서 수직선의 역할에 대하여 고찰하였다. 실제 초등학생들의 수직선에 대한 이해와 사용의 어려움을 파악하기 위해 실시한 검사 결과는 다음과 같다.
홍진곤·김양권(2015)은 수직선의 도입 시기, 도입 내용, 활용 방법의 문제점을 확인하였다. 첫째, 자연수, 유리 수와 관련된 여러 개념이 도입되는 시기와 수직선이 활용되는 시기 사이의 불일치를 [표 Ⅰ-1]과 같이 제시하였다. 둘째, 자연수의 덧셈과 뺄셈, 자연수의 나눗셈, 분수의 이해, 몫의 의미와 관련한 분수 학습, 분수의 의미와 관련된 내용, 분수의 덧셈과 뺄셈, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수의 곱셈과 나눗셈의 학습에서도 도입 내용의 문제 점이 있었다.
대상 데이터
1학년의 ‘뺄셈식 해결하고 표현하기’, 2학년의 ‘곱셈식 해결하고 표현하기’, 3학년의 ‘나눗셈식 해결하고 표현하기’, 4학년의 ‘분수의 뺄셈 해결하고 표현하기’, ‘나머지가 있는 나눗셈 해결하고 표현하기’ 문항이 수식이나 그림으로 표현된 경우에는 정확한 수를 말하면서도, 수직선으로 표현된 경우에는 오답을 말하는 학생들이 관찰되었다(1학년 8명, 2학년 13명, 3학년 9명, 4학년 8명, 6명).
본 연구는 수 개념 학습에서 수직선을 배우는 초등학생이 수직선에 대한 이해와 사용을 어떻게 어려워하는지 밝히고자 한다. 이를 위하여 경기도의 한 중소도시에 위치한 A초등학교 1학년에서 6학년 학생 171명을 연구 대상으로 선정하였다.
성능/효과
넷째, 수직선에서 양의 길이 표현을 어려워하는 학생들이 많이 관찰되었다. 이러한 학생들은 수직선을 자와 같이 생각하여 분수의 크기에 대한 위치 개념을 중심으로 생각하기 보다는 분모를 자의 눈금으로 생각하는 경향이 있었다.
절댓값 오류의 분포는 전 학년에 걸쳐 나타나고 있으며, 대체로 학년이 올라갈수록 점점 오류가 줄어든다. 높은 성취도의 학생은 낮은 성취도의 학생보다 예상하는 능력이 양호하였다. 이 문항은 [그림 Ⅳ-1]의 화살표로 표시된 수 예상하기 문항과는 반대로, 목표영역인 수가 주어지고 바탕영역인 직선 위의 점을 예상하고 표시하는 문항이다.
첫째, 자연수, 유리 수와 관련된 여러 개념이 도입되는 시기와 수직선이 활용되는 시기 사이의 불일치를 [표 Ⅰ-1]과 같이 제시하였다. 둘째, 자연수의 덧셈과 뺄셈, 자연수의 나눗셈, 분수의 이해, 몫의 의미와 관련한 분수 학습, 분수의 의미와 관련된 내용, 분수의 덧셈과 뺄셈, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수의 곱셈과 나눗셈의 학습에서도 도입 내용의 문제 점이 있었다. 셋째, 수직선의 활용 면에서, 수직선과 함께 다양한 반구체물(사각형, 막대, 띠, 자, 원 등)을 함께 활용하고 있으나, 다양한 형태의 수직선(이중 수직선이나 빈 수직선 등)을 활용하지 않고 단일 수직선만을 활용하고 있었다.
둘째, 자연수의 덧셈과 뺄셈, 자연수의 나눗셈, 분수의 이해, 몫의 의미와 관련한 분수 학습, 분수의 의미와 관련된 내용, 분수의 덧셈과 뺄셈, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수의 곱셈과 나눗셈의 학습에서도 도입 내용의 문제 점이 있었다. 셋째, 수직선의 활용 면에서, 수직선과 함께 다양한 반구체물(사각형, 막대, 띠, 자, 원 등)을 함께 활용하고 있으나, 다양한 형태의 수직선(이중 수직선이나 빈 수직선 등)을 활용하지 않고 단일 수직선만을 활용하고 있었다. 자연수나 유리수와 같은 수 개념의 학습에서 수직선의 도입이나 활용 등에 대한 구체적인 안내나 지도 방법, 효과적인 활용 방법 등이 제시되지 않아서 단원이나 영역, 난이도에 따라 적절하게 활용되지 못하고 있었다.
이상미(2010)는 초등학교 4, 5, 6학년 학생들의 수직선에 대한 이해를 실태 조사하였다. 수에 대한 이해 정도를 알아보기 위한 문항 중 수 표현에 대한 정답률은 자연수 표현에서 85.2%, 소수 표현에서 82.3%, 수의 범위 표현에서 78.8%로 높은 정답률을 나타냈으나 분수 표현에서는 정답률이 41.6%로 0과 1 사이의 분수를 바르게 나타내지 못하는 학생들이 많았다. 수의 크기 비교에 대한 정답률은 자연수의 크기 비교에서 99.
6%로 0과 1 사이의 분수를 바르게 나타내지 못하는 학생들이 많았다. 수의 크기 비교에 대한 정답률은 자연수의 크기 비교에서 99.0%, 소수의 크기 비교에서 97.9%, 분수의 크기 비교에서 76.6%, 분수와 소수의 크기 비교에서 78.0%로 자연수와 소수의 정답률이 높은 편이었으나, 분수가 있는 경우의 정답률은 낮은 경향을 나타냈다.
예상의 정확성은 0으로부터 멀어질수록 감소하다 증가하고, 100으로부터 가까워질수록 정확성은 증가하다 감소되었다. 학생들은 50이하의 수에서는 과대 예상을 하는 경향이 있고, 50이상의 수에서는 과소 예상하는 경향이 있다.
이와 관련된 오류는, 수직선에서 수가 배열되는 위치와 방향 등과 같은 수직선 은유가 의미하는 바를 수 개념과 관련하여 충분히 확립하지 못하고 있음을 보여주며, 특히 ‘좌표’ 개념은 초등학생들에게 쉽게 형성되지 않는다는 것을 확인하게 한다.
첫째, ‘화살표로 표시된 수 예상하기’ 문항이나 ‘수직선에 자연수 표시하기’ 문항에서 예상의 정확성은 고학년 이거나 성취도가 높은 학생일수록 점점 오류가 줄어들었다.
후속연구
결론적으로 셈수는 결과적 세기의 근거이며 다양한 셈 활동 근거로서, 수 계열이 중요한 위치를 차지하는 연산의 학습에 이용되어야 한다. 셈수의 측면은 덧셈과 뺄셈에서 앞으로(또는 뒤로) 세기의 학습과 수직선 모델로서 중요한 역할을 한다.
수직선과 관련된 연구들이 제한된 범위에서 수직선 이해 실태 및 활용, 초등학교 수학 교과서에서 수직선의 활용과 문제점 등에 그치고 있어서 실제 초등학생들의 수직선의 은유적 개념에 대한 이해 및 수 개념 학습과 수직선의 관계, 수직선 사용에 대한 이해가 어느 정도인지 구체적으로 살펴볼 필요가 있다. 또한 수직선에 대해 낮은 이해를 하는 학생들의 수 개념과 수와 연산의 학습 구조에 대한 이해를 통하여 수 개념을 제대로 이해하고 수 체계를 형성하는데 도움이 되는 연구도 필요하다. 그래서 본 연구에서는 초등학생의 수직선에 대한 이해를 분석하고 수직선 사용의 어려움을 밝히고자 한다.
학생들이 수 개념을 이해하고 수 체계를 바르게 형성하기 위해서는 실수 체계와 동형인 수직선을 충분히 이해하고 학습할 필요가 있다. 수직선의 은유적 개념 이해가 깊어질 수 있는 교수-학습 자료(수 트랙, 그림, 빈 수직선, 이중 수직선 등)를 활용한 교수-학습 방법에 관한 연구와 저학년이거나 성취도가 낮은 학생들이 수직선의 은유적 개념과 수 체계를 바르게 이해하기 위하여 수직선의 수준별 접근에 관한 추후 연구의 필요성을 제안하고자 한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
왜 수직선을 수 체계의 은유라 할 수 있는가?
단위 선분 U는 무한히 많은 방법으로 나누어지고 수직선을 형성한다. 수 체계의 은유로 수직선을 언급할 수 있는 것은 수직선을 직관적으로 파악하기 쉽기 때문에 모든 종류의 수, 즉 자연수, 정수, 유리수, 실수를 수직선 위에 표현할 수 있다.
수직선은 무엇인가?
수직선은 수 체계에 대한 좋은 은유이며 수 개념 학습에 유용한 도구이다. Herbst(1997)는 좀 더 정교한 수준에서 수직선은 수 체계의 은유라는 사실에 동의하고 수직선을 0으로부터 특정한 단위 선분 U의 연속적인 배열로 정의하였다. 단위 선분 U는 무한히 많은 방법으로 나누어지고 수직선을 형성한다.
선행연구에 따르면 수직선의 도입 시기, 도입 내용, 활용 방법에서 문제점은 무엇인가?
홍진곤·김양권(2015)은 수직선의 도입 시기, 도입 내용, 활용 방법의 문제점을 확인하였다. 첫째, 자연수, 유리 수와 관련된 여러 개념이 도입되는 시기와 수직선이 활용되는 시기 사이의 불일치를 [표 Ⅰ-1]과 같이 제시하였다. 둘째, 자연수의 덧셈과 뺄셈, 자연수의 나눗셈, 분수의 이해, 몫의 의미와 관련한 분수 학습, 분수의 의미와 관련된 내용, 분수의 덧셈과 뺄셈, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수의 곱셈과 나눗셈의 학습에서도 도입 내용의 문제 점이 있었다. 셋째, 수직선의 활용 면에서, 수직선과 함께 다양한 반구체물(사각형, 막대, 띠, 자, 원 등)을 함께 활용하고 있으나, 다양한 형태의 수직선(이중 수직선이나 빈 수직선 등)을 활용하지 않고 단일 수직선만을 활용하고 있었다. 자연수나 유리수와 같은 수 개념의 학습에서 수직선의 도입이나 활용 등에 대한 구체적인 안내나 지도 방법, 효과적인 활용 방법 등이 제시되지 않아서 단원이나 영역, 난이도에 따라 적절하게 활용되지 못하고 있었다.
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